导数综合练习题.doc

1、第 1 页 共 12 页导数练习题（ B）1 （本题满分 12 分）已知函数 的图象如图所示dxbacbxaf )23()(23（I）求 的值；dc,（II）若函数 在 处的切线方程为 ，求函数f 01y的解析式；)(xf（III）在（ II）的条件下，函数 与 的图象有)(xfymxf5)(3三个不同的交点，求 的取值范围m2 （本小题满分 12 分）已知函数 )(3ln)(Raxaxf （I）求函数 的单调区间；（II）函数 的图象的在 处切线的斜率为 若函数 在区间f4,232)(31)(2mxfxg（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围3 （本小题满分 14 分）已知函数 的图象

2、经过坐标原点，且在 处取得极大值cbxaxf23)( 1x（I）求实数 的取值范围；（II）若方程 恰好有两个不同的根，求 的解析式；9)(f )(f（III）对于（ II）中的函数 ，对任意 ，求证： xf R、 81|)sin2()si| f4 （本小题满分 12 分）已知常数 ， 为自然对数的底数，函数 ， 0ae xef)( xagl)(2（I）写出 的单调递增区间，并证明 ；)(xf a（II）讨论函数 在区间 上零点的个数)(gy),1(ae5 （本小题满分 14 分）已知函数 ()ln1)()1fxkx（I）当 时，求函数 的最大值；kf（II）若函数 没有零点，求实数 的取值范

3、围；f6 （本小题满分 12 分） 已知 是函数 的一个极值点（ ） 2x2()3)xfxae718.2e（I）求实数 的值；a（II）求函数 在 的最大值和最小值f3,第 2 页 共 12 页7 （本小题满分 14 分）已知函数 )0,(,ln)(4)(2 aRxaxf（I）当 a=18 时，求函数 的单调区间；f（II）求函数 在区间 上的最小值,2e8 （本小题满分 12 分）已知函数 在 上不具有单调性()6)lnfxax(2,)（I）求实数 的取值范围；a（II）若 是 的导函数，设 ，试证明：对任意两个不相等正数 ，ff 26gfx12x、不等式 恒成立121238|()|7gxx

4、9 （本小题满分 12 分）已知函数 .1,ln)(2)( axaxxf（I）讨论函数 的单调性；（II）证明：若 .1)(,),0(,5 212121 xffx有则 对 任 意10 （本小题满分 14 分）已知函数 21()ln,()1,fxaxgax（I）若函数 在区间 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 的取值范围；,()3 a（II）若 ，设 ，求证：当 时，不等式.78ae ()()Ffgx12,x成立12|()|Fx11 （本小题满分 12 分）设曲线 ： （ ） ， 表示 导函数C()lnfxe2.718()fx()f（I）求函数 的极值；（II）对于曲线 上的不同两点 ，

5、 ， ，求证：存在唯一的 ，使1(,)Axy2,By120x12(,)直线 的斜率等于 AB0()f12 （本小题满分 14 分）定义 ，),(,)1(, yxyxF（I）令函数 ，写出函数 的定义域；223log4f()fx（II）令函数 的图象为曲线 C，若存在实数 b 使得曲线 C 在3, 1abx处有斜率为8 的切线，求实数 的取值范围；)4(00（III）当 且 时，求证 ,*xyNxy(,)(,)Fy第 3 页 共 12 页导数练习题（ B）答案1 （本题满分 12 分）已知函数 的图象如图所示dxbacbxaf )23()(23（I）求 的值；dc,（II）若函数 在 处的切线方

6、程为 ，求函数f 01y的解析式；)(xf（III）在（ II）的条件下，函数 与 的图象有)(xfymxf5)(3三个不同的交点，求 的取值范围m解：函数 的导函数为 （2 分）)(xf bacbaf 223)( （I）由图可知 函数 的图象过点（ 0，3） ，且)(xf 0)1(f得 （4 分）2323dbacbad（II）依题意 且 )(f5)(f4681解得 所以 （8 分）,ba 396)(23xxf（III） 可转化为： 有三个不等实9123)(xf mxx53422根，即： 与 轴有三个交点； mg87，442x3,23，g+ 0 - 0 +x增 极大值 减 极小值 增 （10

7、分）mgg164,27683当且仅当 时，有三个交点，00且故而， 为所求 （12 分）278162 （本小题满分 12 分）已知函数 )(3ln)(Raxaxf （I）求函数 的单调区间；（II）函数 的图象的在 处切线的斜率为 若函数 在区间f4,232)(31)(2mxfxg（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围解：（I） （2 分）)0(1)( xaxf当 ,1,0减 区 间 为的 单 调 增 区 间 为时第 4 页 共 12 页当 ;1,0,1)(,0减 区 间 为的 单 调 增 区 间 为时 xfa当 a=1 时， 不是单调函数 （5 分）（II） 32ln)(,234 xx

8、faf得（6 分）)4()(1)( mgmxg )0, 且上 不 是 单 调 函 数在 区 间（8 分） （10 分） （12 分）.0)3(g,319)3,19(3 （本小题满分 14 分）已知函数 的图象经过坐标原点，且在 处取得极大值cbxaxf23)( x（I）求实数 的取值范围；（II）若方程 恰好有两个不同的根，求 的解析式；9)(f )(f（III）对于（ II）中的函数 ，对任意 ，求证： xf R、 81|)sin2()si| f解：（I） ,23)(,0)( bacf 320)1(abf3)(232axx由 ，因为当 时取得极大值，1)(f或 x所以 ，所以 ；33a ),

9、(:的 取 值 范 围 是（4分）（II）由下表： x)1,()32,1(a3),32(a)f+ 0 - 0 -(递增 极大值 递减极小值 2)(76递增依题意得： ，解得：9)32()32(76aa9a所以函数 的解析式是： )xf xxf152（10分）（III）对任意的实数 都有, ,2sin,sin在区间-2，2有： 23068)(,7)(43068)2( fff,71)(xf的 最 大 值 是 432x的 最 小 值 是函数 上的最大值与最小值的差等于81，在 区 间所以 1|)sin()si2| ff（14分）4 （本小题满分 12 分）已知常数 ， 为自然对数的底数，函数 ， 0

10、ae xef)( xagln)(2（I）写出 的单调递增区间，并证明 ；)(xf a（II）讨论函数 在区间 上零点的个数)(gy),1(ae解：（I） ，得 的单调递增区间是 ， （2 分）1xf xf ),0(第 5 页 共 12 页 ， ， ，即 （4 分）0a1)0(f aea1ea（II） ，由 ，得 ，列表xxag)2(2)( 0)(xg2a),0(aa),)(- 0 +xg单调递减 极小值 单调递增当 时，函数 取极小值 ，无极大值2a)(xgy)2ln1()2(aag（6分）由（I） ， ， ，ea22ae2aea， （8 分）01)(g 0)()( gaa（i）当 ，即 时，

11、函数 在区间 不存在零点2xgy),1(ae（ii）当 ，即 时a2若 ，即 时，函数 在区间 不存在零点0)ln1(2ea)(xgy),1(ae若 ，即 时，函数 在区间 存在一个零点 ； ex若 ，即 时，函数 在区间 存在两个零点；)l(ae2)(xy),(ae综上所述， 在 上，我们有结论：(xgy1,)a当 时，函数 无零点；02ef当 时，函数 有一个零点；a当 时，函数 有两个零点()（12分）5 （本小题满分 14 分）已知函数 ()ln1)()1fxkx（I）当 时，求函数 的最大值；kf（II）若函数 没有零点，求实数 的取值范围；f解：（I）当 时， 2()1x定义域为（

12、1，+ ） ，令 ， （2 分）)(xf()0,2fx得当 ，当 ，,2时 ()0f时 ()fx 内是增函数， 上是减函数f在 2,在当 时， 取最大值 （4 分）fx()f（II）当 ，函数 图象与函数 图象有公共点，k时 ln1yx(1)yk函数 有零点，不合要求； （8 分）()f第 6 页 共 12 页当 ， （6 分）0k时 1()1()1kxkfxx令 ， ，(),kfx得 (,),(0,f时 (,),(0fxk时 内是增函数， 上是减函数，1)在 k在 的最大值是 ， ()fx1()lnfk函数 没有零点， ， ，01因此，若函数 没有零点，则实数 的取值范围 （10 分）()f

13、xk(1,)k6 （本小题满分 12 分） 已知 是函数 的一个极值点（ ） 22(3)xae718.2e（I）求实数 的值；a（II）求函数 在 的最大值和最小值()fx3,解：（I）由 可得2)xe（4 分）2()2()3x xfeaae 是函数 的一个极值点， x()f )0f ，解得 （6 分）250a5（II）由 ，得 在 递增，在 递增，01)( xf (xf1,),(由 ，得 在在 递减x)(f)2, 是 在 的最小值； （8 分）2)(ef3， 347)(ef )23(,0)74(17)2(233 feef 在 的最大值是 （12 分）()fx,27 （本小题满分 14 分）已

14、知函数 )0,(,ln)(aRxaxf（I）当 a=18 时，求函数 的单调区间；f（II）求函数 在区间 上的最小值)(,2e解：（） ，xfl16422 分x)4()( 由 得 ，解得 或0f 0)(2x注意到 ，所以函数 的单调递增区间是（4，+ ）x(f由 得 ，解得-2 4，)(2注意到 ，所以函数 的单调递减区间是 .)x,0(综上所述，函数 的单调增区间是（4，+） ，单调减区间是 6 分(f 4,0(（）在 时，,2exxaln)22所以 ，xxaf4)(第 7 页 共 12 页设 axxg24)(2当 时，有=16+42 ，0a08)(此时 ，所以 ， 在 上单调递增，f(x

15、f,2e所以 8 分ef)(2min当 时， = ，)(416a令 ，即 ，解得 或 ；0)(xf 02x21ax21ax令 ，即 ， 解得 . 21ax若 ，即 时，21ae2)1(e在区间 单调递减，所以 .)(xf, aeefxf 24)(42min 若 ，即 时间，221)a在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，)(xf1,ae,2ea所以 .min)2(f )1ln()(3a若 ，即 2 时， 在区间 单调递增，1ae02)1(exf,2e所以 fxf 4)()(2min综上所述，当 2 时， ；aaf4)(24min当 时， ；22)1()1(eae )21ln()(3i ax当

16、 时， 14 分exfin8 （本小题满分 12 分）已知函数 在 上不具有单调性()6)lf(2,)x（I）求实数 的取值范围；a（II）若 是 的导函数，设 ，试证明：对任意两个不相等正数 ，fxf 26gfx12x、不等式 恒成立121238|()|7gx解：（I） ， （2 分）66aafx 在 上不具有单调性， 在 上 有正也有负也有 0，()(,)(2,)x(fx即二次函数 在 上有零点 （4 分）2yx(,) 是对称轴是 ，开口向上的抛物线，26xa3226ya的实数 的取值范围 （6 分）(,4)（II）由（I） ，2()gx第 8 页 共 12 页方法 1： ，22()6(0

17、)agxfx ， ，（8 分）4a33444x 设 ，23()hxx4481()()hx在 是减函数，在 增函数，当 时， 取最小值0, ,232x()hx327从而 ， ，函数 是增函数，()g827()07g87yg是两个不相等正数，不妨设 ，则12x、 12x2211()()xx ， ， 1213()()x123 ，即 （12 分）21gx8712138|()|7gxx方法 2： 、 是曲线 上任意两相异点，1(,)M2,Nx(yg， ，121212)()xa1212xx4a（8 分）12 3121212()4()axx31212()设 ，令 ， ，12,0ttMNkutt4(utt由

18、，得 由 得()ut,3t()0t,3t在 上是减函数，在 上是增函数，, ),2在 处取极小值 ， ，所以)(t2788(7ut12()gx387即 （12 分）12123|)|gxx9 （本小题满分 12 分）已知函数 .1,ln)()( axaf（I）讨论函数 的单调性；x（II）证明：若 .1)(,),0(,5 212121 xffx有则 对 任 意（1） 的定义域为 ，)(xf),0(aaaxf ) 2 分（i）若 ，则 故 在 单调增加,1a即 .)1()2f )(xf),0（ii）若 ., a时则 当故而单调减少，在（0，a-1） ，1,0(),0( fxfxx 在故时及当第 9

19、 页 共 12 页单调增加),1(（iii ）若 ),1(),0)1,(),2, aaxfa 在单 调 减 少在同 理 可 得即单调增加（II）考虑函数 xfg)( .ln12x由 .)1()1()( 2aaxax由于 ，从而当 时有单 调 增 加在即故 ),0(),)(,5ga 0x,0212121 fxfg即故 ，当 时，有)(xff x 1)()(1221 ffxff10 （本小题满分 14 分）已知函数 2()ln,(),faga（I）若函数 在区间 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 的取值范围；,()x13 a（II）若 ，设 ，求证：当 时，不等式1.78ae ()()Fx

20、fgx12,x成立12|()|Fx解：（I） ， （2 分）(,()fxga函数 在区间 上都是单调函数且它们的单调性相同，),1,3当 时， 恒成立， （4 分）132)()0xf 即 恒成立， 2()0ax 在 时恒成立，或 在 时恒成立，,21ax,3 ， 或 （6 分）91x9（II） ，2()ln,(1)Fax()1()1)xaF 定义域是 ， ，即0,ea 在 是增函数，在 实际减函数，在 是增函数x, (,当 时， 取极大值 ，1()x(1)2M当 时， 取极小值 ， （8 分）aFlnmFaa ， （10 分）12,x12|()|m设 ，则 ，()lG()l1G ， ，a(,a

21、e0a 在 是增函数，()ln1()0 在 也是增函数 （12 分）2(,第 10 页 共 12 页 ，即 ，()Gae221(1)()eae而 ，213)1GaMm当 时，不等式 成立 （14 分）12,x12|(|Fx11 （本小题满分 12 分）设曲线 ： （ ） ， 表示 导函数C()lnfe.78()fx()f（I）求函数 的极值；（II）对于曲线 上的不同两点 ， ， ，求证：存在唯一的 ，使1(,)Axy2,By120x12(,)直线 的斜率等于 AB0()fx解：（I） ，得1()efe当 变化时， 与 变化情况如下表：xf()fx1(0,)1e1(,)e()f 0 单调递增

22、极大值 单调递减当 时， 取得极大值 ，没有极小值； （4 分）1xefx1()2fe（II） （方法 1） ， ，0()ABk 1210ln()xex2120lnx即 ，设2011lnxx211()lg， ， 是 的增函数，2()(g1/n0x()gx1 ， ；12x21 2)l()xg， ， 是 的增函数，211()ln()g2/1ln0x 2()gx ， ，12x12l()xg函数 在 内有零点 ， （10 分）211()ln()gx2,0x又 ，函数 在 是增函数，21,0x211ln()g2(,)函数 在 内有唯一零点 ，命题成立（12 分）212()lnxg12(,)x0x（方法

23、2） ， ，0ABfk 1210l()ee即 ， ，且 唯一012lnlxx12(,)x0x设 ，则 ，21()ng2112lnlgx第 11 页 共 12 页再设 ， ，22()lnlhxx20x2()ln0hxx 在 是增函数 ，同理1()g()g方程 在 有解 （10 分）212ll012,x一次函数在 是增函数,xlng方程 在 有唯一解，命题成立 （12 分）lnl012(,)注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线 不存在拐点，不给分C12 （本小题满分 14 分）定义 ，),(,)1(, yxyxF（I）令函数 ，写出函数 的定义域；223log4f()fx（II）令函数 的图象为

24、曲线 C，若存在实数 b 使得曲线 C 在3, 1abx处有斜率为8 的切线，求实数 的取值范围；)4(00（III）当 且 时，求证 ,*xyNxy(,)(,)Fy解：（I） ，即 （2 分）22log(4)024x得函数 的定义域是 ， （4 分）)f(1,3（II） 2321,l)1,Fababx设曲线 处有斜率为8 的切线，00(Cx在又由题设 ,(,0og32 gx存在实数 b 使得 有解， （6 分）1402302bxax由得 代入 得 ， ,8 0820ax有解， （8 分）2041x由方法 1： ，因为 ，所以 ，00()ax041x002(),1)x当 时，存在实数 ，使得曲线 C 在 处有斜率为8 的切线b(（10 分）方法 2：得 ，)()28)()4(2 a或（10 分）10,10.aa或方法 3：是 的补集，即 （10 分）2()() 10（III）令 2)ln(,1lnxhxxh 由又令 ，,0)l(1)(p 0)1()1() 2xp单调递减. （12）分,0在x(), 0,pxhx当 时 有 当 时 有单调递减， ,)(在h第 12 页 共 12 页，xyxxyxyx )1()(,1ln()l(,)1ln()l(,1 有时（14 分） ., xFN时且当