1、近世代数初步习题答案与解答引 论 章一、知识摘要1.A 是非空集合,集合积 的一个映射就称为 A 的一个代数运算( 二元运算AbaA到,:)(或运算).2. 设 G 非空集合,在 G 上有一个代数运算,称作乘法,即对 G 中任意两个元素 a,b,有唯一确定的元素 c与之对应,c 称为 a 与 b 的积,记为 c=ab.若这个运算还满足： ,cba(1) ,(2) )()(c(3)存在单位元 e 满足 ,ae(4)存在 使得 称为 的一个逆元素.,Ga.则称 G 为一个交换群.(i)若 G 只满足上述第 2、3 和 4 条,则称 G 为一个群.(ii) 若 G 只满足上述第 2 和 3 条,则称
2、 G 为一个幺半群.(iii) 若 G 只满足上述第 2 条,则称 G 为一个半群.3.设 F 是至少包含两个元素的集合,在 F 上有一个代数运算,称作加法,即对 F 中任意两个元素 a,b,有唯一确定的元素 c 与之对应,c 称为 a 与 b 的和,记为 c=a+b.在 F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对 F 中任意两个元素 a,b,有唯一确定的元素 d 与之对应,d 称为 a 与 b 的积,记为 d=ab.若这两个运算还满足：I. F 对加法构成交换群.II. F*=F0对乘法构成交换群. III. .)(, acbacb就称 F 为一个域.4.设 R 是至少包含两个元素的集合,在 R
3、 上有加法和乘法运算且满足：I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元 ,记为 0;加法单位逆元称为负元).II. R*=R0对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为 1).III. .)(,), cabacbacb就称 R 为一个环.5.群 G 中满足消去律： ., cbG且6.R 是环, 则称 是 R 中的一个左( 右)零因子.),0(00, babRa或且若 有7.广义结合律:半群 S 中任意 n 个元 a1,a2,an 的乘积 a1a2an 在次序不变的情况下可以将它们任意结合.8.群 G 中的任意元素 a 及任意正整数 n,定义：, .个n.个nne10,则由广义结合律知 有,Zm.)
4、(,)(1mmnnaaa(在加法群中可写出相应的形式.)9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等) 、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域 F 上都成立.二、习题解答1、 （1）否， （2）否， （3）是， （4）是。注：因为集合上的一个代数运算对应了集合到的一个映射。此类题由此直接判断。2、证明 由于在 F2 上的任一和式中，只要有一项是 1，其结果永远是 1。而 a+b 与 b+a；a+(b+c)与(a+b)+c 中 1，0 出现的次数分别相同，它们的和就分别相等，故 F2 中加法交换律和结合律成立。由于 ab
5、 和 ba；a （bc）和（ab）c 中如有 0 出现，其积为零，否则其积为 1，故这两对积分别相等，于是 F2 中乘法交换律和结合律成立。对 a（b+c）和 ab+ac，若 a=0，这两式子都为零；若 a=1，这两式子都为 b+c，对这两种情形两式子都相等，故 F2 中乘法对加法的分配律成立。注：此类题根据所定义的运算法则直接验证。3、 （1）对 a+b=a=a+0 用加法消去律，得 b=0。（2）由于（-a）-b+a+b=（ -a）+-b+（a+b）=（-a）+a=0,由负元的定义知（-a ）-b=-（a+b）.（3）在（2）中将 b 换为-b，就得 -（a-b）=（-a）+b。（4）对
6、a-b=c 两边加上 b，左边=（a-b）+b=a ，右边=c+b ，故 a=c+b。（5）a0+a=a0+a1=a（0+1）=a,用加法消去律得 a0=0。（6） ，故 ，将上式 互换就得 。0)()( ab)(a, )(ba（7） .)(cbccb注：此题直接根据环上的两个运算的性质和关系进行验证。4 =mia1nj njma11)( njmnj ba11。njjiinjjnjj bb111注：此题直接根据环上“乘法对加法的分配律”来证明。5.分几种情形（i） ，但 m，n 不为零，不妨设 m 为正整数。 为 m 个 a 及 m 个 的乘积，由广0 a1义结合律知 。)(1maa（ii）若
7、 m，n 中有零，不妨设 m=0，则左边 。右 边nn00（iii ）m，n 皆为正整数，则 am+n 与 aman 皆为 m+n 个 a 的积，由广义结合律知它们相等。若 m，n 皆为负整数，则 am+n 与 aman 皆为 -（m+n）个 a-1 的乘积，由广义结合律知它们相等。（iv）m，n 中有正有负，且 ，不妨设 m 与 m+n 为异号。则由（iii ），两边再乘上 (参看(i),则 .n)( 1 nma以上已证明了 mmaa)(及再由 );0(,)时当个个 nann 个个个 )(11)()()( nmnmnmmn aaaa ;0,时当 又 .)(10m这就证明了 .)(nmna若
8、a,b 交换,当 m=0 时,显示有 当 m 为正整数时 , 都是 m 个 a,m 个 b 的乘.)(mabmab)(与积,由广义结合律知它们相等,当 m 为负整数时, ,即 .左边又是ab)( 11)(,故 .1)(mbaab)(注：此题根据广义结合律和群中元素的方幂的性质进行验证6. 参照中学数学中对二项定理的证明,根据环上的运算性质及 的交换性直接证明ba,7.由 ,故 .1)( 1112121 2 aaa mm 1212)(aam对第 2 个问题,上面一段正是证明了它的充分性,再证必要性.设 ,则任意 ,2um i,故每个 有逆元素.1)(11uamii i注：直接根据逆元的定义和广义
9、结合律证明.8. 1)1()()( bacabbacbcadba11 .即 1-ba 在 R 内也可逆又由 .故cabcbc ,)()(得 cab)(1a1)(1ad .注：直接根据结合律和环中乘法对加法的分配律验证.9.当 n2 时,取B= 01A 0n010 n则 , ,但 AB=0.A,B 皆为零因子.B注：根据环中零因子的定义直接构造.第一章 群第一节 群的例子一、知识摘要1.数 1 的 n 次单位根 关于复数乘法构成群.1,.20:2nkeUinkn2.域 F 上的全体 n 阶可逆矩阵关于矩阵乘法构成群,称为 n 阶一般线性群,记为 ).(FGLn3. 中全体行列式为 1 的矩阵关于
10、矩阵乘法构成群,称为 n 阶特殊线性群,记为)(GLn S4.实数域 R 上的全体 n 阶正交矩阵关于矩阵乘法构成群 ,称为 n 阶正交群,记为 ).(ROn5.非空集合 M 上的可逆变换全体关于变换乘法构成群,称为集合 M 上的全变换群,记为 .M特别,当 M 是有限集1,2,n时,M 上的可逆变换称为 1,2,n 的一个置换( 或一个 n 元置换).此时,全体 n 元置换在置换乘法下所成的群称为 n 元对称群,记为 .nS6. 域 F 上 n 维线性空间 V 上的全体可逆线性变换在变换乘法下构成群,记为 ).(VGL7.实数域上 n 维欧氏空间 V 上的全体正交变换在变换乘法下构成群,记为
11、 On8.平面上全体正交变换(保持点之间的距离和直线夹角的变换) 在变换变换乘法下构成群,称为平面的正交变换群.二、习题解答1.写仿射点变换 (这儿 T 是矩阵的转置) 为矩阵形式Tyx),),(:, 212121 bxAbayx其中 .021A设另一仿射点变换 : ,其中 ,21cyxB0B则 经 变成Tyx, 212121 cbyxAbyxAyx21cB由于 仍是仿射点变换.,0AB易证:仿射点变换 是恒等变换，它是乘法单位元. 01:yxyxI仿射点变换 正是 的逆变换 .:2bA又变换的乘法自然有结合律，故平面上全体仿射点变换对变换的乘法成为一个群.注：此类题按照群的定义验证,对逆元和
12、单位元的存在性证明是关键.2.平面上正交点变换 可写成矩阵形成: ,21byxA其中 A 为 22 正交矩阵，即满足 （单位矩阵）.IAT正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆也是正交阵。利用这两个性质。完全类似于习题 1 中的论证，能证明本习题的结论.注：此题证明方法与上题一致,关键是掌握正交矩阵的基本性质.3.由题设有 0102yxlyx在仿射点变换 ：21bA的变换下 .,1021。iyxii故 02020202 yxAyxAyxyx 010101 lll由于 ，A 可逆.于是 将不同的三点 变成不同的三点 ， .上面一串等0Tiyx, Tiyx),(2,1式的最前端与最后端相等即表示这
13、三点也共线。注：关键是在 下，验证 0102ylyx4.与第三题类似有 1212yxAyx其中 A 满足 IAT于是121212121 ,yxyxyx 12121212 ,yxAyAy TT.1212, xxx 注：直接验证 121212 yyx5.设 ， ,其中 a,b,c,d 都是复数,a0 且 c0,则abA0cdB0也和 A,B 具有相同的形式.cdB显然, 是单位元且 是 A 的逆矩阵.又矩阵乘法满足结合律,故结论得证.10I abC102注：根据群的定义直接验证,需要说明 AB 也和 A,B 具有相同的形式.6.只需要证明逆元存在性且满足结合律即可.显然, 是(a,b)的逆元.又)
14、,(b(a,b)(c,d)(e,f)=(ac,ad+b)(e,f)=(ace,acf+ad+b)=(a(ce),a(cf+d)+b)=(a,b)(ce,cf+d)=(a,b)(c,d)(e,f),即结合律成立,故 G 是一个群 .注：根据群的定义直接验证.7.对 a 有右逆 b.b 又有右逆 ，这时 a 为 b 的左逆.由 ，得到, abe，b可知 .这样 ，即 b 是 a 的逆.eb8.由题设， 对后一等号两边左乘 ，右乘 ，就得到,22Ga1a1b.ba注：只需要由验证 即可.9. ，有 ，故 ，又 ，a 对后一个等号两边左乘b, eb2ba1,e2a，右乘 b，就得 .a注：关键在于由
15、得到 对 都成立.21G10.易验证,G 对复数的乘法是封闭的且结合律成立 . 显然,1 是 G 的单位元.又,有 ,从而 且 .Gbiaz|2zbbiaz1 1)(2baiba即 z1 是 z 的逆元.注：根据群的定义直接验证.11. ,由 不同时为 0 且 不同时为 0 易知, 和KB,A, 不同时为 0,故 .)()( K显然, 是 K 的单位元且容易验证 是 A 在 K 中的逆元.由矩阵10I )(C乘法满足结合律知,K 关于矩阵乘法构成群 .注：根据群的定义直接验证.12.设 .由性质（2） ， ,且是 s 个不同的元，故sgG,1 Gagas,1.同样由性质（3）可得， 。设其中
16、于是ags1 gs .,agji。即 gi 是 G 的右单位元，g j 是 G 的;)(,)(1asisi ssjj )(,)(1左单位元,分别记为 e 及 ，即 G 有单位元 e.e则,类似于上面作法，由 ，有 b 使 ab=e，由 ，而有 使gs1 as,1 b即 有逆元。又题设 G 有结合律，故是一个群。,)(, eabebeab于 是 a注：证明的关键在于“由 G 是非空有限集,得到 ”.由此去, ggss,11证明单位元和逆元的存在性. 此题给出了非空有限集关于其上定义的乘法作成群的一个条件：“此乘法满足左、右消去律和结合律。 ”13.只证（2） 。用反证法.设 12)(., aea
17、a知由有取 互为1122111 ,.,., aa。GeeGa 由 于于 是外 还 有 元 素除 了若则逆元素，若 是21111212 ,., 故即这 不 可 能则四个不同的元素.设上面的步骤进行 k-1 步，得到 2（k-1 ）个元素 .同样论eGak,1证 除了上述 2（k-1）个元素外要么没有元素了，要么同时有 要么eG ak.1可 知且及 等于 ，要么有 2k 个元素 .因 只有有限个元素，11,kaa eak,11 必然在某个第 k 步停止，即 .故 G 有 2k+1 个，即奇数个元素，矛盾.因此 G1,keG中必有元素 .e2,注：主要根据“群中元和其逆元的阶相同，且不同元的逆元不同
18、”,得到“群中阶大于二的元素个数必为偶数个”.又“群中有且只有单位元的阶是 1”,从而由 G 是偶数阶群可得,G 中必有 2 阶元.14.设 G1.由 .同1221 ,., g。G取因但的 子 群为 不 等 于 11,g2G样可取 ,同理21211 ., ggg 于 是矛 盾则因若作但，就得到 矛盾.故不能有不等于 G 的两个子群2Gg2与 .2121。使 得注：此题的证明主要是基于“对于群 G 中的两个互不包含的子群 G1 和 G2,分别取自 G1G2 和 G2 G1中的两元素的乘积必定不属于 ”这一事实.2115.由于数的加法都满足结合律且 ,其中 p 是素数.),(0mZ,:Qnp 且，
19、.pp Qkh1,k1)pk,(),(.mkhnQkh, mnmn 从 而知 ，且由， 有显然 0 是单位元且 是 的逆元.故结论成立.p注：根据群的定义直接验证.16. 由于数的加法都满足结合律且 ,其中 p 是素数.0iZ:Qp，ni.显然 0 是单位元且 是 的逆pji-jpj mj,iQm, ii nn有， 设 pQpiQni元.故结论成立. 注：根据群的定义直接验证.17. . .361524654132561 561423654132. .65423412 564. 36152462313165注：直接根据 6 元置换的乘法计算.18. ,nitin 21)(,)()2(1 n 2
20、1)()(.)()2(1n注：此题关键在于熟悉 n 元置换的表示形式.第二节 对称性变换与对称性群，晶体对称性定律一、知识摘要1.平面上(或空间中)的一个图形 M 在平面上(或空间中) 的一个正交变换下变为 M 本身,则称此变换是M 的对称性变换.图形 M 的全体对称性变换在变换乘法下构成一个群,称为 M 的对称性群.2.f(x1,x2,xn)是域 F 上的 n 元多项式,若 f(x1,x2,xn)的各文字的脚标经任意 n 元置换 变换后,nS该多项式完全不变,即 ),.,(),.(2121 nnxfxf则称它是域 F 上的一个 n 元对称多项式.3. f(x1,x2,xn)是域 F 上的 n
21、 元多项式(未必对称多项式), 若 n 元置换 满足nS),.,(),.2121nxfxf则称 是 f(x1,x2,xn)的一个 对称性变换. f(x1,x2,xn)的全体对称性变换在变换乘法下构成一个群,称为 f(x1,x2,xn)的对称性群.特别,当 f(x1,x2,xn)是域 F 上的 n 元对称多项式时, f(x 1,x2,xn)的对称性群即是 .nS二、习题解答1、(1)令绕 O 反时针旋转 0，72，144，216，288的 5 个旋转变换为 TO，T 1，T 2，T 3，T 4，令平面对直线 的反射变换为 它们都是对称性变换，对于此正五边形的任一,54321ll ,54321S个
22、对称性变换 T，它若将顶点 A1，变成 ，则 就将 A1变成 A1.易知正五边形的保持 A1不动的对称性iTi变换只有 故全部对称性变换为, 11TS iioioio 或故即，52,1ii共 10 个对称性变换，故它们必须相等。5,432,01iS。i而 前 面 已 列 出个 元 素最 多 有(2)令绕 O 反时针旋转 0，180的旋转变换为 T0，T 1，令平面对直线 的反射为 S1，S 2.它们都21,l是该矩形的对称性变换.使 A1分别变到 A1,A2,A3,A4的对称性变换都只有一个，即分别为 T0,S1,T1,S2.故它们是全部的对称性变换.(3)令绕 O 反时针旋转任意角 的放置变
23、换为 T ,令平面对过中心 O 的任意直线 的反射为 .则圆ll的对称性变换群 的 直 线是 全 部 过 中 心lSTl ,360:,2. .,3241231421 xxx3.能变出 6 个单项式,即为: 它们的和., 132321231 xx是所要求的项数最少的多项式.3213231321213 xxxx注：以 作为一项的对称多项式,必定含有用 S3 去变 所得到的所有可能的单项式.更一般321x地,以某个 k 元单项式 m(x)作为一项的对称多项式,必定含有用 Sk 去变 m(x)所得到的所有可能的单项式.4. .2132133 。A其它证明略去（直接按照群的定义验证 A3 在置换乘法下成
24、为群）.5.直接按照群的定义验证 V4 在置换乘法下成为群.6.正四面体为 ABCD,O 为DBC 的中心,E,F,G,L 分别是 CD,AB,AC,AD 的中点,我们先找出使顶点 A 不动的全体对称性变换的集合 H.这些变换使BCD 变为自己,H 限制在平面 BCD 上是BCD 的对称性群.由此易确定出 ,其中 T1,T2,T3是空间绕轴 AO 旋转(按某固定方向)转 0,120,240 的转32:,iSTHi换变换,S 是空间对面 ABE 的镜面反射.再任选三个对称性变换 M1,M2,M3它们分别能将点 B,C,D 与 A 互变.例可取 M1,M2,M3是空间分别对平面CDF,BGD,CB
25、L 的镜面反射,与第 1 题(1)中的论证类似,可得正四面体 ABCD 的对称性群.G 有 24 个元.,jiSTSTGjiji第三节 子群,同构,同态一、知识摘要1.群 G 的非空子集 H 称为 G 的子群,如果 H 对 G 的乘法构成群 .(1) 群 G 的非空子集 H 是 G 的子群当且仅当(i)H 对 G 的乘法封闭 , (ii)G 的单位元属于 H, (iii) 在 G 中的逆元属于 H.h,(2) 群 G 的非空子集 H 是 G 的子群当且仅当 .,1Hab(3)H1,H2,是群 G 的子群,则 是 G 的子群.设 S 是群 G 的非空子集,G 的含 S 的所有子群的交(还1k是
26、G 的子群)称为 G 的由 S 生成的子群 ,记为.即是 G 的含 S 的最小子群.当 S=a时,记=.称为 G 的由 a 生成的循环子群.有结论: :Zma(4)若有 则称 G 为循环群a使 得2. 群 G 到群 G1 的映射 称为群 G 到群 G1 的同态,如果 ).()(,baba(1) 称为同态 的核,它是 G 的子群.)(:)(1egKer (2)同态 称为满同态(单同态)如果 是满 (单) 射.同态 称为同构如果 是双射.G 到自身的同构称为G 的自同构.3.有无限多个元素的群称为无限群.仅有有限个元素的群称为有限群,此时 G 中元素个数称为群 G 的阶,记为|G|. 集合 M 上
27、的变换群 SM 的子群都称为变换群.4.Cayley 定理 任何群 G 都同构与 G 上(作为集合) 的一个变换群.二、习题解答1.U4=1,-1,i,-i,易证 U4对数的乘法和逆运算都封闭.注：事实上,群的有限非空子集是子群只要运算封闭.2.(1). 因 故,21Hba。bai是 子 群, 于 是故 .2,11iHab.21Hab是 子 群21(2)对 a,b 来证明 ，因 ,1iiH.1iiHab。bai是 子 群, 于 是故 ,21,1iHab。iii 是 子 群故 11.(3) 设 又,.,1 lkHbalkHbalkii 不 妨 设使必 有,llkHba得于 是 由 l。是 子 群
28、 iiil 是 子 群故知 11.注：H 是 G 的非空子集, 若 ,则 H 是 G 的子群.有,ba13.易见 eZ(G),故 .)(Z 故即且有 .gb,bga)( 1GZ从而 Z(G)是 G 的子群.)(Z).(gagab)g( 111111 即注：H 是 G 的非空子集, 若 ,则 H 是 G 的子群.有,b4. (1).易见 eC G(S),故 . .故(S) ,sbasS,()C且有则 1s即从而 CG(S)是 G 的子群.).(ab.sas)a(bs)(ab 111111 即(2).易见 eN G(S),故 . .先证 .,()N, -1-G且有b S-1故s)b(s,ss,S,
29、s 111 Ss 从 而使 得存 在. .故 .所以 .有b-1Sb)(b-1- 故 -1-1从而 NG(S)是 G 的子群ab.)a()(a G-1-1-1 即注：H 是 G 的非空子集, 若 ,则 H 是 G 的子群.有,15.(1). ， 从 而是 子 群 ， 由这 里 )(,aHha 1-1-1 hh故 是子群a)()()(h -1-1-1 -a(2). 从而).b(),GH, 1 的 自 同 构是又是 子 群由这 里 bbb故 是子群.).()()( 111aa注：H 是 G 的非空子集, 若 ,则 H 是 G 的子群.有,1a6.写 V4 中的元为 a,b,c,e(单位元),则有
30、而 U4 中个元为 假设 V4 到 U4 有同构.22ecb.,1i.不妨设 .由 不保ia ,.1,1,.1, 2222 aaiaea 故但持乘法,矛盾.故 V4 与 U4 不同构.7.在第二节例 3 中已计算过正三角形A 1A2A3 的对称性群 G 有 6 个元素.每个对称性变换引起顶点A1,A2,A3 的一个置换.这就引起了 G 到 S3 的一个映射.易检验这 6 个变换引起 S3 的全部 6 个不同的置换.故这映射是双射.又连续两次作对称性变换引起连续两次顶点的置换.即对称性变换的乘积引起对应的顶点置换的乘积,故这映射保持乘法.因此上述映射是对称性变换群 G 到 S3 的同构.注：同构
31、映射的建立三关键.8.Gayley 定理断言,有限群 G 同构于 G 上的变换群.设 G 的阶为 n,则 G 同构于 Sn 的子群.而 Sn 的子群只有限个,故只有有限个不同构的 n 阶群.注：这是 Gayley 定理导出的一个重要结论.9.(1). .cossini),2,0(,cosin,cosi 1 BLBA 则 ico)sinco(ininsin1B. 若若其 中 ,2)(,)cos()si(co)co()i(co则 .L,AB,201是 群故即 (2). .e0),2,0(,Me0,e0 i-i1i-ii-i B则,ee )-i()-i()-i()-i(i-ii-i1 AB. 则若若
32、其 中 ,2)( .M,AB,201是 群故即 (3).定义 L 到 M 的映射 ,则可验证 f 是双射.且i-ie0cosin:f )i(-)i(e0)cos()in()sicosinco( ff故 L 同构与 Min)cosi(e0ei-i)i-i ff注：H 是 G 的非空子集, 若 ,则 H 是 G 的子群.有,ba110.显然， 是 G 到自身的双射 .设 G 是交换群, 则1:xf,yx.f)()()( 1的 自 同 构是故yfxyyxf 反之，设 , 则的 自 同 构是 Gf f(n).bf(m,aG,n,ba 使 得存 在故 G 是交换群.b)(fmn)(n(m)ab-1-1注
33、：根据群的自同构与交换群的概念直接证明.11. 令.2,02, hykxRy，则,2)(0若若故.2,)()1( 若若hkyx )cos()sin(icosincosinco) .从而)()co()i( yx.LR的 同 态到 群是 加 群注：根据三角函数的相关公式直接验证.12. 其中 ,。xtxtStHxt lklkiilk 111111 , 则或 1it或都属于 S,故 iiix1或 .,11 是 子 群即 Hxlk又设 H1 是 G 的包含 S 的子群,则必含所有形为 因而HSt。tik 111 ,故或其 中的 元 素的最小的子群.即S是 包 含 .注： .S,GH111且13.设 H
34、 是加法群 Z 的子群,若 ,则 H 中有非零整数 t.若 t0,则 故 H 中有正整Z0 ,Zt数.取 n 为 H 中最小的正整数 .任意 又由于.0nrr。ngm。m或其 中作 带 余 式 除 法 ：矛盾.故 又因为的 最 小 性则 与若 n。qmr0r .,0qr即因此.lln, HnZnZn ll 即 有或 个个 .nZ注：整数加法群 Z 的任一子群 H 都有 ,其中若 H=0,则 n=0,其它情况时 n 为 H 中最小正整Z数.14.设 是 Q 的有限生成的加法子群.由第 12 题易知 .取spqH,1 lpqisi1的最小公倍数为 m,则sp,1.取 1,.,., 211 siii
35、isiii ttmnQnpqn。Qmqp 则令 为则再 令令 为于 是使 .,11ss tktZk ., 1111111 siisiisiisiiiiisi tlntlpqlHlHnttnpq且 任 意这就证明了 是循环加法群.mH注：证明一个子群是循环子群，通常是先去找该子群的一个特殊元（如这里的 ） ，然后去验证该mn子群可以由这个元生成.此生成元 的构造往往是此类题证明的关键,也是难点.n15.由于 不是整数矩阵.11,2,21 即故全体 22 整数元素的可逆矩阵不成为群.取正实数矩阵 即正实数可逆矩阵的逆矩阵不是正实数矩阵.。112故全体 22 正实数可逆矩阵不成为群.16. ).n(
36、y),m(x,),(,).(, 使 得存 在恒 等 变 换显 然 GnmyxGAutut从而 .Aut).y()(yx)y()x( 故故mn)(nmy111 ).(1111 .)G(Aut).(t是 群从 而注：证明逆运算封闭是关键.第四节 群在集合上的作用,定义与例子一、知识摘要1.群 G 到某个集合 M 的全变换群 SM 有一个同态 T.将 G 的任意元 g 对应于 M 上的变换 T(g)，从而对 M 进行变换.就说 g 作用于 M 上.且称该同态 T 是群 G 在集合 M 上的一个群作用.对 记.,mGg群 G 在集合 M 上的一个群作用确定了一个映射 ：.)(mgT )(,2. 的映射
37、 能确定群 G 在集合 M 上的一个群作用当且仅当到mg),(:).Ge(m)g(e, 121221 的 单 位 元是这 里，且有对 二、习题解答1.定义 GL(V)的单位.).(),()(: 是 映 射由 高 等 代 数 知 识 知 ， WfffMVGL元是 V 上的恒等变换 I. 由 f,g 是变换,有.)(,MIW .),(,MWVGLgf).(:)(:)()()( gfffgffg 从而, 决定了 GL(V)在 M 上的群作用。”“2.(1)KH 的单位元是(e,e),其中 e 是 G 的,也是 K 和 H 的单位元 : .,1eg(2) ,., 212121 GhkHhKk .),(
38、,),(, 2121121121 ghkghkhkggh 由命题 1,上面映射 决定了 KH 在 G 上的群作用。”“3. 定义 GM1到 M1的映射. ；)(),(: iii AAGM2到 M2的映射. );(,: kjikjikjiGM3到 M3的映射. ).()( jijiji易证 分别决定了 G 在 M1，M 2，M 3上的一个群作用.,4.首先证明 定义了 GM 到 M 的映射.PAP= AP。n。G 有实 对 称 阵是对故是 正 交 矩 阵 1, P1易证这映射决定 G 在 M 上的一个群作.的 映 射到确 定 了故实 对 称 阵是 n用.5.对 的多项式, 都是zyxFrfLA)
39、(,3上是 zyxrfA,中x,y,z 的一次多项式,若设为 a1321zyxy,3231z其中 仍是 F),(),()(. 32312211 zayxzayxzayxfyxfArfFaij 则上 x,y,z 的多项，故 ArffA,建立了 的一个映射，易证它决定 G 在 M 上的一个群作用 .MG6.记 G 的单位元是 e,也是 K， H 的单位元。 有,tHett .,MtKsk.)()(:)(:)( skhskhkstttHks 从而 决定了 G 在 M 上的一个群作用.注：以上各题直接根据群作用的概念证明.第五节 群作用的轨道与不变量，集合上的等价关系一、知识摘要1、群 G 作用于集合
40、 M 上,对 ,称 为 x 在 G 作用下的轨道,或过 x 的轨道.x:gxOxM 为所有不同轨道的无交并.2、设映射 能决定一个群作用.若 M 上取值于另一集合( 域、或复数域、或这些域上多:项式的集合)的某个函数 F 满足： 则称 F 是该群作用下的一个不变量.(即),),xFgx不变量在任一条轨道上都取常值).3、设 G 在集合 M 上有群作用.M 上的一组函数 F1, F2, Fk 称为 M 在 G 作用下的不变量的一个完全组，如果 .,)(, iyxyxii 同 一 轨 道 上和二、习题解答1.V 中可逆线性变换若把某子空间 W 变成子空间 W1，则把 W 的基变成 W1 的基，故同
41、一轨道上的子空间具有相同的维数，又设 V 的两个子空间 W 和 W1，它们有同样维数 k0，分别取 W 和 W1 的基为分别补充成 ，使它们都是 V 的基.由线性代数知道必有 V 上kk,;,11 nknk1;可逆线性变换 A,使 A 就将子空间 W 变成子空间 W1.故 W 与 W1 在同一条轨道上.,2,iAi故对 V 中全体 k 维子空间的集合 Vk 构成群作用的一条轨道 .共有 n+1 条轨道.子空间的,20nk维数是不变量,并构成不变量的完全组.2.对 A,B 皆为 nn 实对称矩阵,若 A,B 在同一轨道上,即有 nn 正交阵 P 使 B=PAP-1,则它们有相同的特征值集合.反之
42、,设 A,B 为具有相同特征值集中 的)(,1 次现重 特 征 值 就 在 集 合 中 出是 kkinn 实对称矩阵，它们都可用实正交矩阵化为对角阵，即有 nn 正交阵 P1，P 2 使211 BAPn于是 仍为正交阵，故 A，B 在同一条轨道上.121212,BPAp以上说明,特征值的集合是群作用的不变量的完全组.而全部特征值的和,全部特征值的积,特征多项式都是群作用的不变量.注：以上两题直接根据群作用的不变量和不变量的完全组的概念解答.3.实际上 KtH 是第 4 节习题 2 中群作用下的一条轨道( 即 t 所在的轨道), 两条轨道或重合或不相交,即两个(K,H)双倍集或重合或不相交.作用
43、集 G 是全体轨道的无交并也就是全体(K,H)双陪集的无交并.注：群 在 G 上有群作用,则在此群作用下的所有轨道构成 G 的一个划分.HK第六节 陪集,Lagrange 定理 ,稳定化子,轨道长一、知识摘要1.令 H 是有限群 G 的子群. 在 H 在 G 上的左(或右 )乘作用下过 x 的轨道,x): Hhxh或称为 H 在 G 中的一个右(或左) 陪集.子群 H 在 G 中的右、左陪集数目相等,称为子群 H 在 G 中的指数,记为G:H.2.(Lagrange 定理) H 是有限群 G 的子群,则|G|=G:H|H|.3.设群 G 作用于 M. 对 , 称为群 G 作用下 x 的稳定化子( 是 GMx:)(xgGxStabG的子群). 当 G 是有限群时,记过 x 的轨道为 ,则 Ox
