1、! ! ! 收 稿 日 期 ： “#$ #% #/0 文 章 编 号 ： $)M;317.6C VL.C/.K32 1CU W.C.72 :6P2L.CF VL.C/.K3233 /6P2L.CF； 1/;M;3172 K6.C7； I.C.72 /6P2L.CF! ! -./0123 4+ 567896 提 出 了 完 全 覆 盖 的 概 念 ， 并 证 明 了 闭 区 间 上 的 完 全 覆 盖 定 理 + 顾 荣 宝 和 陈 德 泰 利用 完 全 覆 盖 定 理 证 明 了 实 数 系 中 的 连 续 性 定 理 、 确 界 定 理 、 闭 区 间 套 定 理 和 单 调 有 界 定 理
2、 + 本 文 利 用 闭 区间 上 的 完 全 覆 盖 定 理 来 证 明 实 数 系 中 的 :1;/0 收 敛 准 则 和 聚 点 定 理 + 有 限 覆 盖 定 理 的 传 统 的 证 明 都 过 于繁 琐 ， 笔 者 通 过 对 完 全 覆 盖 的 分 析 ， 给 出 了 有 限 覆 盖 定 理 巧 妙 而 简 洁 的 证 明 + 为 了 叙 述 方 便 ， 先 给 出 完 全覆 盖 定 义 和 完 全 覆 盖 定 理 +完 全 覆 盖 定 义 ： 闭 区 间 !， “ 的 闭 子 区 间 簇 # 称 为 !， “ 的 一 个 完 全 覆 盖 $ 如 果 对 任 意 一 点 %! !，
3、 “ ， 都 存 在 !（ %） X#， 使 得 !， “ 的 每 一 个 包 含 % 并 且 长 度 小 于 !（ %） 的 闭 子 区 间 都 属 于 #$完 全 覆 盖 定 理 ： 闭 区 间 !， “ 的 任 意 完 全 覆 盖 # 包 含 !， “ 的 一 个 分 割 ， 即 存 在 ! Y %#Z %Z %“Z Z %LC13 6I N2O2. A6L70 C.P2L8.7（ A17;L13 /.2C/2 aU.7.6C）! ! ! ! ! !b63 “ A6 C2 “#$! ， 显 然 ， ! “#， “#! $ !， ! ， # %!， &， $ 令 % % & & 为 $ !
4、， ! 的 闭 子 区 间 ， 且 & 中 最多 含 有 “#的 有 限 项 $ 由 假 设 $ !， ! 上 任 意 一 点 都 不 是 “#的 极 限 ， 则 对 于 这 个 ， 存 在 !（ ） “#， 使 得 （ $ !（ ） ， ( !（ ） ） 中 最 多 含 有 “#的 有 限 项 ， 否 则 ， *“ “#， （ $ “， ( “ ） 中 含 有 “#的无 限 多 项 ， 由 已 知 条 件 ， 对 于 “ “#， 存 在 一 个 正 整 数 (， *# “ (， *) “ (， “#$ “) “， 一 定 存 在 * “(， 且 “*!（ $ “， ( “） ， 从 而 *#
5、 “ (， “#$ ) “#$ “*( “*$ )&“， 即 *+,#&-“#% ， 这 与 假 设 矛盾 $ 故 *! $ !， ! ， 存 在 !（ ） “#， 使 得 （ $ !（ ） ， ( !（ ） ） 中 最 多 含 有 “#的 有 限 项 ， $!， ! 的 每 一 包 含 且 长 度 小 于 !（ ） 的 闭 子 区 间 中 最 多 含 有 “#的 有 限 项 ， 从 而 必 属 于 %， 可 见 % % & & 为 $ !， ! 的 闭 子 区 间 ， 且 & 中 最 多 含 有 “#的 有 限 项 是 $ !， ! 的 一 个 完 全 覆 盖 ， 由 完全 覆 盖 定 理
6、， 存 在 $ ! % #) !) &) ) # $!) #% !， 使 得 每 一 个 # $!， # !%， * % !， &， ， #， $ !， ! 中 最 多 含 有 “#的 有 限 项 ， 这 与 “#有 无 穷 多 个 互 异 的 项 ， “#! $ !， ! ， # %!， &， 相 矛盾 $ 故 假 设 不 成 立 ， 数 列 “#收 敛 $定 理 &（ 聚 点 定 理 ） 有 界 无 限 点 集 必 有 聚 点 $证 明 ：用 反 证 法 证 明 $ 假 设 有 界 无 限 点 集 + 没 有 聚 点 ， 不 妨 设 “ 和 , 分 别 是 + 上 界 和 下 界 $ 则
7、“， , 中 的任 意 一 点 都 不 是 + 的 聚 点 $ 即 *! “， , ， 存 在 !（ ） “ #， 使 得 （ $ !（ ） ， ( !（ ） ） 中 最 多 含有 + 的 有 限 项 $ 令 % % & & 为 “， , 的 闭 子 区 间 ， 且 & 中 最 多 含 有 + 的 有 限 项 ， 显 然 % % & & 为 “， , 的 闭 子 区 间 ， 且 & 中 最 多 含 有 + 的 有 限 项 是 “， , 的 一 个 完 全 覆 盖 ， 由 完 全 覆 盖 定 理 ， 存 在“ % #) !) &) ) # $!) #% ,， 使 得 每 一 个 * $!， *
8、!%， * %!， &， ， #， “， , 中 最 多 含 有 +的 有 限 项 ， 这 与 + 是 无 限 点 集 相 矛 盾 $ 所 以 有 界 无 限 点 集 必 有 聚 点 $下 面 给 出 有 限 覆 盖 定 理 的 一 个 非 常 简 单 的 证 法 $定 理 .（ 有 限 覆 盖 定 理 ） 若 开 区 间 集 - 覆 盖 闭 区 间 “， , ， 则 - 中 有 有 限 个 开 区 间 覆 盖 闭 区 间 “， , $证 明 ：令 % % & & 为 “， , 的 闭 子 区 间 ， 且 - 中 存 在 某 个 开 区 间 #， 使 得 &.# $已 知 开 区 间 集 -
9、覆 盖 闭 区 间 “， , ， 故 *! “， , ， 至 少 存 在 - 中 某 个 开 区 间 #， 使 得 !#， 不 妨设 #% （ !， &） ， 令 !（ ） % ,+/ $ !， &$ ， 显 然 !（ ） “#， “， , 的 每 一 包 含 且 长 度 小 于!（ ） 的 闭 子 区 间 都 包 含 于 #， 可 见 % % & & 为 “， , 的 闭 子 区 间 ， 且 - 中 存 在 某 个 开 区 间 #， 使得 &.# 是 “， , 的 一 个 完 全 覆 盖 ， 由 完 全 覆 盖 定 理 ， 存 在 “ % #) !) &) ) # $!) #% ,， 使 得
10、 每一 个 * $!， * !%， * % !， &， ， #， 设 * $!， * .#*!-， * % !， &， ， #， 则 #!， #&， ， #覆 盖 了 “， , $参 考 文 献 ： ! 0 刘 玉 莲 ， 傅 沛 仁 $ 数 学 分 析 讲 义 上 册 （ 第 三 版 ） 1 2 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， !33&2 !.#4!.5 & 0 菲 赫 金 哥 尔 茨 2 微 积 分 学 教 程 （ 第 一 卷 ） （ 第 一 分 册 ） 1 2 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， !3562 7548# . 0 顾 荣 宝 ， 陈 德 泰 2 数 学
11、分 析 中 若 干 定 理 的 证 明 9 $ 数 学 通 报 ， !33#， 55（ &） ： .3.:! 责 任 编 辑 ： 刘 守 义 7 年 6 月 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 关 金 玉 等 ： 用 完 全 覆 盖 证 明 实 数 系 中 若 干 定 理 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第 . 期用完全覆盖证明实数系中若干定理作者： 关金玉， 徐永春， 祁建芳， GUAN Jin-yu， XU Yong-chun， QI Jian-fang作者单位： 河北北方学院数学系,河北,张家口,075000刊名： 河北北方学院学报（自然科学版）英文刊名：
12、JOURNAL OF HEBEI NORTH UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)： 2006，22(3)被引用次数： 3次参考文献(3条)1.刘玉莲.傅沛仁 数学分析讲义 19922.格马菲赫金歌尔茨.丁寿田.叶彦谦.杨弢亮 微积分学教程 19563.顾荣宝.陈德泰 数学分析中若干定理的证明 1990(02)相似文献(1条)1.期刊论文 李博.梅瑞.LI Bo.MEI Rui 利用完全覆盖定理证明二维空间的几个完备性定理 -河北北方学院学报（自然科学版）2008,24(2)目的 将完全覆盖的概念和完全覆盖定理从一维空间推广到二维空间,利用完全覆盖
13、定理证明二维空间的几个完备性定理.方法 在二维空间采用四等分矩形区域的方法构造闭区域列,再根据闭区域套定理给出二维空间完全覆盖定理的严格证明.结果 推广到二维空间的完全覆盖定理从另一个侧面刻划二维空间的完备性,丰富了证明二维空间连续性的方法和手段,为把完全覆盖定理推广到n维空间作出必要的准备和铺垫.结论 完全覆盖定理在二维空间有广泛的应用,对二维空间整体性的描述具有重要的意义.可以利用完全覆盖定理证明二维空间的聚点定理、有限覆盖定理和柯西收敛准则.引证文献(3条)1.李博.梅瑞 利用完全覆盖定理证明二维空间的几个完备性定理期刊论文-河北北方学院学报（自然科学版）2008(2)2.徐永春.关金玉.李博.梅瑞 用连续归纳法证明实数系中的定理期刊论文-数学的实践与认识 2007(1)3.徐永春.关金玉.梅瑞.李明 统一简化证明数学分析中的定理期刊论文-河北北方学院学报（自然科学版）2006(6)本文链接：http:/
