1、 求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）摘要在特征值计算问题上，QR 方法具有里程碑意义。QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。QR 方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。关键词：特征值；特征向量；QR 分解求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Ei
2、genvalue And EigenvectorABSTRACTValues in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algo
3、rithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation i
4、s very large, and is not easy to find the exact solution.Key words: eigenvalue; eigenvector; QR decomposition求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）目 录1 绪论.11.1 问题重述.11.2 研究方法12 QR方法.32.1 QR 分解的概念.32.2 Givens 方法.32.3 豪斯霍尔德方法 （镜像变换）.52.2.1 Householder 矩阵 和 Householder 变换.52.2.2 QR 算法63 QR算法 C实现过程 .83.1 主要参数.83.2 组成模块.
5、83.3 程序改错.84 测试运行.11参考文献.附录.求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 1 页 共 13 页1 绪论1.1 问题重述（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用 QR 方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。（2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从 70 到 80 阶）（1.1）4114A的全部特征值和特征向量。1.2研究方法在特征值计算问题上，QR 方法具有里程碑意义。在 1955 年的时候，人们还觉得特征值的计算是十分困扰的问题，到 1965 年它的计算基于 QR 方法的程序已经完全成熟。直到今天 QR 方法仍然是特征值计算的有效方法之一。设 是 阶矩
6、阵，如果数 和 维非零向量 满足Annx（1.2）Ax则 称为矩阵 的一个特征值， 称为矩阵 的属于 的特征向量。 由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。故在工程技术上，计算矩阵的特征值和特征向量主要使用数值解法，得到其在某一精度水平上的近似解。常用的算法有：幂法、反幂法、Jacobi 方法和 QR 方法。通过这次课程设计实现用 QR 方法求解实对称三对角矩阵的全部特征值和特征向量。QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方
7、法之一。QR 方法具有收敛快，算法稳定等特点.求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 2 页 共 13 页对矩阵 进行拟上三角化得到 后，使用带双步位移的 QR 方法的迭代公式为：A)1(nA（1.3）kTkkknQARMtIs12)1( )( 分 解作对求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 3 页 共 13 页2 QR算法应用2.1 QR分解的概念定理 1.1 如果实（复）非奇异矩阵 能化成正交矩阵 与实非奇异上三角矩阵1 AQ的乘积， 即 R（2.1）=QR则称式（2.1）是 的 分解。AR引理 1.1 任何实的非奇异 阶矩阵 可以分解成正交矩阵 和上三角矩阵 的乘nAQR积
8、，且除去相差一个对角线元素之绝对值全等于 1 的对角矩阵因子 外，分解式D（2.1）是唯一的。定理 1.2 设 为 复矩阵（ ） ，且 个列向量线性无关，则 具有分1AmnnA解（2.2）RU其中 是 复矩阵，且满足 ， 是 阶复非奇异上三角矩阵，且除去相UnH n差一个对角元素的模全为 1 的对角矩阵因子外，分解式（2.2）唯一的。2.2 Givens方法我们知初等旋转变换的性质，即用 在乘矩阵 时，仅影响 的第 行和第 行，ijRAij且选适当的 ，就可以消去 的一个非零元素。一般地说，作一次旋转可以消去一个ijRA非零元素。如果在作下一次旋转时不会影响前面已化为零的元素,即不会重新又变成
9、非零,那么,借助于初等旋转矩阵将 约化成上三角矩阵就有希望。在平面解析几何中，将向量 沿顺时针旋转角度 后变为向量 时的旋转变换为 xy（2.3）cosinyxT由于旋转变换不改变向量的模，即求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 4 页 共 13 页， （2.4）2Tx此即 ，所以 是正交变换，从而 是正交矩阵，且,Txx。 （2.5）det1一般地说，在 维欧氏空间 中引入旋转变换如下。nnR定义 1.2 设实数 与 满足 ，称2cs2s（2.4）111ij csT ()ij为 Givens 矩阵（或初等旋转矩阵（Elementary Rotation Matrix） ） ，有时也记
10、为，由 Givens 矩阵所确定的线性变换称为 Givens 变换（或初等旋转变换(,)ijijTcs（Elementary Rotation Transformation） ）.当 时，必有角度 ，使得21cscos,in性质 1.2.1 Givens 矩阵是正交矩阵且有2（2.5）1(,)(,)(,)TijijijTsscs（2.6）detijc性质 1.2.2 设21212(,.),(,.)TTnij nxyx则有（2.7）(,)iijjkcsij式（2.7）表明，当 时，选取20ij第 行i第 行j求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 5 页 共 13 页（2.8）22,jij
11、ijcs就可使。 （2.9）20,iijj定理 1.3 设 ，则存在有限多个 Givens 矩阵的乘积,记为 ,212(,.)Tnx T使得 ，其中 。 （2.10）12xe1(,0.)T推论 1 .设非零向量 及单位列向量 ，则存在有限多个 Givens 矩阵的2 nRnzR乘积，记为 ，使得T。 （2.11）2Txz2.3豪斯霍尔德方法 （镜像变换）2.3.1 Householder 矩阵 和 Householder变换定义 3.1 设 ，且 称2nuR21（2.12）TIu为 Householder 矩阵（或初等反射矩阵（Elementary Reflection Matrix） ）,由
12、Householder 矩阵所确定的初等变换称为 Householder 变换（或初等反射变换（Elementary Reflection Transformation） ）.Householder 矩阵具有如下性质：（1） （对称矩阵） ；T（2） （正交矩阵） ；I（3） （对合矩阵） ；2（4） （自逆矩阵） ；1（5） det使用式（2.12）可直接验证性质(1)到性质(4)设 为一个单位列向量， 是过原点且与 垂直的平面， ,其中3uRsu312,R，则 ,(因为 ，而 ，故 ，从而12,s112Tus1su求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 6 页 共 13 页)10Tu
13、22222()()TTTuuku（因为 ，故 ，而 ，故 与 平行，从而 ） 。这样 经变换后sss ku的镜像 是 关于 对称向量 。1212(6) ，记 ，则有nxRyx（2.13）()()TTxuxu（2.14）Ty式（2.13）第二个等号成立的理由是矩阵乘法满足结合律，而 为实数。Tx式（2.14）表明 。 22yx定理 1.4 设 为非零列向量 ， 为单位列向量，则存在 Householder nRnzR矩阵 ，使得 。2xz2.3.2 QR算法假设 为非奇异矩阵，则由定理 1.1 知 有 QR 分解，先说AAQR令 ，对 作 分解，得11QR交换 与 的次序 ，得12QRA再将 作
14、 分解 ，得22又交换 与 的次序 ，得QR32A如此反复作下去，得迭代序列 如下kA求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 7 页 共 13 页（2.15）1QR(1,2.)kkA称式（2.15）为矩阵 的 算法（Algorithm）R由式（2.15）易知 ， ，故 ，这表明矩阵序列 中1kkA1kkAkA任何两个相邻矩阵都是相似的，从而每个 都与矩阵 相似。求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 8 页 共 13 页3 QR解法 C 实现过程3.1 主要参数求实对称三对角对称矩阵的全部特征值及特征向量可利用变型 QR 方法计算，下面是主要参数：n-矩阵的阶数 ；b-长度为 n
15、的数组，返回时存放三对角阵的主对角线元素 ；c-长度为 n 的数组，返回时前 n-1 个元素存放次对角线元素 ；q-长度为 n*n 的数组，若存放单位矩阵，则返回实对称三对角矩阵的特征向量组 ； 若存放 Householder 变换矩阵，则返回实对称矩阵 A 的特征向量组 ；a-长度为 n*n 的数组，存放 n 阶实对称矩阵；3.2 组成模块程序由两个函数构成，分别是主函数和功能函数 3：int main()主要负责各变量的初始化；int sstq(int n,double b,double c,double q,double eps,int l)主要负责通过多个循环实现求出实对称三对角矩阵的
16、全部特征值和特征向量；3.3 程序改错错误一如图 3.1 所示：图 3.1 建立数组出错改正： static double bN,cN,qN这一语句出错，将其改为 static double bN,cN,qNN后不报错。求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）第 9 页 共 13 页错误二如图 3.2 所示：图 3.2 数组 A 初始化出错改正：for(i=0;id) d=h; m=j; while (md) m=m+1; if (m!=j) do if (it=l) 求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）printf(“failn“); return(-1); it=it+1; g=b
17、j; p=(bj+1-g)/(2.0*cj); r=sqrt(p*p+1.0); if (p=0.0) bj=cj/(p+r); else bj=cj/(p-r); h=g-bj; for (i=j+1; i=j; i-) g=e*ci; h=e*p; if (fabs(p)=fabs(ci) e=ci/p; r=sqrt(e*e+1.0); ci+1=s*p*r; s=e/r; e=1.0/r; 求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）else e=p/ci; r=sqrt(e*e+1.0); ci+1=s*ci*r; s=1.0/r; e=e/r; p=e*bi-s*g; bi+1=h+s*(e*g+s*bi); for (k=0; kd); bj=bj+f; for (i=0; i0)求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）printf(“全部特征值:n“);for(i=0;iN;i+)printf(“%6lft“,bi);printf(“nn“);printf(“对应每个特征值的特征向量(按列看):n“);for(i=0;iN;i+)for(j=0;jN;j+)printf(“%6lft“,qij);printf(“n“);printf(“n“);
