1、回顾：,(1) 了解集合，映射。（邻域）,(3)函数的特性。,(2) 充分理解函数的概念。（定义域、对应法则、表示、单值、显隐、图象、分段）,（一）函数概念,三、函数,一、集合,二、映射（略）,（二）函数的特性,（三）初等函数,1. 基本初等函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,（ 为常数）,正割函数,关于正割的公式,余割函数,关于余割的公式,定义域：-1，1,值域：,奇函数,定义域：-1，1,值域：,非奇非偶函数,定义域,值 域,奇函数,定义域：,值域：,非奇非偶函数,2. 反函数,设函数 f : Df (D)是单射, 则它存在逆映射f 1: f (D)D, 此映射f 1称
2、为函数 f 的反函数.,注意：yf(x), xD的反函数，按某种习惯也记成yf 1(x),xf (D).,对函数yf(x)来说，其反函数记作xf 1(y).,相对于反函数xf -1(y)来说，原来的函数yf(x)称为直接函数.,反函数的图示,函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的.,例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为,3. 函数的四则运算,设函数 f (x), g(x)的定义域依次为D1, D2, 而,积 f g : (f g)(x) f(x)g(x), xD;,和(差) f g : (f g)(x) f(x) g(x), xD;,则可以
3、定义这两个函数的下列,运算:,则由函数yfg(x), xD称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量.,4.复合函数,函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即(f o g)(x)f g(x).,设函数yf(u)定义在D上,函数ug(x)定义在D1上,且g(D)D1,注: 1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的.,2. 复合函数可以由两个以上的函数复合构成.,如:,例如：,5. 初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.,都是初等函数.,例如,
4、 函数,应用上常遇到的双曲函数:,双曲正弦:,双曲余弦:,双曲正切:,双曲函数,设函数,x 换为 f (x),例6.,解:,下页,y=f (n), (n=1,2,),参数方程所确定的函数,整变量函数-数列,另两类常见的函数,参数方程所确定的函数的例子,注: 此两曲线也不是一个函数的图象,（四） 函数模型 （课下自己阅读）,总成本模型、 需求模型供给模型、 收益模型利润模型、 保本分析,小结：,(1) 复合函数、基本初等函数、初等函数,(2). 建立函数模型,第一章,二、收敛数列的性质,三、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,下页,极限的背景,在现代的数学分析教科书中，几乎所有
5、基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。（地位）,刘徽的割圆术，古希腊人的穷竭法。（起源）,极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。（发展）,极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。（完善）,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、数列极限的定义,1、割圆术：,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,“割之弥细，所
6、失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无
7、所失矣”,刘徽,1、割圆术：,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,又算到3072边形的面积，得到= =3.1416，称为“徽率”。,算到192边形的面积，得到= =3.14，,2.截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,庄子 天下篇,数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .,数列的几何意义,数列的定义,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , ，这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,例如,趋势不定,收 敛,发 散,下页,例
8、如,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则称常数a为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为,数列极限的通俗定义,问题:无限接近”意味着什么? 如何用数学语言 刻划它.,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称
9、数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限,例1. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,下页,分析:,因为,恒有,所以,例2 设|q|1, 证明等比数列1, q , q2, , qn-1, 的极限是0.,|qn-1-0|=|q|n-1e ,要使|q|n-1log|q|e +1就可以了., N=log|q|e +1 ,1. 数列极限的几何意义,点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内,只有有限个点落在这区间以外.,任意给定a的e邻域(a-e, a+e),存在 NN当
10、nN,时,二、几何意义与收敛数列的性质,例3. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时, 有,因此该数列发散 .,下页,定理2 (收敛数列的有界性) 收敛数列xn一定有界.,证: 设,从而有,取,则有,此证.,1 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界 那么发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否一定收敛?,2 数列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性与收敛性如何？,讨论,3.收敛数列具有保号性.,下页,4.收敛数列的任
11、一子数列收敛于同一极限.,1 极限的唯一性,2 收敛数列的有界性,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,下页,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,返回,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠基人之一,他为微积,分所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,返回,作业,习题二 : 思考与练习 1, 2, 3, 4 复习所讲内容, 预习下节,
