1、Cliquez pour modifier le style du titre du masqueCliquez pour modifier le style des sous-titres du masque* 1第三章 平面问题的直角坐标解答w胡 衡w 武汉大学土木建筑工程学院弹 性 力 学 及 有 限 元二零零八 年五月常体力情况下的平面问题常体力情况下的平面问题需要满足：1.艾里应力函数表示的相容方程：2.边界条件3.位移单值条件逆 解 法 与 半 逆 解 法逆解法： 先设定各种形式的满足相容方程的应力函数，并由此求出应力分量；然后根据边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应边界
2、上什么样的面力，从而得知应力函数可以解决的问题。半逆解法： 根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相容方程求出应力函数的具体表达式；再由应力分量与应力函数的关系求得应力分量，并考察这些应力分量能否满足应力边界条件和位移单值条件。如果条件都满足，则得出的结果就是正确解答，否则需要另作假设。不计体力的平面问题的逆解法（ 1）注：线性应力函数对应于无体力，无面力，无应力的状态，因此把平面问题的应力函数加上或减去一个线性函数，并不影响应力。不计体力的平面问题的逆解法（ 2）xyxyxy不计体力的平面问题的逆解法（ 3）xy矩形梁的纯弯曲（
3、1） 边界条件xyMM h/2h/2l矩形梁的纯弯曲（ 2） 边界条件xyMM h/2h/2l总能满足矩形梁的纯弯曲（ 3） 位移分量xyMM h/2h/2l物理方程矩形梁的纯弯曲（ 4） 位移分量xyMM h/2h/2l几何方程矩形梁的纯弯曲（ 5） 位移分量xyMM h/2h/2l注：同一截面上的转角为常数；梁的纵向纤维的曲率与材料力学中的公式一致。矩形梁的纯弯曲（ 6） 位移分量xyMM h/2h/2l矩形梁的纯弯曲（ 7） 位移分量xyMM h/2h/2l简支梁受均布载荷（ 1） 应力分量函数xyh/2h/2l lql qlqy 方向正应力由直接载荷 q 引起，由于 q 不随 x变化，
4、所以可以假设 y 方向正应力也不随 x 变化，即：简支梁受均布载荷（ 2） 应力函数xyh/2h/2l lql qlq不计体力简支梁受均布载荷（ 3） 相容方程qlxyh/2h/2l lqlq相容方程要求上式对所有 x 都成立，这就要求 x 的系数以及式中常数都为零，即：简支梁受均布载荷（ 4） 相容方程qlxyh/2h/2l lqlq注：此式中的常数项在应力函数中为一次项，故略去。简支梁受均布载荷（ 5） 由应力函数求应力分量函数qlxyh/2h/2l lqlq简支梁受均布载荷（ 6） 边界条件qlxyh/2h/2l lqlq由于 yz 面是梁和载荷的对称面，所以正应力应该是 x的偶函数，切
5、应力是 x 的奇函数。E = F = 0E = F = G = 0简支梁受均布载荷（ 7） 边界条件（主要边界）qlxyh/2h/2l lqlq简支梁受均布载荷（ 8） 边界条件（主要边界）qlxyh/2h/2l lqlq简支梁受均布载荷（ 9） 边界条件（次要边界）qlxyh/2h/2l lqlq圣维南原理：？简支梁受均布载荷（ 10） 边界条件（次要边界）qlxyh/2h/2l lqlq简支梁受均布载荷（ 11） 边界条件（次要边界）qlxyh/2h/2l lqlq由上式可知，剪应力表达式总能满足边界条件。简支梁受均布载荷（ 12） 材料力学解答qlxyh/2h/2l lqlq简支梁受均布
6、载荷（ 13） 材料力学解答与弹性力学解答比较qlxyh/2h/2l lqlq弹性力学对材料力学的修正项 。弹性力学与材料力学的结果一致。为什么材料力学中忽略此项？简支梁受均布载荷（ 14） 材料力学解答与弹性力学解答比较qlxyh/2h/2l lqlq材料力学 弹性力学引用平面截面假设 不引用平面截面假设不考虑微分体的平衡 考虑微分体的平衡忽略横向正应力 不忽略横向正应力只适应杆状结构 非杆状结构半逆解法小结1.提出应力分量函数形式假设。2.由应力分量与应力函数的关系推导应力函数的形式。3.将应力函数代入相容方程。4.以坐标参数为基准合并同类项，并令其中各项的系数以及常数项为零，从而得到满足
7、相容方程的应力函数形式。5.计算各应力分量。6.列出主要边界条件和次要边界条件。7.先从主要边界条件下手求解应力分量中的参数。8.主要条件不够就利用次要边界条件。9.次要边界条件不能完全满足（与已求得的参数有矛盾）就利用圣维南原理。楔形体受重力和液体压力（ 1）xy1g2g在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将有两部分组成：第一部分由重力引起，应当于 1g 成正比，第二部分由液体压力引起，应当与 2g 成正比。因此，应力分量的表达式只能为 A1gx, B1gy, C2gx, D2g y 的组合。因此应力函数设为：楔形体受重力和液体压力（ 2）xy1g2g该应力函数总能满足相容方程：因此，直接可以求应力分量的函数形式：
