1、高等数学A（上） 总复习,(1) y = f (x)两要素,数列 xn,(2)复合函数: note复合函数分解,(复合关系搞清,后面求导才不会错),1、 函数、 数列的概念,一、极限与连续（20%左右）： 重点：两个重要极限；无穷小的比较；利用等价无穷小替换求极限；求函数的间断点及间断点类型的判别. 难点：极限存在的两个准则.,(3) y = f (x)的特性：,(4) 几类函数:,2）基本初等函数（note其图形与特性）: 幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；,3）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数.,1）分段函数
2、：不同定义域上用不同的表达式来表示对应法则的函数；,1）有界性；2）单调性；3）奇偶性；4）周期性.,2、 数列极限,3、 函数极限,4、 无穷小与无穷大,1) 有限个无穷小的和也是无穷小.,2) 无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.,3)有限个无穷小的乘积也是无穷小.,5、无穷小的比较：,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,（6）等价无穷小替换定理,（Note:只用于乘、除因子,不能 用于加、减中!）,常用等价无穷小:,6、极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则.,7、两个重要
3、极限,或,8、 连续,(1) 连续的概念,(2) 间断点的判别、分类,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理 ;最值定理；零点定理；介值定理,函数间断点,(3) 闭区间上连续函数的性质,9、 求极限的方法,先判断极限的类别，在考虑适当的方法.,(2)根据四则运算法则和复合函数极限运算法则：,(3)利用无穷小的性质：,(4)初等方法：,运用根式有理化、因式分解、变量代换等方法, 通过约分,消去不定因式.,(5) 利用函数性质和已知的结果：,(6) 极限存在准则、两个重要极限,(7) 等价无穷小、函数的连续性,(8) 洛必达法则,(9) 利用定积分的定
4、义,二、导数与微分： 重点：导数的定义及几何意义；初等函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算；初等函数的微分的计算. 难点：n阶导数的计算.,第二、三章（35%左右）,1、导数和微分的概念,（1） 导数 :,（2） 微分 :,（3）关系 :,可导,可微,连续,（4）几何意义 ：,（5）一阶微分形式不变性：,2、导数和微分的求法,(1). 正确使用导数及微分公式和法则,(2). 熟练掌握求导方法和技巧,1) 求分段函数的导数,注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等,例如,(2) 隐函数求导法,对数求导法,(3) 参数方程求导法,极坐标方程求导,直接对方程的两端求导数.,(4)
5、复合函数求导法,可利用复合函数求导法则或微分形式不变性,(5) 高阶导数的求法,逐次求导归纳 ;,间接求导法;,利用莱布尼兹公式.,特别注意抽象复合函数求一阶或高阶导数的情形，见作业中的题目.,莱布尼兹公式,常用的 n 阶导数公式,高阶导数和下章的泰勒公式结合起来记.,三、微分中值定理与导数的应用： 重点：利用洛必达法则求极限；求函数的单调区间、曲线的凹凸区间及拐点；求函数的极值及最值；利用单调性证明不等式.（曲率不考） 难点：中值定理、泰勒公式的应用；利用单调性结合介值（零点）定理判别函数的零点的个数及范围.,罗尔定理,柯西中值定理,1、 微分中值定理及其相互关系,有关中值问题的解题的关键：
6、利用逆向思维 , 设辅助函数.,微分中值定理的主要应用:研究函数或导数的性态,证明恒等式或不等式,证明有关中值问题的结论.,2、洛必达法则,注意洛必达法则成立的条件，特别是每次出现的极限都要存在。,通分,取倒数,取对数,3、导数或微分的应用,(1)研究函数的性态:,单调，极值（最值），凹凸、拐点，渐近线，（曲率不考）,1)可导函数单调性判别(利用一阶导数的符号),f(x)在I 上单调递增,f(x)在I 上单调递减,2)连续函数的极值(利用一阶或二阶导数的符号),(i) 极值可能点 :,使导数为0 （驻点）或不存在的点,(ii) 第一充分条件,f(x0)为极大值,f(x0)为极小值,(iii)
7、第二充分条件,最值点应在极值点和边界点上找 ,应用题可根据问题的实际意义判别.,3)连续函数的最值,f(x0)为极大值,f(x0)为极小值,3)曲线凹凸与拐点的判别(利用二阶导数的符号),f(x)在I上向上凸,f(x)在I上向上凹,拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点,4)曲线渐近线的求法,水平渐近线：,铅直渐近线：,斜渐近线：,5)函数图形的描绘,(3)其他应用 ：,求不定式极限 ；几何应用；相关变化率；证明不等式；近似计算；研究方程的实根等.,(2)解决最值问题,目标函数的建立与简化，最值的判别问题,四、不定积分： 重点：原函数、不定积分的概念；利用换元、分部积分计算不定积分.,第四、五章（
8、35%左右）,1、原函数、不定积分的概念,(2)不定积分的几何意义：,f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族.,30,(3)微分与积分之间的关系:,或,或,即下面几个命题等价：,2、求不定积分的基本方法（熟记积分公式）,1）直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则，求不定积分.,2）换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),3）分部积分法,一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,前者取为 u ,排后者取为,题目类型 :分部化简;循环解出;递推公式.,4） 可化为有理函数的积分,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,
9、简单无理函数,三角代换,根式代换,Note:上述只是一般方法，不一定是最简便的方法,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.,Note: 初等函数的原函数不一定是初等函数，因此不一定能积出来.,例如,五、定积分及其应用： 重点：定积分的几何意义及性质；利用导数研究有关积分上限函数的单调性、极限、极值等；求分段函数的积分上限函数；利用换元、分部积分计算定积分；两类反常（广义）积分的基本计算；求在直角坐标系下平面图形的面积、曲线的弧长、旋转体的体积；求变力沿直线所作的功、侧压力.（引力不考） 难点：积分等式、不等式的证明；积分中值定理的应用.,1、定积分的概念及其性质,机动 目录 上页 下页 返回
10、 结束,（1）定积分概念（分割，近似，求和，取极限）,（2）可积条件,（3）性质（注意性质成立的条件）,（4）定积分的几何意义（有向面积）,2、定积分的计算,（1）利用定义或几何意义计算,（2）微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）,（3）定积分的换元法：,（4）定积分的分部积分法：,（5）常用的定积分公式：,1）奇偶函数在对称区间上的定积分：,2）周期函数的定积分公式：,3）三角函数的定积分：,3、变上限积分及其导数 （和第二、三章的内容相结合）,4、 广义积分,（1）无穷区间上的广义积分（第一类广义积分）,（2）无界函数的广义积分（第二类广义积分、瑕积分）,5、 有关定积分的证明,等式证明和
11、不等式证明,(1)平面图形的面积,直角坐标情形,6、定积分的几何应用,极坐标情形,（2）体积,1、 已知平行截面面积A(x)的立体,2、 旋转体的体积,1、直角坐标系情形,2、参数方程情形,3、极坐标情形,（3）曲线的弧长,6、定积分的物理应用,主要问题：变力沿直线作功，液体对薄板的侧压力,主要方法：利用微元法,看作业中题型，会做类似的题目，做题是首先要建立坐标系.,六、常微分方程（10%左右）： 重点：一阶微分方程中可分离变量方程、一阶线性方程的求解。 难点：微分方程的综合应用.,1、微分方程的基本概念,微分方程，微分方程的分类，阶，通解（注意几阶方程含有几个任意常数），特解，初始条件（或初值条件），定解问题等.,2、微分方程的求解,(1)分离变量方程的解法:,两边积分, 得,则有,隐式通解, 或通积分.,(2)齐次方程,代入原方程得,分离变量:,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,(3)一般变量代换,(4)一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程,(5)伯努利方程,再利用一阶线性方程的求解方法等到上面方程的解，最后变量还原得原方程的通解.,
