1、曲线坐标计算一、 圆曲线圆曲线要素：-曲线转向角R-曲线半径根据 及 R 可以求出以下要素：T-切线长L-曲线长E-外矢距q-切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为： 2tgRT180L(弧长)2(secRE（ sec=cos 的倒数）1(1)cos2oERLTq2圆曲线主点里程：ZY=JDTQZ=ZYL2 或 QZ=JDq /2YZ=QZL2 或 YZ=JDTqJD=QZq2（校核用）1、基本知识 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。 表示方法：DK26284.56。“+”号前为公里数，即 26km， “+”后为米数，即 284.56m。CK 表示初测导线的里程。D
2、K 表示定测中线的里程。 表示竣工后的连续里程。铁路和公路计算方法略有不同。 2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。1）计算 ZY、YZ 点坐标通用公式： iii iiiTYXXii ii ,1JDZ ,1Jsinco1,JDYZ 1,Jsincoii iiTXXii ii2）计算曲线点坐标 计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点。li 为 i 点与 ZY 点里程之差。 Rlii 180弧长所对的圆心角Rliii 902弦切角ii JDZYZY弦的方位角当曲线左转时用“-” ，右转时用“+” 。 计算弦长 sin2RC 计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY（
3、xZY， yZY） 、 ZY- i、 C。根据坐标正算原理： iZYZYi x cosiZYZYi Cy sin切线支距法 这种方法是以曲线起点 ZY 或终点 YZ 为坐标原点，以切线为 X 轴，以过原点的半径为 Y 轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：180, )cos1(sinRlyRx式 中利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中： 为 ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为 ZY时， “”取“” ，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲线为左偏时应以yi=-yi 代入；当起点为 YZ 时， “”取“- ”，X0=X(
4、YZ), Y0=Y(YZ), 曲线为左偏时应以 yi=-yi 代入；注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质 圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理 弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式由 L/R= n/180 得 L=nR/ 180=nR/180二、 缓和曲线（回旋线）缓和曲线主要有以下几类：A：对称完整缓和曲线（基本形）- 切线长、ls1 与 ls2 都相等。B: 非对称完整缓和曲线-切线长、ls1 与 ls2 都不相等C: 非完整缓和曲线（卵形曲线） -连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线D: 回头曲线-回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式
5、，其转角接近、等于或大于 180 度。1、 基本形缓和曲线基本公式：=A2/l A=Rls为缓和曲线上任意点的曲率半径 A 为回旋线参数l 为缓和曲线上任意点到起点（ZH）的距离（弧长）ls 为缓和曲线的全长切线角公式：缓和曲线直角坐标任意一点 P 处取一微分弧段 ds ，其所对应的中心角为 d xdx=dscos xdy=dssin x缓和曲线常数主曲线的内移值 p 及切线增长值 q内移值： p=Ys-R(1-coss)=ls2/24R切线增长值： q=Xs-Rsins=ls/2-ls3/240R2 23224024RllqRlp sss缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角： s=ls/2R 18
6、0总弦长： Cs=ls-ls3/90R2缓和曲线要素计算切线长外距 曲线长圆曲线长切线差平曲线五个基本桩号：ZH HY QZ YH HZ缓和曲线主点里程：ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+LsQZ=ZH+L 总/2=HZ-L 总/2 JD=QZ+q/2（校核）缓和曲线上任意点坐标计算切线支距法：以缓和曲线起点 ZH(HZ)点为坐标原点，起点的切线为x 轴，过原点的垂直于切线的垂线为 y 轴建立坐标系，则缓和曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中： 为 ZH(HZ)点沿线路前进方向的
7、切线方位角。当起点为 ZH时， “”取“” ，X0=X(ZH), Y0=Y(ZH), 曲线为左偏时应以yi=-yi 代入；当起点为 HZ 时， “”取“- ”，X0=X(HZ), Y0=Y(HZ), 曲线为左偏时应以 yi=-yi 代入；曲线上任意点的方位角(i)=（ZH 或 HZ） 为切线角 为右转“”左转“”当点位于圆曲线上，有：其中， ， 为点到坐标原点的曲线长。2、 非对称完整缓和曲线由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以与地形条件相结合，于是引入非对称缓和曲线型平曲线。非对称缓和曲线在计算时较困难，不能简单套用对称缓和曲线的公式。以下阐述非对称缓和曲线几何要素和任意
8、点坐标及方位角的计算原理。（1）计算原理如图 1 所示，平曲线由非对称缓和曲线 Ls1、Ls2 及半径 R 的圆曲线组成，JD 为平曲线切线交点，转角 。由于平曲线两端的缓和曲线不等长，因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的计算公式。平曲线各要素计算：注：第一式最后一项应 +q1根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点（ZH 或 HZ）坐标：X(ZH)=X(JD)+T1COS Y(ZH)=Y(JD)+T1Sin 为 JDZH 方位角X(HZ)=X(JD)+ T2COSY(ZH)=Y(JD)+T2Sin 为 JDHZ 方位角曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、旋转来
9、计算求出。3、 非完整缓和曲线（卵形曲线）卵形曲线是指在两个同向、半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线，即卵形曲线是缓和曲线的一段，在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段。首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即 ZH 或 HZ 点桩号、坐标和切线方位角。这样卵形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算。（1） 卵形曲线参数 式中：R 大，R 小为卵形曲线相连的两圆曲线半径， 为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度。（2） 与 相对应的完整缓和曲线的长度 为（3） 卵形曲线的起点 Q（接大半径圆的点）至假设存在的完整缓和曲线起点 ZH 或 HZ 点的弧长
10、为或 = （4） 与 对应的弦长 为又因为Q-切线角 Q- 切点 Q 至假设起点 ZH(HZ)的弦切角故可得，Q 点至 ZH 点的方位角ZH 点的切线方位角Q 点至 HZ 点的方位角HZ 点的切线方位角求得卵形曲线起点 Q 至 ZH(HZ)的弦长 和方位角 后，则ZH(HZ)点的坐标为求出假设的 ZH(HZ)点的坐标后，就可以根据基本形缓和曲线的计算方法来计算曲线上任意点的坐标。上面的公式（3）到（11）是以不完整缓和曲线的起点 Q（接大圆点）来计算假设的完整缓和曲线起点 ZH(HZ)的坐标。也可以以接小圆的缓和曲线终点 YH(HY)来计算起点 ZH(HZ)坐标。如下： 与 相对应的完整缓和曲
11、线的长度 为 与对应的 的弦长为总弦长： Cs= ls-ls5/90R2 ls2= ls-ls3/90R2 接小圆的 YH(HY)点的切线角总偏角： s=ls/2R 180 接小圆的 YH(HY)点到假设起点 ZH(HZ)的弦切角Rlbs3200 设接小圆的 YH(HY)点为 Z，则 Z 点至 ZH 点的方位角（Z-ZH）=(Z)180 Rlbs3200 ZH 点的切线方位角（ZH）=(Z)(Z) Z 点至 HZ 点的方位角（Z-HZ）=(Z) Rlbs3200 HZ 点的切线方位角（HZ ）=(Z)(Z) ZH(HZ)点的坐标为 (设接小圆的 YH(HY)点为 Z)X(ZH 或 HZ)=X(
12、Z)+ Cs cos Z-ZH(HZ)Y(ZH 或 HZ)=Y(Z)+ Cs Sin Z-ZH(HZ) Cs 为弦长注：卵形曲线上大圆包含小圆，也就是说接小圆处的曲率半径为 R小，沿大圆方向曲率半径渐大。假设的完整缓和曲线的起点 ZH(HZ)在大圆那边。4、 回头曲线什么是回头曲线回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于 180 度。在实际中，我们确实经常在山区道路碰到回头曲线，基本的感觉就是一个急弯，并且转了一百八十度，跟掉头差不多，也就是前面描述的：转角接近、等于或大于 180 度。下图是湘西“公路奇观” 的连续回头曲线。这里所讨论的回头曲线，主要是基于其
13、平面坐标计算的特殊性而言的，它只有一个定义，就是：转角大于或等于 180 度，由于实际使用中很少有转角正好等于 180 度的情况，所以就是指转角大于180 度这种情况了。为什么这么定义呢，因为一般情况下，交点与曲线的关系是：交点在曲线的外侧，即便是转角接近 180 度，它的交点也在曲线外侧，如下图：而当转角等于 180 度时，则成为两条平行线，没有交点，或者说无限远，其曲线位置不具有唯一性，这种情况实际中几乎不会采用；而当转角大于 180 度时，则交点的位置就比较特殊了，如下图：这个图中，JD1 和 JD3 是普通情况下的交点，均在曲线的外侧，而 JD2 的转角大于 180 度，其位置在曲线的
14、内侧，这种情况，才是本此讨论的回头曲线。回头曲线的计算（1）曲线要素的计算先看一个案例，邵怀高速公路溆浦连接线（二级公路），有一个回头曲线，其曲线设计参数如下：JD5，交点坐标 X=3046429.812，Y=450083.958 ，转角 2240821.8（左转），半径 60m，缓和曲线长 35m，曲线 ZH 点桩号K49+302.600，切线方位角 3592317.9，平面图形如下所示：交点桩号：ZH 点桩号 K49+302.600 加上切线长 T，结果为K49+169.972。从这个计算结果来看，我们发现与一般曲线要素不同的地方是：1切线长 T 和外距 E 为负值；2交点桩号比 ZH 点
15、桩号小。设计文件中的直曲表数据也表明了这一点：（2）中桩坐标的计算虽然回头曲线的曲线要素与普通曲线有一些特别的地方，但现在我们更关心的是，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能否计算出准确的结果。答案肯定是不能的，否则我也不会写这篇文章，在这里白费神了。中间具体的计算过程我就不展示了，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能够计算出各个桩号的坐标，只可惜是错误的结果。按照这个错误的结果，展示该回头曲线的图形如下：回头曲线的处理回头曲线按照普通曲线中桩坐标计算方法不能得到正确的结果，原因在于它的交点实际在曲线内侧，而程序则把它当作普通曲线来处理，从上面那个图形即可看出。处理的方法很简单，就是把回头曲线
16、一分为二，分成两个普通曲线，如下图所示，将 JD5 对称地分为JD5a 和 JD5b。这样，只要把 JD5 a 和 JD5b 当作普通曲线交点进行计算就行了。首先需要确定 JD5 a 和 JD5b 的相关参数，先看 JD5a。1）计算终点。显然，JD5a 的计算终点就是回头曲线的曲中点，从设计文件直曲表上可查得，是 K49+437.459；2）本交点桩号。JD5a 的桩号嘛，应该是回头曲线的 ZH 点加上JD5a 曲线的第一切线长。回头曲线的 ZH 点在直曲表上有，K49+302.600，而 JD5a 曲线的第一切线长，那就需要计算一下了。根据示意图，由于图形的对称性，JD5a 和 JD5b
17、的切线长有两个：T1 和 T2，JD5a 的曲线要素为：半径 R=60m，第一缓和曲线 Ls1=35m，第二缓和曲线 Ls2=0m，交点转角是回头曲线转角的一半，即 2240821.8/2=1120410.9，可计算得：T1=106.865m，T2=89.986m。则 JD5a 的桩号= 49302.600+106.865=49409.4653）本交点 X/Y 坐标。根据坐标正算原理，按照几何关系，已知JD5 的坐标为 X=3046429.812，Y=450083.958 ，JD5-JD5a 的距离=106.865+132.628=239.493m，JD5-JD5a 的坐标方位角 359231
18、7.9，容易得出 JD5a 的坐标为：X=3046669.291，Y=450081.401 。4）交点之前直线方位角，就是 JD5-JD5a 的坐标方位角 3592317.9（也是 JD5ZH 点的方位角）。5）交点转角。交点转角是回头曲线转角的一半，即 2240821.8/2=1120410.9，左转。6）平曲线半径及缓和曲线长度。半径 R=60m，第一缓和曲线Ls1=35m，第二缓和曲线 Ls2=0m。7）交点计算起终点桩号。就是曲线的起终点桩号，49302.60049437.459到此，JD5a 数据搞定。JD5b 的数据，计算方法和前面基本一致，结果如下：计算终点：49572.318；交点桩号：49527.445；交点坐标：X=3046599.893，Y=449915.348 ；交点之前直线方位角： 2471907；交点转角：1120410.9，左转；半径 R=60m， Ls1=0m，第二缓和曲线 Ls2=35m；交点计算起终点桩号：49437.45949572.318。参数数据计算出来后，就可以按普通平曲线的计算方法来计算出回头曲线上任意点的坐标。案例当中回头曲线逐桩坐标表：
