《线性代数》习题集(含答案).doc

1、线性代数习题集第 1 页 共 36 页线性代数习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式 =_。2ab（2） 二阶行列式 =_。cosini（3） 二阶行列式 =_。2abi（4） 三阶行列式 =_。xyz（5） 三阶行列式 =_。abca答案：1.ab(a-b)；2.1；3. ；4. ；5.4abc。2b33xyzx【2】选择题（1）若行列式 =0，则 x=（） 。1253xA-3； B-2； C2； D3。（2）若行列式 ，则 x=（） 。10xA -1， ； B 0， ； C 1， ； D 2， 。2线性代数习题集第 2 页 共 36 页（3）三阶行列式 =（） 。231509

2、8A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 =()。0abA ；B ；C ；D 。4ab24ba4（5）n 阶行列式 =（） 。01010nnA0；Bn！；C（-1）n！；D 。1!n答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。【3】证明 3()byazxbayxyzxzb答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列 9 级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1） （134782695）=10，此排列为偶排列。（2） （217986354）

3、=18，此排列为偶排列。（3） （987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n） ；（2）246 （2n）135 （2n-1） 。 答案：（1） n（n-1） ；（2） n（n+1）1【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：线性代数习题集第 3 页 共 36 页（1） ；（2） ；（3）5234516aa21536425a615243516aa答案：（1）正号；（2）负号。【7】根据定义计算下列各行列式：（1） ；(2) ；（3） ；0120345114234140aa00120n（4）002100nn答案：（1）5！=120；（

4、2） ；1441232312342341aaa（3） ；（4） 。(1)2!n()!n【8】计算下列行列式：（1） ；（2） ；（3） ；534016112349687（4） 。2233abcd答案：（1）-136；（2）48；（3）12；（4） （b-a） （c-a） （d-a） （c-b） （d-b） （d-c）【9】计算下列 n 阶行列式：（1） ；（2） ；01001 1231n线性代数习题集第 4 页 共 36 页（3） ；（4） ；123n-0-123n 3223（5） 。4112nn答案：（1）1+ ；（2）1；（3）n！1()0n为 奇 数为 偶 数（4）2n+1；（5） 。n

5、-1n-1+（ ）2（ ）【10】计算下列行列式：（1） ；（2） （n 阶） ；121233312nnnnabababab 000abab（3） ；(1)0000hhanaa（4） 。1230011naa答案：（1）n=2 时，行列式等于 ；n3，行列式为 0；b21（ -)(（2） ；（3） ；1()nbannah线性代数习题集第 5 页 共 36 页（4） 1()nnia【11】计算 n+1 阶行列式：（ 0；i=1，2， n）1200naa i答案： .121i A(0;1,2)in【12】解下列线性方程组：（1） ；（2） 。12341234510xx123451234560460x

6、xxx答案：（1） ；,xx(2) .23450【13】计算 n 阶行列式123axaDxaa于是 1211nnxxa 【14】证明 cos00120cossin102cos1nD 线性代数习题集第 6 页 共 36 页由归纳假设，得 sin1D【15】计算五阶行列式 1234512345xaaDxaa可以得到 12311123nnniiiinxaxaxax【16】证明 12312111nn ninDaaa 证明：略【17】.证明 11213112132 2333311211121223233()()()()()()()attattattdttttttattatta333tt答案与提示：提示将

7、左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。线性代数习题集第 7 页 共 36 页【18】.计算 n 阶行列式：（1） ；2111233321siisiniiisinisinn（2） 。1122 21cocosss1nnn答案与提示：（1）(1)2(iicosin2nijijjjn jin A（2）-1 (1)(cosisi2jijijjin jn （ ）2（ ）【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：（2） ；1231122332100xxabcxx（3） ；11222211!nnnnnabab (0,12,)ian线性代数习题集第 8 页 共 36 页（4）ababb

8、a 答案与提示：（2） ；（3）22213()()()xx1()jijinbaj（4） nab【20】.证明下列等式：（1） ；1000101n（2） 。cos1002coscos012n答案与提示：（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。（2）提示：用归纳法证。【21】 3 04 2 -7 5D（ 0143） 设 行 列 式 ， 则 第 四 行 各 元 素 余 子 式 之 和 的 值 为 （ ）【22】 （ 96） 五 阶 行 列 式线性代数习题集第 9 页 共 36 页.1a 0 -a 0 1- 0 -ad线性代数习题集第 10 页 共 36 页第二章【1】填空题设

9、 A 是三阶方阵， 是 A 的伴随矩阵，A 的行列式 = ，则行列式* A12_。1*(3)2【2】假设 A=（ ）是一个 n 阶非零矩阵，且 A 的元素 （i，j=1，2， ，n）均为实数。ijaja已知每一个元素 都等于它自己的代数余子式，求证 A 的秩等于 n，且当 n 3 时 =1 或ij A-1。【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。（1） 若矩阵 A 的行列式 =0，则 A=0；（2） 若 =0，则 A=E；E（3） 若 A，B 为两个 n 阶矩阵，则 ；AB（4） 若矩阵 A 0，B 0，则 AB 0.【4】设 A，B 为 n 阶方阵，问下列等式在

10、什么条件下成立？（1） ；22()（2） ；B【5】计算 AB 和 AB-BA。已知（1） ，312A120（2） ， 。1abc1acBb答案：（1） ， ；6208A204A线性代数习题集第 11 页 共 36 页（2） ，2223abccabABbc ；22222c acacbbcb 【6】计算下列矩阵乘积：（1） ；（2） （x，y，1） 。1203abdcef1xy答案：（1） ；（2） 。1422axbycdxeyf【7】计算 ，并利用所得结果求 。cosin401答案：提示：用数学归纳法可证 。当 时，cosincosini 2。cosin01故4012si0inco1【8】已知

11、 A，B 是 n 阶对称矩阵，证明 AB 为对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA。【9】已知 A 是一个 n 阶对称矩阵，B 是一个 n 阶反对称矩阵，证明（1） ， 都是对称矩阵；（2）AB-BA 是对称矩阵；（3）AB+BA 是反对称矩阵。【10】求矩阵 X，已知：（1） ；10123456023（2） 476X109线性代数习题集第 12 页 共 36 页答案：（1） ；（2）1403X0213X【11】已知矩阵 A，求 A 的逆矩阵 ;1(1) ,其中 ad-bc=1；（2） ；abcd021（3） ；13570A2答案：（1） ；（2） ；1dbAca135210A（3） 13180

12、27A【12】在下列矩阵方程中求矩阵 X：（1） ；235X49（2） ；1027108答案：（1） ；（2）371X5321697X【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。【14】假设方阵 A 满足矩阵方程 ，证明 A 可逆，并求 。250AE1线性代数习题集第 13 页 共 36 页答案：提示：由 。2150AE5AE得 （ -2）【15】填空题（1）设矩阵 A= ，则 =_2130512()(9)（2）设 A 是 3 阶数量矩阵，且 =-27，则 =_A1（3）设 A 是 4 阶方阵，且 =-2，则 A 的伴随矩阵 的*行列式 =_*答案：（1） ；（2） ；5-1308613

13、13（3）-8【16】选择题（1）设 A 是 n 阶方阵，且满足等式 ，则 A 的逆矩阵是20AE（A） A-E； （B）E-A； （C） ； （D） 。1()1()2（2）设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是A、 ；B、11()1()ABC、 ；D、11n（3）设 A，B，C 为 n 阶方阵，且 ABC=E，则必成立的等式为A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E（4）设 A，B 为 n 阶对称矩阵，m 为大于 1 的自然数，则必为对称矩阵的是A、 ；B、 ；C、AB;D、 。()()AB（5）设 A，B，A+B， 均为 n 阶可逆矩阵，则（ ）等于1+

14、1+BAA、 ；B、A+B；C、 ；D、 。1+ 1()()线性代数习题集第 14 页 共 36 页（1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C【17】求下列矩阵的秩（1） ；（3）245012317495208（4） 。762012983948615答案：（1）r（A）=2；（2）r（A）=2；（3）r（A）=3；（4）r（A）=2；【18】求下列矩阵的标准形（1） ；（2） 。10243601010答案：（1） ；（2） 。10010【19】假设方阵 A 满足方程 ，其中 a，b，c 是常数，而且 C0，试证 A 是2abAcE满秩方阵，并求出其逆矩阵。【20】选择题（1）设矩阵 A=

15、 ，且 r（A）=2，则 t 等于123684tA、-6；B、6；C、8；D、t 为任何实数。（2）设 A 是 3 阶方阵，若 =0，下列等式必成立的是2A、A=0；B、r（A）=2；C、 =0；D、3A0（3）设 A 是 mn 矩阵，且 mn，则必有A、 ；B、 ；C、 ；D、 。0T0TT0TA线性代数习题集第 15 页 共 36 页答案：（1）D；（2）C；（3）B。【21】求下列矩阵的逆矩阵：（1） ；（2） 。0123A2103943A答案：（1） ；（3） 。11052032A12034【22】假设 B 是 n 阶可逆矩阵，C 是 m 阶可逆方阵。试证明分块矩阵 是可逆方阵，0BA

16、C并且用 表示分块矩阵 。1,1A答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得 、 ，故 A 是可逆矩阵。由逆矩阵定义，BC0得 。10BAC【23】已知三阶方阵 A=（ ）与任意三阶方阵 B 之积可交换：AB=BA，证明 A 是数量矩阵。ija【24】设 4 阶矩阵B= C=01021340且矩阵 A 满足等式 。其中 E 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 A。1()TECBA于是 ()T线性代数习题集第 16 页 共 36 页【25】 （00403）设 ，矩阵 ，n 为正整数，则 = 1,0TaTAdetnaEA【26】 （04404）1 204201AP 设 ， B=P， 其 中 为 三 阶 可 逆 矩

17、 阵 ， 则 B。【27】 （04404）设 是实正交矩阵，且 =1，b= ，则线性方程组 Ax=b3()ijXa1a(,0)T得解是 。【28】 （04104）*2102ABAEEB设 矩 阵 ， 矩 阵 B满 足 ， 其 中 为 的 伴 随 矩 阵 ， 是 单 位 矩 阵 ， 则。【29】 （00203）设 A= .11),()(4,76054321 ）则 （阶 段 单 位 矩 阵 ， 且为 BEAEBE【30】 （94503）设 A,B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=0,则 A 和 B 得秩（ ）A.必须有一个等于零 B.都小于 n C.一个小于 n，一个等于 n D.都等于 n线性代

18、数习题集第 17 页 共 36 页第三章【1】 12 12,. ,.ss saaa如 果 向 量 线 性 无 关 ， 而 ， ， 线 性 相 关 ， 则 可 以 由 ， 线性 表 出 ， 而 且 表 示 式 唯 一 。【2】 12 1212 1 ,. .,. ,.n nnn naakkak设 是 个 维 的 线 性 无 关 向 量 ， 其 中 全 不 为 零 。 证 明 ： ， 中 任 意 个 向 量 均 线 性 无 关 。【3】 （95508）设三阶矩阵 A 满足 ，其中列向量 (3)ii ,)21(T.试求矩阵 A.TT),(),(32【4】 （97306）设 A 为 n 阶非奇异矩阵，

19、为 n 维列向量，b 为常数。记分块矩阵其中 是矩阵 A 的伴随矩阵，I 为 n 阶单位矩阵。,0*bQaIPTT *（1） 计算并化简 :P证明：矩阵 可逆的充分必要条件是 .bT1【5】 （98104）设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 有解向量 ，0xAk且 .证明：向量组 是线性无关的.01k 1,.kA【6】 （01408）设 是 n 维实向量，且),.2(),.(21 riTinii 线性无关.已知 是线性方程组r,21 b.,10 . .212221nrrr nxx的非零解向量.试判断向量组 得线性相关性。,.,21r【7】 （96408）设向量 是齐次线性方

20、程组 的一个基础解系，向量 不i 0AX线性代数习题集第 18 页 共 36 页是方程组 的解，即 .试证明：向量组 线性无关.0AX0A i,.,21【8】 （04313）设 ,)()3,21(,)21(2 TTT b，试讨论 为何值时，T)3,1(b1. 不能由 线性表示;321,2. 可以由 唯一地线性表示，并求出表示式。3. 可以由 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。321,答案与提示：1. 当 =0 时， 不能由 线性表示。321,2. 当 ，且 时， 可以由 唯一地线性表示。0ba321,当 时 可以由 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为ba321,.321ka【9】 （0

21、5290）确定常数 ，使向量组 可由向量TTTa)1,(,)1(,)1(32组 线性表示， =1 时向量组 不TT aaa,)42(,)1(3 32能由向量组 线性表示。3【10】 （00303）设 A 为 n 阶实矩阵 . 为 的转置矩阵，则对于线性方程组TA和 ，必有（ ） 。0:)(xI 0:)(xTA. 的解是 的解， 的解也是 的解I(I)(B. 的解是 的解， 但 的解不是 的解)()( C. 的解不是 的解， 的解也不是 的解I)()(D. 的解是 的解，但 的解也不是 的解)()(I【11】 （98407）已知下列非齐次线性方程组 ，)(线性代数习题集第 19 页 共 36 页

22、;33,1462)(321 4xxI ;12,5)( 4321 txnxm（1） 求解方程组 ，用其导出组得基础解系表示通解；)(I（2） 当方程组 中得参数 m,n,t 为何值时，方程组 与 同解。)(I答案与提示：（1） 方程组得通解为 （k 为任意常数）.12054x当 时，方程组 同解。6,42tnm)(I【12】 （99409）已知线性方程组 032212xcbxa（1） a,b,c 满足何种关系时，方程组仅有零解？（2） a,b,c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。答案与提示：（1）当 时， ，方程仅有零解 0,cbaD0321x（2）下面分四种情况：1

23、、当 时，方程组有无穷多组解，全部解为 （ 为任意常数） Tk),(11k2、当 时，方程组有无穷多组解，全部解为 （ 为任意常数）bc 0223、当 时，方程组有无穷多组解，全部解为 （ 为任意常数）a Tk),(33k4、当 a=b=c 时，方程组有无穷多组解，全部解为 ).,()1,0(),1( 545为 任 意 常 数kkkTT线性代数习题集第 20 页 共 36 页【13】 （03313）3B 已知齐次线性方程组,0)(.,)(,0)(321321 nnxbaxaxbxaxax 其中 讨论 和 满足何种关系时， ,01nia,21 nb（1） 方程组仅有零解；（2） 方程组有非零解，

24、在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.答案与提示：（1） 当 且 时，秩 方程组仅有零解.0bnia10nA)(当 时，方程组有非零解，基础解系为 . Ta)1,【14】 （96403）3B 设A， ， ， 11321 222311nnn naa nxxX3211B其中 .则线性方程组 的解是 .),;(jiaji AT T)0,(【15】 （02106，02206）3B 已知 4 阶方阵 均为 4 维列向3214321,),(aa量，其中 线性无关， .如果 ，求线性方程组432,a321a4的通解.Ax方程组的通解为 ， 为任意实数.012kx【16】 （04413）3B 设线性方程组.

25、14)()2(3,03143xx线性代数习题集第 21 页 共 36 页已知 是该方程组的一个解，试求T)1,(（1） 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（2） 该方程组满足 的全部解.32x答案与提示：（1） 方程组的全部解为),( )2,01()0,1(),1( 212为 任 意 常 数kkkTTT（2） 时，方程组的全部解为3x)( )4,3(),2( 11为 任 意 常 数kkTT【17】 123123, (,)(1,26)aaa讨 论 向 量 组 是 否 线 性 相 关 ， （ ,）【18】 AmB若 是 一 个 阶 可 逆 方 阵 ， 是 一 个 n矩

26、阵 ， 则 r（ AB） =r。【19】 n假 设 是 矩 阵 ， 是 矩 阵 ， 且 m,实 证 ： 0【20】 123123311231223 ,(),(),5aAaBCDaa选 择 题 设 向 量 组 线 性 无 关 ， 则 下 列 向 量 组 中 ， 线 性 无 关 的 是【21】 1212, a9试 将 向 量 （ 4,-） 表 成 向 量 （ ） ， （ ） 的 线 性 组 合 。答 案 ： 【22】 1232aa,310a10,(5) , a(1,3)54判 断 下 列 各 向 量 组 是 否 线 性 相 关 。（ ） （ ， ） ， （ ） ；（ ） （ ， ， ） ， （ ，

27、 ） ， （ ， ） ； （ ， ， ） ， （ ， ） ， （ ， ， ） ，答 案 ： 线 性 无 关 。 （ ） 线 性 无 关 。 （ ） 线 性 无 关 。【23】线性代数习题集第 22 页 共 36 页12 1212 s12s,., ,.2 3,. .,4 ,.rmrsraaakka判 断 下 列 结 论 是 否 正 确 ：（ ） 若 向 量 组 线 性 相 关 ， 则 向 量 组 线 性 相 关 。（ ） 若 向 量 组 线 性 相 关 ， 则 其 中 每 个 向 量 都 可 表 示 为 其 它 向 量 的 线 性 组 合 。（ ） 若 向 量 可 以 被 向 量 线 性 表 出

28、 ： 则 表 示 式 唯 一 。（ ） 若 向 量 组 存 1212s.01234s kaa 在 个 全 为 零 的 数 ， ， .,， 使 ， 则 线 性 无 关 。答 案 ： （ ） 否 （ ） 否 （ ） 否 （ ） 否【24】 112n212n12mn 11r212r12mr,.,.,.,.,.,.maaaaa 证 明 ： 若 向 量 组 （ ） ， （ ） , （） 线 性 相 关 则 去 掉 每 个 向 量 的 后 个 分 量 （ ） 后 ， 得 到 的 个 -维 向 量 ：（ ） （ ） .（ ） 也 线 性 相 关 。【25】 1231212313123, aaa若 向 量 ，

29、 ， 线 性 无 关 ， 且 ， - 3 证 明 ， ，线 性 无 关 。【26】 12n12n12n12n12n naa a设 维 向 量 组 ， ， .,与 维 单 位 向 量 组 ， ， .,等 价 ， 证 明 ： ， 线 性 无 关 。答 案 ： 提 示 ： ， ， .,与 ， ， .,有 相 同 的 秩 。【27】 1234123 aaaaa用 消 元 法 求 下 列 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ：（ ） =(,-),=(,)(-,-5),=(23,-)2) 45115,7答 案 ： （ ） 向 量 ， ， 是 及 大 线 性 无 关 组 ；（ ） 向 量 ，

30、 是 及 大 线 性 无 关 组 ；【28】 A0 Aij设 （ ） 为 n阶 方 阵 ， 试 证 行 列 式 A 的 充 分 必 要 条 件 是 的 某 一 行 是 其 余 行的 线 性 组 合 。【29】 mB若 是 一 个 阶 可 逆 方 阵 ， 是 一 个 n矩 阵 ， 则 r（ B） =r()。线性代数习题集第 23 页 共 36 页【30】设 A 是 n 阶方阵，如果对于任一 n 维列向量 X= 都有 AX=0，证明 A=012nx【31】选择题设 是四元非齐次线性方程组 AX=B 的三个解向量，且秩（A）=3，123,a1(,34),(0,),TTacXB 表 示 任 意 常 数

31、 ， 则 线 性 方 程 组 的 通 解 等 于.(,2)(1,);.(1,234)(0,123);3455,6T TTAcBcCD【32】选择题设 A 为 n 阶实距矩阵， 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组T（1） ，AX=0 和（） ； AX=0，必有TA（）的解是（）的解， （）的解也是（）的解；B（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解；C（）的解不是（）的解， （）的解也不是（）的解；D（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解；【33】用消元法解下列线性方程组1 2364578x答 123,.xx2 412341530xx123,1答【34】线性代数习题集第 24 页 共 3

32、6 页2312231x取 什 么 值 时 ， 线 性 方 程 组有 唯 一 解 ， 无 解 ， 在 有 解 的 情 况 下 ， 求 出 其 解 21 23212121(),xxxkkk答 ： 当 时 ， 且 ， 方 程 组 有 唯 一 解 ：当 时 ， 方 程 组 有 无 穷 多 解 ，其 中 为 任 意 常 数 。 当 时 ， 方 程 组 无 解【35】求下列齐求次线性方程组的一个基础解系 123058xx答 a=(7,-).【36】 1234120598(,),(,74).xxaa答【37】求下列非齐次线性方程组的一个特解，及对应齐次方程组（导出组）的一个基础解系，并写出一般解 12342

33、34017(8,60)(,21)xxkak答 。线性代数习题集第 25 页 共 36 页第四章【1】求下列矩阵的特征值与特征向量，判断它们是否与对角矩阵相似，如相似则将其化为对角矩阵 46031(1)35;(2)012AA答： 110, ,022PP 【2】 如 果 矩 阵 A可 逆 ， 试 证 B与 A的 特 征 值 相 同 。【3】 证 明 矩 阵 与 它 的 专 置 矩 阵 的 特 征 值 相 同 。【4】 12 1212,Aaa 设 ， 是 矩 阵 的 两 个 不 同 特 征 值 ， 是 分 别 属 于 ， 的 特 征 向 量 。试 证 ： 不 是 的 特 征 向 量 。【5】 201

34、2124A求 正 交 矩 阵 T， 使 为 对 角 形 矩 阵 。（ ） A=； （ ） 。【6】已知 的一个特征向量。(,)5a31b2是（1） 试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值。问 A 能否相似于对角阵？说明理由。【7】填空题设 A 为 n 阶矩阵， 0， 为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 有特征*值 ，则 必有特征值 _。E*2（ ）【8】选择题设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则线性代数习题集第 26 页 共 36 页A、 E-A= E-B；B、A 与 B 有相同的特征值和特征向量;C、A 与 B 都相似于一个对角

35、矩阵；D、对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似。【9】求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）A 3452答案：特征值 ；属于特征值 的特征向量 ，属于特征值 的特征127， 11,2向量 。24,-（2）A12答案：特征值 ；属于特征值 5 的特征向量 ，属于特征值-112351， 1,的特征向量 。-,0-,（3）A563102答案：特征值 ；属于 的特征向量 ；属于1231， ， 112,-0的特征向量 ；属于 特征向量 。2,-3 33,-+【10】求矩阵A= 的特征值与特征向量。问 A 是否能与对角矩阵相似？如果相似将其化为相似对012角矩阵。答案： A 与对角矩阵相似。 时，

36、，则01P102P线性代数习题集第 27 页 共 36 页102PA【11】设 是矩阵 A 的特征值，m 是正整数，试证 是 的特征值。00mA答案：使用数学归纳法。【12】设 是矩阵 A 的特征值， 是 x 的一个多项式。证明 的特征值。0f 0ffA是答案：略。【13】假设 是矩阵 A 分别属于特征值 的特征向量，而 互不相等，123,123,123,证明 123都不可能是矩阵 A 的特征向量。阿答案：略【14】如果矩阵 A 与 B 相似，C 与 D 相似。证明分块矩阵 与 相似。0ACBD答案：略【15】当 。证明矩阵ijija时 ，可以化为对角矩阵。12120nnAa答案：提示：该矩阵

37、有 n 个两两不同的特征值，所以它可以相似于对角矩阵。【16】若 A 是可逆矩阵，证明它的每个特征值 都不为零，而且 是 的一个特征值。若001AX 是 A 的属于 的一个特征向量，则 X 也是 属于 的一个特征向量。01A0答案：提示：由于矩阵 A 的所有特征值之积等于 A 的行列式 ，故可逆矩阵的所有特征值均不为零。如果列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，那么 ，因为 A 可逆，A用 左乘等式两端：1。所以 是矩阵 的110A， 即 =。 由 于 ， 故 11线性代数习题集第 28 页 共 36 页特征值，而且 也是 的属于特征值 的特征向量。1A1【17】 （99130）设 n 阶

38、矩阵 A 的元素全为 1，则 A 得 n 各特征值是 。【18】 （94508）4B 设 有三个线性无关的特征向量，求 和 应满足的条件.01yx xy满足条件 .yx【19】 （98309，98409） 4B 设向量 都是非零向TnTnba),(,),(2121 量，且满足条件 记 阶矩阵 求：.0Tn.TA（1） 2A（2）矩阵 的特征值和特征向量.答案与提示：（1） =0（2） ，即矩阵 的特征值全为零.0的属于特征值 的全部特征向量为),(1211n21 是 不 全 为 零 的 任 意 常 数ncacac【20】 （99108，99309） 4B 设矩阵 ，其行列式 ，又acbA035

39、1detA的伴随矩阵 有一个特征值 ，属于 的一个特征向量为 求 和A*00 ,),1(Tcba,的值.01,23,0cba【21】 （97409） 4B 设矩阵 和 相似，且AB， ，aA3241b0（1） 求 的值；b,（2） 求可逆矩阵 ，使P.1BA答案与提示：（1） 6,5ba线性代数习题集第 29 页 共 36 页（2） 3102),(321aP【22】 （00409）4B 设矩阵 ，已知 有三个线性无关的特征向量，541yxAA的二重特征值.试求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵.是2AP1答案与提示：310P【23】 （04321）4B 设 阶矩阵n.1 bA(1) 求 的特征值和特

40、征向量；(2) 求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵.P1答案与提示：（1） 基础解系为bn)(T)1,(1基础解系为12 Tn)1,0,(,0,2 （2） ),(21nP【24】 （05413） 4B 设 为 3 阶矩阵， 是线性无关的 3 维列向量，且满足A321,a221, aAaa （1） 求矩阵 ，使得 ；BB),()(321321（2） 求矩阵 的特征值；A（3） 求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵.P答案与提示：（1） 3120B（2） 4,2线性代数习题集第 30 页 共 36 页（3） ),2,( 32311aaP【25】 （97310） 4B 设 3 阶实对称矩阵 的特征值是 1，2

41、，3；矩阵 的属于特征值AA1，2 的特征向量分别是 ，TT),(,),(21 （1） 求 的属于特征值 3 的特征向量；A（2） 求矩阵 。答案与提示：（1） 的属于特征值 3 的特征向量为 Tk)1,0(3（2） =A132506【26】 （04413）4B 设 3 解实对称矩阵 的秩为 2， 是 的二重特征值，若A621A都是 的属于特征值 6 的特征向量TTTa)3,(,)(,)01(2（1） 求 的另一特征值和对应的特征向量；A（2） 求矩阵答案与提示：（1） 的另一特征值 ，属于特征值 的全部特征向量为0303Tk)1,(（2） =A42【27】 （06313，06413）4B 设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3，向量A是线性方程组 的两个解TT)1,0(,)1,(210x（1） 求 的特征值与特征向量；A（2） 求正交矩阵 和对角矩阵 ，使得 ；QAQT（3） 求 及 ，其中 为 3 阶单位矩阵6)23(E答案与提示：（1） 是 的二重特征值， 为 的属于特征值 0 的两个线性无关特征向02A21,a量； 是 的一个特征值， 为 的属于特征值 3 的特征向量3T)(3A（2） TTT a)1,(3|,)10(2|,)12,(6| 321 为正交矩阵，且),(32QQ