1、第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Taylor 级数法 （8）
2、其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.（ 等价小量与洛必达 ） 2. 已知 （ 洛必达 ） 3. （ 重要极限 ） 4.已知 a、b 为正常数， （ 变量替换 ） 5. 解：令 6. （ 变量替换 ） 7.已知 在 x=0 连续，求 a 解：令 （ 连续性的概念 ） 三、补充习题（作业） 1. （ 洛必达 ） 2. （ 洛必达或 Taylor） 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange 、Cauc
3、hy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 A.导数微分的计算 1. 决定，求 2. 决定，求 解：两边微分得 x=0 时 ，将 x=0 代入等式得 y=1 3. 决定，则 B.曲线切法线问题 5.f(x)为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求 ，等式取 x-0 的极限有： f(1)=0 C.导数
4、应用问题 6.已知 ， ，求 点的性质。 解：令 ，故为极小值点。 7. ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 8.求函数 的单调性与极值、渐进线。 解： ，D.幂级数展开问题 10.求 解： = E.不等式的证明 11.设 ，证：1）令 2）令 F.中值定理问题 12.设函数 具有三阶连续导数，且 ， ，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中 将 x=1，x=-1 代入有 两式相减： 13. ，求证： 证： 令 令 （关键：构造函数） 三、补充习题（作业） 1. 2.曲线 3. 4.证明 x0 时, 证：令 高数（上册）期末复习要点 第一章：1、极限（夹逼准则）2、连
5、续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式 也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节）2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法（变 dx/变前面）2、分部积分法 （注意加 C ） （最好都自己推导一遍，好记） 定积分： 1、定义 2、反常积分第六章： 定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题
6、不会有很难1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧。 （高等数学、考研数学通用） 高数解题的四种思维定势 第一句话：在题设条件中给出一个函数 f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一” ，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 第三句话：在题设条件中函数 f(x)在a,b 上连续，在(a,b) 内可导，且 f(a)=0 或 f(b)=0或 f(a) f(b)=0，则“ 不管三七二十一”先用拉格朗
7、日中值定理处理一下再说。 第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一” 先做变量替换使之成为简单形式 f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 第一句话：题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关，则立即联想到用行列式按行( 列)展开定理以及 AA*=A*A=|A|E。 第二句话：若涉及到 A、B 是否可交换，即 ABBA ，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话：若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解因子 aA+bE 再说。 第四句话：若要证明一组向量 1,2,S 线性无关，先考虑用定义再说。 第五句话：若已
8、知 AB0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 第七句话：若已知 A 的特征向量 0，则先用定义 A0 00 处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 第二句话：若给出的试验可分解成（0 1）的 n 重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli 试验，及其概率计算公式 第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组
9、的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 第四句话：若题设中给出随机变量 X N 则马上联想到标准化 N(0,1)来处理有关问题。第五句话：求二维随机变量（X ，Y）的边缘分布密度 的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出 X 的变化区间，再在该区间内画一条/y 轴的直线，先与区域边界相交的为 y 的下限，后者为上限，而 的求法类似。 第六句话：欲求二维随机变量（X ，Y）满足条件 Yg(X)或(Yg(X)的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域 D 是由联合密度 的平面区域及满足 Yg(X)或(Yg(X)的区域的公共部分。 第
10、七句话：涉及 n 次试验某事件发生的次数 X 的数字特征的问题，马上要联想到对 X 作（01）分解。即令 第八句话：凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。 第九句话：若 为总体 X 的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量 的分布问题，一般联想到用卡方分布，t 分布和 F 分布的定义进行讨论线代期末复习要点第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参
11、数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用 n2 个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（
12、2）展开式共有 n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算一阶|= 行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N 阶（ n=3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为 0 的几种情况： 行列式某行（列）元素全为 0； 行列式某行（列）的对应元素相同； 行列式某行（列）的元素对应成比例； 奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对
13、角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若 ABBA ，称 A、B 是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若 A、 B 为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B 为 n 阶方阵，若
14、 ABBA I ，称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质： (AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A)-1=(A-1) ；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件： |A|0 ； r(A)=n; A-I;（4）逆的求解伴随矩阵法 A-1=(1/|A|)A*；(A* A 的伴随矩阵)初等变换法（A:I）-(施行初等变换 )（I:A-1） 5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则 X=（ A-1）B；XB=A，则 X=B(A-1)；AXB=C，则 X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)r(A) 无解；(2) r
15、(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组 AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)n 有非零解；再特别，若为方阵，(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式 D0）只有零解；r(A)n，（或系数行列式 D 0）有无穷多组非零解。（2）解的结构：X=c11+c22+Cn-rn-r。（3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。3非齐次线性方程组（1）
16、解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X=u+c11+c22+Cn-rn-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1N 维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积 =a1b1+a2b2+anbn；（3）向量长度 |=(a12+a22+an2) ( 根号)（4）向量单位化 (1/|) ；（5）向量组的正交化（施密特方法）设 1， 2， ，n 线性无关，则1=1，2=2-（21/1 ）*1 ，3=3-（31/11）*
17、1- （32/22）*2， 。3线性组合（1）定义 若 =k11+k2 2+knn，则称 是向量组 1， 2， ，n 的一个线性组合，或称 可以用向量组 1， 2，n 的一个线性表示。（2）判别方法 将向量组合成矩阵，记A(1， 2，n)，B=(1，2， ，n,)若 r (A)=r (B)，则 可以用向量组 1， 2， ，n 的一个线性表示；若 r (A)r (B)，则 不可以用向量组 1， 2， ，n 的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设 k11+k22+kn
18、n=0，若 k1,k2,，kn 不全为 0，称线性相关；若 k1,k2,，kn 全为 0，称线性无关。（2）判别方法： r(1， 2， ，n)n，线性相关；r(1， 2，n)=n，线性无关。若有 n 个 n 维向量，可用行列式判别：n 阶行列式 aij0，线性相关（0 无关） (行列式太不好打了)5极大无关组与向量组的秩（1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法 设 A(1 ， 2， ，n)，将 A 化为阶梯阵，则 A 的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1定义 对方阵 A，若存在非零向量 X 和数 使 AXX，则称
19、 是矩阵 A 的特征值，向量 X 称为矩阵 A 的对应于特征值 的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程|I-A|=0 的根即为特征值，将特征值 代入对应齐次线性方程组(I-A)X0 中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论：（1）A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0；（2）A 与 A 的转置矩阵 A有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。4.注意求解所在数域！复数域时“c1、c2. （或 k1、k2.）是不同时为零的复数”！六、矩阵的相似1定义 对同阶方阵 A、B，若存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，则称 A 与 B 相似。2求 A 与对角矩阵相
20、似的方法与步骤（求 P 和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则 A 可对角化（否则不能对角化），将这n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P，依次将对应特征值构成对角阵即为。3求通过正交变换 Q 与实对称矩阵 A 相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型n1定义 n 元二次多项式 f(x1,x2,，xn)= aijxixj 称为二次型 ,若 aij=0(ij)，则称为二交型的标准型。i,j=12二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q-1=Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）；（2）正定的充要条件：A 为正定的充要条件是 A 的所有特征值都大于 0；A 为正定的充要条件是 A 的所有顺序主子式都大于 0；
