1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定,点、直线、平面之间的位置关系,1掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直2知道直线与平面所成角的概念，并会求简单的角,基础梳理,1直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的_直线都_，就说直线l与平面垂直，记作_；直线l叫做平面的_；平面叫做直线l的_；直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做_(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,(1)任意一条垂直l垂线垂面垂足,(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直符号表示：a，b，_，_，_l
2、.(3)两条相交直线abAlalb练习1.如下图所示，PACD，ABCD是正方形，求证：CD平面PAD.,证明：因为PACD，又ABCD是正方形，所以ADCD，又PA与AD相交，所以CD平面PAD.,2直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但_，这条直线称为平面的_，斜线与平面的交点叫做_过斜线上_向平面引垂线，过_和_的直线叫做斜线在平面上的_平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做直线和平面所成的角，如图，_就是斜线AP与平面所成的角,(1)不垂直斜线斜足斜足以外的一点斜足垂足射影射影锐角PAO,(2)特别的，当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是_；当直线与平面平行，
3、或在平面内时，它们所成的角是_(3)直线和平面所成角的范围_练习2.直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？练习3.两条直线垂直就一定相交吗？,(2)900(3)0，90练习2.能练习3.错,思考应用,1“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面”这个结论对吗？解析：不正确实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直2异面直线所成的角的定义及范围是什么？解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a与b所成
4、的角，在空间中任取一点O，过O作a a，bb，则a与b的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0，90,自测自评,1已知a，b是直线，是平面，则下列命题中正确的是()Aa，abb Bab，abCab，ba Da，abb2若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面()A有且只有一个B可能存在，也可能不存在C有无数多个D一定不存在,D,解析：当l1l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在答案：B,3如果直线l和平面内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是()Al Bl与相交Cl D都有可能4已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是()A存在无
5、数个平面与a，b都平行B存在一个平面与a，b等距离C存在无数条直线与a，b都垂直D存在一个平面与a，b都垂直,D,D,5三条直线两两垂直，下列四个命题：三条直线必共点；其中必有两条直线是异面直线；三条直线不可能在同一平面内；其中必有两条直线在同一平面内其中真命题的序号是_,解析：两条直线垂直不一定相交，只有正确答案：,直线和平面垂直的判定定理,如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N. 求证：AN平面PBM.,分析：要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理需证线线垂直，已知ANPM，只需在平面PBM中再找一条与PM不平行的直线与AN垂直即可,证明：设
6、圆O所在的平面为，PA，且BM，PABM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM.由于直线PAAMA，BM平面PAM，而AN平面PAM，BMAN.AN与PM、BM两条相交直线互相垂直故AN平面PBM.点评：判定定理需要五个条件，缺一不可，判定定理实质是把证线面垂直转化为证线线垂直问题来处理,跟踪训练,1如图，在三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，BCAB，求证：BC平面PAB.,证明：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又BCAB，PA平面PAB，AB平面PAB，PAABA，BC平面PAB.,直线与平面所成的角,如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，P
7、A底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点(1)求证：PBDM；(2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值,解析：(1)证明：N是PB的中点，PAAB，ANPB.PA平面ABCD，PAAD.又BAAD，PABAA，AD平面PAB，ADPB.又ADANA，从而PB平面ADMN.DM平面ADMN，PBDM.,(2)如图，取AD的中点G，连接BG、NG，则BGCD. BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等 PB平面ADMN， BGN是BG与平面ADMN所成的角 在RtBGN中，sinBGN . 故CD与平面ADMN所成角的正弦值为 . 点评：求斜线与平面所
8、成的角要注意：一作，二证，三求三个步骤,跟踪训练,2已知：如图，MA平面ABC，RtBMC中，斜边BM5，MBC60，AB4，求MC与平面CAB所成角的正弦值,解析：MA平面ABC，AC为MC在平面CAB内的射影MCA为直线MC与平面CAB所成的角又在RtMBC中，BM5，MBC60，,直线和平面垂直的应用,如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC60，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PAAB2.(1)证明：BC平面AMN；(2)求三棱锥NAMC的体积；,(3)在线段PD上是否存在一点E，使得NM平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由,解析：(1
9、)证明：因为ABCD是菱形，所以ABBC.又ABC60，所以ABBCAC，又M为BC中点，所以BCAM.而PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.又PAAMA，所以BC平面AMN.(2)因为SAMC AMCM 又PA底面ABCD，PA2，所以AN1.所以，三棱锥NAMC的体积V SAMCAN,(3)存在取PD中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD中点，所以NE綊 AD，又在菱形ABCD中，CM綊 AD，所以NE綊MC，即MCEN是平行四边形，所以，NMEC，又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM平面ACE，此时PE PD
10、 .,跟踪训练,3已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，且C1CBC1CDBCD60.(1)证明：C1CBD；(2)当 的值为多少时，能使A1C平面C1BD？并证明这个结论,解析：证明：(1)连接A1C1、AC，AC与BD交于点O，连接C1O，四边形ABCD为菱形，ACBD，BCCD，,又C1CBC1CD，C1C为公共边，C1BCC1DC，C1BC1D.又DOOB，C1OBD，又ACBD，ACC1OO，BD平面AC1C，又C1C平面AC1C，C1CBD.(2)当 1时，能使A1C平面C1BD，证明如下：由(1)知，BD平面AC1C.A1C平面AC1C，BDA1C.当 1时，四棱柱的六
11、个面全都是菱形，同BDA1C的证法可得BC1A1C.又BDBC1B，A1C平面C1BD.,1下列说法中错误的是()如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线A BC D,解析：由线面垂直的判定定理可得错误答案：D,2一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是()A(0，90) B0，90C0，180 D0，180),B,1直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，这是关键2判定线面垂直的两种方法：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理,祝,您,学业有成,
