1、对数与对数函数,如果 a(a0, a1)的 b 次幂等于 N, 即 ab=N, 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数, N叫做真数, 式子 logaN 叫做对数式.,三、对数恒等式,1. 负数和零没有对数; 2. 1 的对数是零, 即 loga1=0; 3. 底的对数等于 1, 即logaa=1.,二、对数的性质,一、对数,自然对数: (lnN).,常用对数: (lgN),alogaN=N(a0 且 a1, N0).,函数 y=logax(a0, 且 a1)叫做对数函数, 对数函数的定义域为(0, +), 值域为(-, +).,如果 a0
2、, a1, M0, N0, 那么:,四、对数的运算性质,五、对数函数,(1) loga(MN)=logaM+logaN;,(3) logaMn=nlogaM.,六、对数函数的图象和性质,(1)定义域: (0, +),(2)值 域: R,(3)过点 (1, 0), 即 x=1 时, y=0.,(4)在 (0, +) 上是增函数.,(4)在 (0, +) 上是减函数.,七、换底公式,换底公式在对数运算中的作用:,课堂练习,B,A,D,A,B,B,D,10.方程 lg(4x+2)=lg2x+lg3 的解是 .,x=0 或 1,B,9.若 (log23)x -(log53)x (log23)-y-(l
3、og53)-y, 则( ) A. x -y0 B. x+y0 C. x -y0 D. x+y0,B,1.化简下列各式:,(1) (lg5)2+lg2lg50;,=1.,解: (1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5),=(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5,=(lg5+lg2)2,=1.,典型例题,(3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2,=3lg5lg2+3lg5+3lg22-2,=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2,=3(lg2+lg5)-2,=1.,解: 由 1ab1, 00, logn4logn4, 可分情况讨论如下:,m1n0;,log
4、4mm1;,3.已知 logm4logn4, 比较 m, n 的大小.,当 m1, n1 时, 由 logm4logn40 得:,当 0logm4logn4 得:,log4mlog4n.,0mn1n0 或 nm1 或 0mn1.,0logba0, y0, x-2y0, x2y0., lgx+lgy=2lg(x-2y), lg(xy)=lg(x-2y)2., xy=(x-2y)2., x2-5xy+4y2=0., (x-y)(x-4y)=0., x=y(舍去)或 x=4y.,7.已知 ab1, 且 3lgab+3lgba=10, 求 lgab-lgba 的值.,(lgab-lgba)2=(lga
5、b+lgba)2-4lgablgba,ab1,lgab-lgba0, t0,要使原函数在区间 2, 4 上是增函数, 应有:,解得: a1.,存在实数 a, 只须 a(1, +) 即可满足要求.,解: (1) a1, x1,若 x0, 则当 1a2 时, f-1(x)0 时, f-1(x)-g(x), x0, a1, 2xax1.,当 1a2 时, ax2x, f-1(x)-g(x)0, f-1(x)2 时, ax2x, f-1(x)-g(x)0, f-1(x)g(x).,综上所述, 若 x=0, 则 f-1(x)=g(x);,当 a=2 时, f-1(x)=g(x);,当 a2 时, f-1
6、(x)g(x).,补充例题,1.解方程: x+log2(2x-31)=5.,2.设a, b分别是方程 log2x+x-3=0和2x+x-3=0 的根, 求a+b的值.,x=5,a+b=3.,(1)奇函数;,5.已知关于 x 的方程 lg(ax)lg(ax2)=4 的所有解都大于 1, 求实数 a 的取值范围.,a1时, “” ; 0a1时, “1, mR, x=logst+logts, y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s).(1)将 y 表示为 x 的函数 y=f(x), 并求出 f(x) 的定义域; (2)若关于 x 的方程 f(x)=0 有且仅有一个实根, 求 m 的取值范围.,(1)f(x)=x4+(m-4)x2+2(1-m), 其定义域为2, +);,(2)(-, -1. (注意: x24),
