1、综合检测(时间:120 分钟,满分:150 分)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为( ).A.232 B.252 C.472 D.484答案:C解析:完成这件事可分为两类,第一类 3 张卡片颜色各不相同共有=256 种;第二类 3 张卡片有两张同色且不是红色卡片共有=216 种,由分类加法计数原理得共有 472 种,故选 C.2.(2014 重庆高考 )某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节
2、目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) .A.72 B.120 C.144 D.168答案:B解析:解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类,然后利用插空法将剩余 3 个节目排入左边或右边 3 个空,故不同排法有2=72.第二类也分两步,先排歌舞类,然后将剩余 3 个节目放入中间两空排法有,故不同的排法有=48,故共有 120 种不同的排法 ,故选 B.3.(x2+2)的展开式中的常数项是( ).A.-3 B.-2 C.2 D.3答案:D解析:的通项为 Tr+1=(-1)r=(-1)rx2r-10.要使( x2+2)的展开式中存在常数项,须令 2r-10=-2 或 0,此时r=4
3、 或 5.故( x2+2)的展开式中的常数项是 (-1)4+2(-1)5=3.4.小明同学在网易上申请了一个电子信箱,密码由 4 位数字组成,现在小明只记得密码是由 2 个 6,1个 3,1 个 9 组成,但忘记了它们的顺序.那么小明试着输入由这样 4 个数组成的一个密码,则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是( ) .A. B. C. D.答案:C解析:由 2 个 6,1 个 3,1 个 9 这 4 个数字一共可以组成=12 种不同的密码顺序,因此小明试着输入由这样 4 个数组成的一个密码,他恰好能输入正确进入邮箱的概率是 P=.5.将三颗骰子各掷一次,设事件 A=“三个点数都不相同”,B=“至
4、少出现一个 6 点”,则概率 P(A|B)等于( ) .A. B. C. D.答案:A解析:P(B )=1-P()=1-,P(AB)=,故 P(A|B)=.6.已知随机变量 X 服从二项分布,XB,则 P(X=2)等于( ).A. B. C. D.答案:D解析:P(X=2) =.7.6 个电子产品中有 2 个次品,4 个合格品,每次从中任取一个测试,测试完后不放回,直到两个次品都找到为止,那么测试次数 X 的均值为( ).A. B. C. D.答案:D解析:测试次数 X 为随机变量,其可能的取值为 2,3,4,5,6,其分布列如下:X 2 3 4 5 6PE(X)=2+3 +4+5+6.8.某
5、次语文考试中考生的分数 XN(80,100),则分数在 60100 分的考生占总考生数的百分比是( ).A.68.26% B.95.44%C.99.74% D.31.74%答案:B解析:由题意得 =80,=10,-2=60,+2=100,故 60100 分之间的考生占总考生数的百分比是 95.44%.9.已知 x,y 之间的一组数据x 1.08 1.12 1.19 1.28y 2.25 2.37 2.40 2.55x 与 y 之间的线性回归方程 x 必过( ).A.(0,0) B.(1.167 5,0)C.(0,2.392 5) D.(1.167 5,2.392 5)答案:D解析:回归直线过样
6、本中心点().=1.167 5,=2.392 5,x 必过点(1.167 5,2.392 5).10.已知( x+)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则( a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2 的值为( ).A.0 B.1 C.-1 D.2答案:B解析:令 x=1,得 a0+a1+a2+a10=(1+)10.令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+-a9+a10=(-1)10.(a 0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=(a0+a1+a2+a10)(a0-a1+a2-a3+a8-a9+a10)=(1+)1
7、0(1-)10=1.11.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男 女 总计爱好 40 20 60不爱好 20 30 50总计 60 50 110由 K2=算得,K 2=7.8.附表:P(K2k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表,得到的正确结论是( ) .A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“ 爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关 ”C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性
8、别无关”答案:C解析:K 27. 86.635,有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,即犯错误的概率不超过 1%.12.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是,反复这样投掷,数列a n定义如下:a n=若Sn=a1+a2+an(nN *),则事件“S 8=2”的概率,事件“S 20,S 8=2”的概率分别是( ).A. B.C. D.答案:B解析:根据定义事件“S 8=2”是指 8 次投掷中 5 次正面 3 次反面,其概率为 P=;事件“S 20,S 8=2”是指:(1)前 2 次都是正面,后 6 次中 3 正 3 反;(2)前 2 次都是反面,后 6 次中 5 正 1 反,故其概
9、率为P=.二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)13.5 名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有 3 间客房可选,一间客房为 3 人间,其余为 2 人间,则 5 人入住两间客房的不同方法有 种(用数字作答). 答案:20解析:依题可知这 5 人只能入住一间 3 人间及一间 2 人间,第一步先确定在 2 个 2 人间中选择哪一间有种;第二步确定哪三个人入住 3 人间有种,剩下的 2 人住 2 人间,故这 5 人入住两间空房的不同方法有=20 种.14.(2014 大纲全国高考 )的展开式中 x2y2 的系数为 .(用数字作答) 答案:70解析:设的第 r+1 项中含有 x2y
10、2,则 Tr+1=(-1)r,因此 8-r-=2,r-=2,即 r=4.故 x2y2 的系数为(-1) 4=70.15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:h) 均服从正态分布 N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 . 答案:解析:设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A,B,C,显然 P(A)=P(B)=P(C)=,该部件的使用寿命超过 1 000 的事件为(AB+AB) C.该部件的
11、使用寿命超过 1 000 小时的概率为 P=.16.甲、乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是,没有平局,若采用三局两胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于 . 答案:解析:甲队 20 获胜的概率为,甲队 21 获胜的概率为,故甲队获胜的概率为.三、解答题(共 6 小题,共 74 分)17.(12 分 )在研究某种新药对小白兔的治疗效果时,得到如下数据:存活数 死亡数 合计未用新药 101 38 139用新药 129 20 149合计 230 58 288试分析新药对治疗小白兔是否有效?解:由公式计算得,随机变量 K2 的观测值k=8.658,由于 8.658
12、6.635,故有 99%的把握可以判断新药对治疗小白兔是有效的.18.(12 分 )已知在的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 563.(1)求展开式中的所有有理项;(2)求展开式中系数绝对值最大的项;(3)求 n+9+81+9n-1 的值.解:(1)由(-2) 4( -2)2=563,解得 n=10.因为通项 Tr+1=)10-r=(-2)r,当 5-为整数时,r 可取 0,6,于是有理项为 T1=x5 和 T7=13 440.(2)设第 r+1 项系数绝对值最大,则解得于是 r=7.所以系数绝对值最大的项为 T8=-15 360.(3)10+9+81+910-1=.19.(
13、12 分 )在一个盒子中 ,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x,y,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为(x-2,x-y ),记 =|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量 的最大值,并求事件 “ 取得最大值”的概率;(2)求随机变量 的分布列和数学期望 .解:(1)x,y 可能的取值为 1,2,3,|x-2| 1,|y-x|2. 3,且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,=3.因此,随机变量 的最大值为 3.有放回抽两张卡片的所有情况有 33=9 种,故 P(=3)=,即事件“ 取最大值”的概率是.(2)随机变量 可能取值
14、为 0,1,2,3,当 =0 时,x=2,y= 2,P(=0)= ;当 =1 时,x=1,y= 1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3,P(=1)= ;当 =2 时,x=1,y= 2 或 x=3,y=2,P(=2)= ;由(2)知 P(=3)=,随机变量 的分布列为 0 1 2 3P随机变量 的数学期望 E()=0+1+2+3.20.(12 分 )假设关于某设备使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料:x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料知,y 对 x 呈线性相关关系,试求:(1)回归直线方程 ;(2)估计使用年
15、限为 10 年时 ,维修费用约是多少?解:(1)依题列表如下:i 1 2 3 4 5xi 2 3 4 5 6yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0=4,=5,=90,xiyi=112.3=1.23.=5-1.234=0.08.回归直线方程为=1.23x+0.08.(2)当 x=10 时,= 1.2310+0.08=12.38(万元) .即估计用 10 年时,维修费约为 12.38 万元.21.(12 分 )现在要对某个学校今年将要毕业的 900 名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检验,可以利用两种方法.对每个人的血样分别化验,这时共需要化
16、验 900 次;把每个人的血样分成两份,取其中 m 个人的血样各一份混合在一起作为一组进行化验,结果为阴性,那么对这 m 个人只需这一次检验就够了;结果为阳性,那么再对这 m 个人的另一份血样逐个化验,这时对这 m 个人一共需要 m+1 次检验 .据统计报道,对所有人来说,化验结果为阳性的概率为 0.1.(1)求当 m=3 时,一个小组经过一次检验就能确定化验结果的概率是多少?(2)试比较在第二种方法中 ,m=4 和 m=6 哪种分组方法所需要的化验次数更少一些?解:(1)当 m=3 时,一个小组有 3 个人,经过一次检验就能确定化验结果是指经过一次检验,结果为阴性,所以概率为 P=(1-0.
17、1)3=0.729.(2)当 m=4 时,一个小组有 4 个人,这时每个人需要检验的次数是一个随机变量 1,其分布列为1P 0.94 1-0.94所以 E(1)=0.94+(1-0.94)0.59;当 m=6 时,一个小组有 6 个人,这时需要检验的次数是一个随机变量 2,其分布列为2P 0.96 1-0.96所以 E(2)=0.96+(1-0.96)0.64,由于 E(2)E(1),因此当每 4 个人一组时所需要的化验次数更少一些 .22.(14 分 )一次小测验共有 3 道选择题和 2 道填空题,每答对一道题得 20 分,答错或不答得 0 分.某同学答对每道选择题的概率均为 0.8,答对每道填空题的概率均为 0.5,各道题答对与否互不影响.(1)求该同学恰好答对 2 道选择题和 1 道填空题的概率;(2)求该同学至多答对 4 道题的概率 ;(3)若该同学已经答对了两道填空题,把他这次测验的得分记为 X,求 X 的概率分布列及数学期望.解:(1)P=.(2)该同学至多答对 4 道题的概率为 1-.(3)X 的可能取值为 40,60,80,100.P(X=40)=,P(X=60)=,P(X=80)=,P(X=100)=.X 的概率分布列为X 40 60 80 100PE(X)=40+60+80+100=88.
