1、基础巩固强化一、选择题1l，m 是两条直线，方向向量分别为 a(x 1，y 1，z 1)，b( x2，y 2， z2)，若 lm，则( )Ax 1x 2， y1y 2，z 1z 2B x1kx 2，y 1py 2， zqz 2C x1x2y 1y2z 1z20Dx 1x 2，y 1 y2， z1z 2答案 D解析 由向量平行的充要条件可得2平面 的一个法向量为 v1(1,2,1)，平面 的一个法向量为v2 ( 2， 4，2)，则平面 与平面 ( )A平行 B垂直C相交 D不确定答案 A解析 由 v1v 2故可判断 .3已知点 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C 为线段 AB 上一点且 |A
2、C |AB |，则点 C 的坐标为( )13A( ， ， ) B( ，3,2)72 12 52 38C ( ，1， ) D( ， ， )103 73 52 72 32答案 C解析 C 在线段 AB 上，设 C(x，y，z)，则(x4，y 1，z 3) (24，51,13) ，13即Error!解得Error!故选 C.二、填空题4若 u (，uR)，则直线 AB 与平面 CDE 的位AB CD CE 置关系是_答案 AB平面 CDE 或 AB平面 CDE5已知 A、B 、C 三点的坐标分别为 A(1,2,3)，B(2 ，1,1)，C(3，) ，若 ，则 等于_AB AC 答案 145解析 (1
3、 ，3，2)， (2，2，3) ，AB AC ，AB AC 0，AB AC 23(2)2( 3)0，解得 .145三、解答题6如图，已知 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 PA、BD 上的点，且 PMMABN ND58.求证：直线 MN平面 PBC.证明 MN MP PB BN PM PB BN 513PA PB 513BD ( ) ( )513BA BP PB 513BA BC ，513BP BP 513BC 513BC 813BP 与 、 共面， 平面 BCP，MN BC BP MN MN平面 BCP，MN 平面 BCP.7已知三棱锥 PABC，D、E、F 分别为棱
4、PA、PB、PC 的中点，求证平面 DEF平面 ABC.证明 证法一：如图设 a， b， c，则由条件知， 2a， 2b，PD PE PF PA PB 2c，PC 设平面 DEF 的法向量为 n，则 n 0，n 0，DE DF n(ba)0，n (c a)0，n n( )n(2b2a)0，n n( )AB PB PA AC PC PA n (2c2 a)0，n ，n ，AB AC n 是平面 ABC 的法向量，平面 DEF平面 ABC.证法二：设 a， b， c，则PD PE PF 2a， 2b， 2c ，PA PB PC ba， c a， 2b2a， 2c2a，DE DF AB AC 对于平
5、面 ABC 内任一直线 l，设其方向向量为 e，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对(x，y )，使 ex y x(2 b2a)AB AC y (2c2a )2x (ba )2y(ca)2x 2y ，e 与 、 共DE DF DE DF 面，即 e平面 DEF，l平面 DEF，l 平面 DEF.由 l 的任意性知，平面 ABC平面 DEF.8.四边形 ABCD 是直角梯形，ABC90， SA平面ABCD，SAAB BC 2，AD 1.在如图所示的坐标系 Axyz 中，分别求平面 SCD 和平面 SAB 的一个法向量解析 A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)AD
6、 平面 SAB， (1,0,0)是平面 SAB 的一个法向量AD 设平面 SCD 的法向量为 n(1，y，z)，则 n (1，y ，z)(1,2,0)12y0，DC y .12又 n (1，y，z )(1,0,2)12z0，DS z .12n(1 ， ， )即为平面 SCD 的一个法向量 .12 12能力拓展提升一、选择题9设平面 的法向量为(1,2，2)，平面 的法向量为(2， 4， k)，若 ，则 k( )A2 B4C 4 D2答案 C解析 ， ，1 2 2 4 2kk4，故选 C.10如果直线 l 的方向向量是 a(2,0,1)，且直线 l 上有一点P 不在平面 内，平面 的法向量是 b
7、(2,0,4)，那么( )Al BlC l Dl 与 斜交答案 B解析 ab440，ab，又l，l.二、解答题11在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中，ABC60，PAACa ，PB PD a，F 为 PC 的中点，点 E 在 PD 上，且2 2，求证：BF 平面 AEC.PEED证明 BF BC 12CP ( ) AD 12CD DP AD 12CD 32DE ( ) ( ) ，AD 12AD AC 32AE AD 32AE 12AC 、 、 共面BF AE AC 又 BF平面 AEC，从而 BF平面 AEC.12如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F、G、 H、M、N 分
8、别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG平面 HMN.证明 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 2，易得 E(1,1,0)， F(1,0,1)，G(2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N(0,1,1) (0，1,1)， (1,0,1)，EF EG (0,1，1)， ( 1,0，1)HM HN 设 m(x 1，y 1，z 1)，n ( x2，y 2，z 2)分别是平面 EFG、平面HMN 的法向量，由Error!Error!，令 x11，得 m(1， 1，1) 由Error!Error!.令 x21，得 n(1，1，1)mn，即平面 EFG平面 HMN.13.
9、如图，在正方体 AC1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点设 Q 是 CC1 上的点当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?解析 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 2，则 O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0) ，D 1(0,0,2)再设 Q(0,2，c)， (1，1,0)， (1，1,1)，OA OP (2,0 ，c )， (2，2,2)BQ BD1 设平面 PAO 的法向量为 n1(x，y ，z)，则Error!Error!令 x1，则 y1，z2.平面 PAO 的一个法向量为 n1(1,1,2)若平面 D1BQ平面 PAO，那么 n1 也是平面 D1BQ 的一个法向量n 1 0，即22c0，c 1，BQ 这时 n1 2240，BD1 故当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.14如图，在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中，ABC60，PAACa ，PB PD a，点 E 在 PD 上，且 PEED21. 在棱2PC 上是否存在一点 F，使 BF平面 AEC？证明你的结论证明 以 A 为坐标原点，直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴，过A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系 (如图)，
