1、()()fxf 考点 8 函数的奇偶性和周期性考纲解读 理解函数奇偶性的概念,并能判断函数的奇偶性 掌握具有奇偶性函数的图象和单调性的有关性质,能灵活应用重点难点 函数奇偶性的判定；具有奇偶性的函数的有关性质的应用 将具有奇偶性的函数的有关性质灵活应用于综合题中.*命题探究 教材将函数的奇偶性和周期性移到了三角函数这一章,因为三角函数的图象很直观地反映了这两个性质,所以利用函数的奇偶性的性质来解题将成为考试热点 综合题中利用奇偶性来综合考查函数的性质也会出现高考赏析1.(2011江西)观察下列各式 : 则 的末四位数字为 ,.78125,156,325201A.3125 B. 5625 C.0
2、625 D.8125【解析】 ,46,8390625xffffff 2014810*8，故选 D2.(2010广东) 若函数 与 的定义域均为 R，则()3xf()3xgA. 与 均为偶函数 B. 为奇函数， 为偶函数(fxgf()gxC. 与 均为奇函数 D. 为偶函数 为奇函数【解析】 故选 D)(), ()x xff3.(2010山东) 设 为定义在 上的奇函数,当 时, ( 为常数),则fR0 2xfb(1)fA3 B.1 C.-1 D. 3【解析】由 为定义在 上的奇函数可知 ，于是(fx0()21fb1)23ff故选 D.4.(2010重庆) 已知函数 满足: , ，则 =_.fx
3、4,fxyffxyR01f【解析】取 得 ,法一：通过计算 ，寻得周期为 .法二：取1,0xy21)( ).4(,3)2( 6,有 同理 联立得n)fnf1,fnffn所以 故 .(2)(),f6,T0()5.(2002天津) 设函数 在 内有定义,下列函数: ； ；)(xf|)(|xfy)(2xfy ； 中必为奇函数的有 .xfyfy【解析】由于函数定义域为对称区间,利用奇函数的定义易得为所求.基础巩固6.设函数 为奇函数, 则 )(Rf1(),(2)(2),ffxf5(fA. B. C. D.05【解析】法一:直接法.令 由于 为奇函数, 再分别令),()(,ffx)f ,1)2(,)1(
4、ff即得结论.法二:由于 可取,31x ),2()(fxf1,(),().2fxkffx5().2f故选 C.7.定义在 R 上的函数 满足 当 时, ,则 )(xf,53|4fA. B. C. D.(sin)cos6f)1(cosinf(s)(in)f)(sin)(coff【解析】法一:当 时, 是偶函数,在 上为增函数,在1|24,534xx 011,0上为减函数,又 . 而2i()i2()()i()ffi(2)i().故选 D. )(sn)(coff8.已知定义在 R 上的奇函数 满足 则 , 的值为xfffx6fA.1 B. 0 C.1 D.2【解析】因为 是定义在 R 上的奇函数，所
5、以 又 故函数 的)(xf (0)(4)(2)(,fxf)(xf周期为 4，所以 。 故选 B6(2)ff9.若 是定义在 R 上的偶函数 ,且是周期为 2 的周期函数.当 时, 则 的值f 3,f32f是 A. B. C. D. 1252512【解析】方法一： 故选 B.方法二：图象法.33()(4)(.2fff10.设 为偶函数 ,对于任意的 都有 已知 那么 等于 )(xf ,Rx),()xf()4f)3(fA.2 B.-2 C.8 D.-8【解析】令 即可,故选 D111.已知定义在 R 上的函数 满足 ,且 不恒为 0,)(f )2()(,)(ffxff (xf则 )(xfA.是奇函
6、数不是偶函数,不是周期函数 B.是偶函数不是奇函数,是周期函数C.是偶函数不是奇函数,不是周期函数 D.不是奇函数不是偶函数,是周期函数【解析】利用图象法解题.选 B.12.设 是定义在 R 上的奇函数 ,若当 时, 则 )(f 0x),1(log)3xf2(f【解析】 是定义在 R 上的奇函数, .x2(f能力提高13.(1)已知 且 求),1(log)(22fa,7.f).(f【解析】令 易知 为奇函数, ,xxg(g6274(2)对任意整数 且 求 的值. ),fff ,93,1)0ff 5(f【解析】由题意知, ,()1()(2 x.)63xffxf.243)(5)9( (3)设周期函
7、数 是定义在 上的奇函数,它的最小正周期为 2,试求fR的值. )192)1ff【解析】 函数 是定义在 上的奇函数,则 又函数的最小正周期为 2,)(x,0(f .0)(2fkf而 ,(ffk )12(f 1.0)1(f)65)ff14.设函数 的定义域关于原点对称 ,且满足(1) (2)存在正常数 ,)(xf 12121()(;fxfxfa使 求证:.1af(1) 是奇函数 ;)(2) 为周期函数 ,并且有一个周期为 .xa4【解析】 (1) 不妨令 则12x122()()fxfff21()()fxff又函数 的定义域关于原点对称 ,故函数 是奇函数 .xf(2) ()()()(faxaf
8、()()1faxffx12)fxfxf)()(ffx(4)()2)(fafaff故 为周期函数, 并且有一个周期为 .x415.定义在实数集 R 上的函数 ,对任意 有 = 且 .xf,Ry(yxff),(2yf0f(1)求 的值;)0(f(2)判断函数 的奇偶性 ,并加以证明;(3)若存在常数 ,使 求证对任意 ,有 试问函数 是c()02fx);()(xfcxf)(xf否是周期函数,如果是,找出它的一个周期;如果不是,请说明理由.【解析】(1) 令 则有,xy2().ff(0)()1.f故 的值为 1.(2) 函数 的为偶函数.令 则有,x()2(0)fyfy(f又函数 的定义域为 R,故
9、函数 为偶函数.)(3) 分别用 替换 有,(0)2cx,.xy()()2cffff,().cxx 由,有 ()ffcf故函数 是周期函数 , 是它的一个周期.)应用创新16.已知函数 ()fx在 R上满足 (2)(),(7)()fxffxf且在闭区间 0,7上，只有(1)30.f(1)试判断函数 )y的奇偶性；(2)试求方程 (f在闭区间 01,上根的个数，并证明你的结论思路分析：(1)判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看 f(-x)与 f(x)的关系，但本题不易出现 f(-x)与 f(x)，但可先假设该函数是奇函数或偶函数，看能否得出不正确的结论，进而得出结论(即举反例来判断函数的奇偶性
10、).(2)先求函数的周期，然后在它的一个周期内求解，再由其周期性求 出定义域内的全部解【解析】(1)若 ()yfx为偶函数，则 ()2()2()(4)(,fxffxfxf7)30,f这与 在闭区间 0,7上，只有 130.矛盾；因此 不是偶函数.若 为奇函数，则 ,这与 在闭区间 0,7上，只有(1.矛盾；因此 ()f不是奇函数.综上可知：函数 fx既不是奇函数也不是偶函数.(2) ()22()(4),f xfx7()71f14,f即 10(0)fx即函数 (的周期为 .又 3)(),(310)(),fnZfnZ即 n和 Z均是方程 0fx的根.由 2121及 可得 ,12, 共 4个；由 0
11、0及 可得 2 共 个；所以方程 ()fx在闭区间 ,上的根共有 85个.【方法提示】(1)判断函数不具有某性质只需举出一个反例即可；(2)奇偶函数根的个数问题,由于奇偶函数的定义域关于原点对称，且 )(ffx或 )(,fx所以，除去根为零外，如果有解，则解的个数为偶数个.注:方程 ()fA(其中 为非零常数)的解的个数，如果函数 ()fx为偶函数时解的个数为偶数个，如果函数 fx为奇函数时解的个数不一定为偶数个知识清单 函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)是偶函数。 关于 y 轴对称奇函数 如果对于
12、函数 f(x)的定义域内任意一个，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)是奇函数。 关于原点对称 奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的-x 在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称； 存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 在公共定义域内，亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；(2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。注：以上结论是在
13、两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。 若是奇函数 ()fx且在 x=0 处有定义，则 f(0)=0. 对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； 整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；x 可逆性： 是偶函数； 奇函数；ff)(xf )()(ff)(xf 等价性： ,)(x0 0)(f 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称；y 可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 周期函数：对于函数 ()yfx，如果存在一个非零
14、常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 为周期函数， T 为这个函数的周期。 最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的 正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤，即： 首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 若定义域关于原点对称，再判定 ()fx与 f之间的关系若 ()(fxf（或 0） ，则 ()fx为奇函数；若 (或 )，则 为偶函数；若 )(f且 f，则 ()f既是奇函数又是偶函数;若 ()ff且 ,fx则 (既不是奇函数也不是偶函数。 一些重
15、要类型的奇偶函数： 函数xa为偶函数;函数 )xfa为奇函数； 函数21()xxf其中 (0且 1)为奇函数； 函数loga为奇函数 且 ; 函数2()(1)f为奇函数 (a且 ) 分段函数奇偶性的判定步骤： 分析定义域是否关于原点对称； 对 x的值进行分段讨论，寻求 (fx与 )在各段上的关系； 综合（2）在定义域内 )与 的关系，从而判断 ()fx的奇偶性。 奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤 利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现 f, ; 巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 找出 ()fx与 关系，得出结论。
16、 关于周期函数的常用结论：（1）若对于函数 f定义域内的任意一个 x都有： ()(fa，则函数 ()f必为周期函数， 2|a是它的一个周期； 1xf，则函数 必为周期函数， 是它的一个周期； ()(f，则函数 ()fx必为周期函数， |是它的一个周期；（2）如果 T是函数 y的周期，则 ,0kZ也是函数 的周期，即 ()(fxkTfx； 若已知区间 ()mn上的图象，则可画出区间 ,0)mnZk上的图象.纠错笔记 易错点一:函数奇偶性的概念不清.在函数奇偶性的判断和应用中,易出现以下错误:一是没有先判断函数的定义域是否关于原点对称而直接去考虑 ()fx与 的关系;二是在判断 ()fx与 的关系时没有满足自变量在定义域中的任意性;三是利用奇偶性求函数的解析式时,一般是将需求解析式的区间向已知解析式的区间 易错点二:函数周期性的应用问题:求周期函数的函数值,要根据函数的周期性,将自变量的范围转化到已知区间上,再利用已知区间上的函数表达式求出其函数值
