1、第 14 课时 函数 y=Asin(x+ )的图象(1)教学过程一、 问题情境物体做简谐运动时,位移 s 和时间 t 的关系是 s=Asin(t+)(A0, 0),其中 A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离, 称为振动的振幅, 往复振动一次所需的时间 T= 称为这个振动的周期,单位时间内往复振动的次数 f=称为振动的频率;t+ 称为相位,当 t=0 时的相位 称为初相.在物理和工程技术中经常会遇到形如 y=Asin(x+)(A0, 0)的函数,那么怎样画出它的函数图象从而来研究此类函数的性质呢?二、 数学建构问题 1 画出函数 y=sin (xR), y=sin (xR)的简图 .列表:x
2、-x+ 0 2sin 0 1 0 -1 0xx- 0 2sin 0 1 0 -1 0描点画图(如图 1):(图 1)问题 2 请说出函数 y=sin , y=sin x- 的图象与函数 y=sinx 的图象之间的关系,能否推广至一般情形?通过比较,发现(如图 2):(图 2)(1) 函数 y=sin , xR 的图象可以看做是将正弦曲线上所有的点向左平移个单位长度而得到的.(2) 函数 y=sin , xR 的图象可以看做是将正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度而得到的.一般地,函数 y=sin(x+), xR(其中 0)的图象, 可以看做是将正弦曲线上所有点向左 (当0 时) 或向右 (当
3、0 且 A1)的图象, 可以看做是将函数 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变 )而得到的.问题 5 画出函数 y=sin2x (xR), y=sinx (xR)的图象(简图). 函数 y=sin2x,周期 T=, 在 0, 上作图.令 X=2x,则 x=,从而 sinX=sin2x.列表:X=2x 0 2x 0 sin2x 0 1 0 -1 0函数 y=sin,周期 T=4, 在0 , 4上作图.列表:X= 0 2x 0 2 3 4sin 0 1 0 -1 0作图(如图 4):(图 4)问题 6 请说出函数 y=sin2x (xR), y=sinx (xR)的图
4、象与函数 y=sinx 图象之间的关系,能否推广至一般情形?(1) 函数 y=sin2x, xR 的图象,可看做是将 y=sinx, xR 上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.(2) 函数 y=sinx, xR 的图象,可看做是将 y=sinx, xR 上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)而得到的.引导,观察,启发:与 y=sinx 的图象作比较,结论:一般地,y=sinx, xR (0 且 1)的图象可以看做是将函数 y=sinx 的图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变 )而得到的.三、 数学运用【例 1】 (1) 将函数 y=x2 图象上所有点的横
5、坐标不变, 纵坐标变为原来的倍,则得到函数 y=x2 的图象 ;(2) 将函数 y=x+1 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,则得到函数y=x+1 的图象. (见学生用书 P27)处理建议 学生讨论、判断,并且作图验证或用特殊点进行验证.题后反思 在解决图象变换的有关问题时,可通过作出图象进行验证.变式 (1) 将函数 y=tanx 图象上所有点横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,则得到函数y=3tanx 的图象.(2) 将函数 y=tanx 图象上所有点纵坐标不变,横坐标变为原来的倍, 则得到函数 y=tan2x的图象.【例 2】 画出函数 y=4sin2x 在长度为一个
6、周期的闭区间上的简图(五点法),并说出它是由函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到的.(见学生用书 P28)处理建议 该问题相对比较复杂,需要由 y=sinx 的图象经过两次变换才能得到 ,可以先让学生说出变换过程,再画图验证.规范板书 解 周期 T=, 在 0, 上作图.列表:X=2x 0 2x 0 y=4sin2x 0 4 0 -4 0作图(如图):(例 2)将函数 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的,再将点的的横坐标不变,纵坐标变为原来的 4 倍,即可得到函数 y=4sin2x 的图象.题后反思 本例可以先作一个中间函数 y=sin2x 的图象进行出过渡
7、,这样更能观察出图象之间的变换过程.变式 画出函数 y=2sin 在长度为一个周期的闭区间上的简图(五点法 ),并说出它是由函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到的.解 图略,将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位,再将点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍, 即可得到函数 y=2sin 的图象.四、 课堂练习1. 已知函数 y=3sinx 的图象为 C,为了得到函数 y=3sin 的图象,只需将 C 上的所有点向右平移个单位.2. 函数 y=2sin 的振幅为 2,周期 T=4,初相为-.3. 将函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的 3 倍,纵坐标不变,可得到函数y=sinx 的图象.4. 将函数 y=sinx-1 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍,横坐标不变,可得到函数y=2sinx-2 的图象 .五、 课堂小结1. 掌握三角函数图象的平移变换、伸缩变换,尤其要注意总结图象变换后函数解析式的变化规律.2. 学会根据图象总结观察变化规律这一研究函数的基本思想,树立以形助数的数学思想.
