1、单元质量评估(一)第一讲（120 分钟 150 分）一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知 a+b0,bb-b-a B.a-b-abC.a-bb-a D.ab-a-b2.下列各函数中,最小值为 2的是 ( )A.y=x+B.y=C.y=logax+logxa(a0,x0且 a1,x1)D.y=3-x+3x(x0)3.函数 y= (x0)的最小值是 ( )A.2 B.2 -1C.-2 -1 D.2 -24.函数 y=x2+ (x0)的最小值是 ( )A. B. C. D.31831832185.(2013青岛高二检测
2、)“|x|1,x+y-2,则 ( )A.x0,y0 B.x0,y07.若 x,y是正数,则 + 的最小值是 ( )A.3 B. C.4 D.8.若 a,b(0,+),且 ab,M= + ,N= + ,则 M与 N的大小关系是 ( )A.MN B.M0,b0,则 + +2 的最小值是 ( )A.2 B.2 C.4 D.512.设 00,y0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 的最小值是 .15.定义运算 xy= ,若|m-1|m=|m-1|,则 m的取值范围是 .16.下面四个命题:若 ab,c1,则 algcblgc;若 ab,c0,则 algcblgc;若 ab,则
3、a2cb2c;若 a0,则 .其中正确命题有 .(填序号)三、解答题(本大题共 6小题,共 70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知 x0,y0,x+2y+xy=30,求 xy的取值范围.18.(12分)解不等式|x-1|+|x-2|5.19.(12分)已知 a0,b0且 a2+ =1,求 a 的最大值.20.(12分)已知 a,b为正数,求证: + .21.(12分)(2013湖南高考)在平面直角坐标系 xOy中,将从点 M出发沿纵、横方向到达点 N的任一路径称为 M到 N的一条“L 路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径 MN1N都是 M到 N的“L
4、 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy内三点 A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在 x轴上方区域(包含 x轴)内的某一点 P处修建一个文化中心.(1)写出点 P到居民区 A的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明).(2)若以原点 O为圆心,半径为 1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.22.(12分)(能力挑战题)已知函数 f(x)=ax2+4(a为非零实数),设函数 F(x)=(1)若 f(-2)=0,求 F(x)的表达式.(2)在(1)的条件下,解不等式 1|F(x)|
5、2.(3)设 mn0,试判断 F(m)+F(n)能否大于 0?答案解析1.【解析】选 C.因为 a+b0,b-b0,所以 0b-a.2.【解析】选 B.y= = + 2.当 x=0 时,等号成立.而 A,C 中两数不一定为正数,D 中等号不成立.【变式备选】下列函数中,最小值是 2 的是( )A.y= +B.y= +C.y=tanx+ ,xD.y=lg(x-10)+ (x10 且 x11)【解析】选 C.A,D 选项中的数不一定为正数,B 选项的等号取不到.3.【解题指南】对函数表达式适当变形,使之能够利用基本不等式求最值.【解析】选 B.y= =x+ =(x+1)+ -12 -1=2 -1,
6、当且仅当 x= -1 时等号成立.4.【解析】选 A.y=x2+ =x2+ +3 =3 = .318当且仅当 x2= 即 x = 时等号成立.25.【解析】选 A.|x|1 矛盾,所以可排除 C,D.假设 x0,y0.7.【解析】选 C.因为 += + +2 +2 +2 =1+2+1=4,当且仅当 x=y= 时,等号成立.8.【解析】选 A.因为 a,b(0,+),且 ab,所以 + 2 , + 2 ,所以 + + + 2 +2 ,所以 + + .所以 MN,故应选 A.9.【解析】选 B.当 x0 时,a =1;当 x”,其他不变,则此不等式的解集是 .【解析】|2x-1|-|x-2|0(2
7、x-1) 2(x-2)2x21x1.答案:(-,-1)(1,+)14.【解析】因为 x,a,b,y 成等差数列,所以 x+y=a+b,又 x,c,d,y 成等比数列,所以 xy=cd,= = = + +22 +2=4,当且仅当 x=y 时,取等号.答案:415.【解题指南】先由定义的新运算化简|m-1|m=|m-1|转化为不等式求解.【解析】依题意,有|m-1|m,所以-mm-1m,所以 m .答案:m16.【解析】不正确,因为 00,y0,所以 30=x+2y+xy2 +xy=2 +xy,所以( )2+2 -300,所以( -3 )( +5 )0,所以 00,所以(x+2)+ 2 =16,当
8、且仅当 x+2= ,即 x=6 时,等号成立,所以 xy-16+34=18,当且仅当 x=6,y=3 时等号成立.所以 xy 的取值范围是(0,18.18.【解析】根据绝对值的几何意义,|x-1|表示数轴上的点 x 到点 1 的距离,|x-2|表示数轴上的点 x 到点 2 的距离,所以不等式的解集为数轴上到 1 的距离与到 2 的距离的和大于 5 的实数的集合,所以不等式的解集为(-,-1)(4,+).19.【解析】a = a = = = ,当且仅当 a2= ,又 a2+ =1,即 a= ,b=时,等号成立.故所求最大值为 .20.【证明】因为 a0,b0,所以(a+b) =5+ + 5+2
9、=9,所以 + .21.【解题指南】本题考查了绝对值函数和绝对值不等式的应用.【解析】设点 P 的坐标为(x,y),(1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,xR,y0,+).(2)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为 d)的最小值.当 y1 时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|. (*)当且仅当 x=3 时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x
10、-14|24. (*)当且仅当 x-10,14时,不等式(*)中的等号成立.所以 d1(x)24,当且仅当 x=3 时,等号成立,因为 d2(y)=2y+|y-20|21,当且仅当 y=1 时,等号成立.故点 P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为 45.当 0y1 时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以 d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21.由知,d 1(x)24,故 d1(x)+d2(y)45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立.综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.22.【解析】(1)因为 f(-2)=0,所以 4a+4=0,得 a=-1,所以 f(x)=-x2+4,F(x)=(2)因为|F(-x)|=|F(x)|,所以|F(x)|是偶函数,故可以先求 x0 的情况.当 x0 时,由|F(2)|=0,故当 02 时,解不等式 1x 2-42,得 x ;综合上述可知原不等式的解集为x| x 或 x 或- x- 或- x- .
