1、第三章3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 。3692sGB试求单位阶跃响应的 tr , tm ,% , t s的数值？解：题意分析这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出 参数，而后把 代入性能指标nn公式中求出 ， ， ， 和 的数值。rtm%stN)/(63秒弧 度n（ 弧 度 ）秒（ 弧 度72.041.1)/936.075292tgndn上升时间 t r 秒6.97.3drt峰值时间 tm秒.0.14d过度过程时间 ts%)2(89.675.0秒ns)5(03秒nst超调量 %8.21%16.0752 ee3-2 设单
2、位反馈系统的开环传递函数为)1()sGK试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。解：题意分析这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数( , )的对应关系，然后确定用哪一组n公式去求性能指标。根据题目给出条件可知闭环传递函数为1)(2sXYsGB与二阶系统传递函数标准形式 相比较可得 ，即22n12,nn=1, =0.5。由此可知，系统为欠阻尼状态。n故，单位阶跃响应的性能指标为秒秒秒 615.03%)5(8.42%.1063.12nssnmtet3-3 如图 1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量 =25%，峰值时
3、间%=0.5秒，试确定 K和 的值。mtX(s) Y(s)图 1解：题意分析这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K, 与 , 的n关系； , 与 , 的关系；通过 , 把 , 与 K, 联系起来。%mtnn%mt由系统结构图可得闭环传递函数为KssKsXYsGB )1()()1()( 2与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得22; nnnK或)1(sk由题目给定： %2510%2e即 5.21两边取自然对数可得386.1.0ln24.386.122依据给定的峰值时间：（秒）5.02nmt所以 （弧度/秒）8.61.2故可得4795.2nK0.13-4 已知系统的结构图如图 2所示，若
4、 时，试求：)(12)(ttx(1) 当 =0 时，系统的 tr , tm , ts的值。(2) 当 0 时，若使 =20%， 应为多大。 X(s) Y(s)图 2 解：题意分析这是一道二阶系统综合练习题。(1)练习输入信号不是单位阶跃信号时，求性能指标。关键是求出 , , 。(2)的求法与例 433 相似。 n(1) 由结构图可知闭环传递函数为502)(ssXYGB可得 )/7.50秒弧 度n)2(5.0s100 弧 度43.195.81;14.022tgn由于 输出的拉氏变换为sX)(22nY则拉氏反变换为%)2(71.30.145834.0971.312%640%0)95.817sin(
5、1.2)(22.495.02秒秒 秒 秒 nssnmnr dtttt eetetyn(2) 当 0 时，闭环传递函数 5).2()(ssXYsGB/07.5秒弧 度n5.0)1(.2nn 得由 %21%2e.021两边取自然对数 ， 可得610ln24.61.2故 73.85.)1046(2o%)2(93秒nst3-5(1) 什么叫时间响应答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。(2) 时间响应由哪几部份组成？各部份的定义是什么？答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过
6、渡过程。稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。(3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。(4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？答：延迟时间 ；上升时间 ；峰值时间 ；调节时间 ；最大超调量 . , ,dtrtmtst%dtr, 反映系统的快速性，即灵敏度， 反映系统的相对稳定性。mts %3-6设系统的特征方程式为0612634ss试判别系统的稳定性。解：特征方程符号相同，又不缺项，故满
7、足稳定的必要条件。列劳斯表判别。36)61(04510234ss同 乘同 乘由于第一列各数均为正数，故系统稳定。也可将特征方程式因式分解为0)(2(2s根 均有负实部，系统稳定。231,3,4,21 js3-7设系统的特征方程式为023ss解：列劳斯表210123ss将特征方程式因式分解为0)2(12根为 ,3, sjs系统等幅振荡，所以系统临界稳定。3-8 单位反馈系统的开环传递函数为)125.0)(1.()ssKGk试求 k的稳定范围。解：系统的闭环特征方程：035.02.)(2Kss列劳斯表Kss01232.51系统稳定的充分必要条件K00.35-0.025K0得 K14所以保证系统稳定
8、，K 的取值范围为 0K14。3-9(1) 系统的稳定性定义是什么？答：系统受到外界扰动作用后，其输出偏离平衡状态，当扰动消失后，经过足够长的时间，若系统又恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，反之系统不 稳定。(2) 系统稳定的充分和必要条件是什么？答：系统的全部特征根都具有负实部，或系统传递函数的全部极点均位于S平面的左半部。(3) 误差及稳态误差的定义是什么？答：输出端定义误差 e(t)：希望输出与实际输出之差。输入端定义误差 e(t)；输入与主反馈信号之差。稳态误差，误差函数 e(t)，当 t时的误差值称为稳态误差,即3-10已知单位反馈随动系统如图 3所示。若 ， 。试求：16KsT25
9、.0（1）典型二阶系统的特征参数 和 ；n（2）暂态特性指标 和 ； pM)5(0st（3）欲使 ，当 不变时， 应取何值。 016pTK)(sR )1(TsK)(sC图 3随动系统结构图解： 由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为 TKssTKs1/)(22与典型二阶系统的传递函数比较 22s()n得 KT21,已知 、 值，由上式可得KT5.021),/(825.016sradn 于是，可 %471%122 5.0eeMp)5(.825.03stns为使 ，由公式可求得 ，即应使 由 0.25增大到 0.5，此时16p .0425.04TK即 值应减小 4倍。3-11控制系统框图如图 4所
10、示。要求系统单位阶跃响应的超调量 ，且峰值时间%5.9pM。试确定 与 的值，并计算在此情况下系统上升时间 和调整时间 。stp5.01K rt)2(0st1K)(sR )(sCs)15.0(ss图 4 控制系统框图解：由图可得控制系统的闭环传递函数为： 1210)()(KssRC系统的特征方程为 。所以0)(12s102,nn由题设条件：，095.%12eMp stnp5.12可解得 ，进而求得84.7,6.0n.012,5.12nK在此情况下系统上升时间 radstnr 9273.01.5)(cos3.12 调整时间 8.04%)(nst3-12设系统的特征方程式分别为1 254324ss
11、 01234ss3 025试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：解题的关键是如何正确列出劳斯表，然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。1列劳斯表如下s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5s1 -6s0 5劳斯表中第一列系数中出现负数，所以系统不稳定；又由于第一列系数的符号改变两次，1-65，所以系统有两个根在 s平面的右半平面。2列劳斯表如下s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0() 1 s1 2-2/s0 1由于 是很小的正数， 行第一列元素就是一个绝对值很大的负数。整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半 s平面的根。3列劳斯表如下s5 1 3 2 s4 1 3
12、2s3 0 0 由上表可以看出，s3 行的各项全部为零。为了求出 s3各行的元素，将 s4行的各行组成辅助方程式为A(s)= s4+3s2+2s0将辅助方程式 A(s)对 s求导数得sdA64)(3用上式中的各项系数作为 s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 4 6 s2 3/2 2s1 2/3 s0 2从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在 s右半平面。但由于辅助方程式 A(s)= s4+3s2+2=（s2+1） （s2+2）=0 可解得系统有两对共轭虚根s1,2=j，s3,4=j2，因而系统处于临界稳定状态。3-1
13、3已知系统结构图如图 5所示，试确定使系统稳定的 值范围。K解： 解题的关键是由系统结构图正确求出系统的特征方程式，然后再用劳斯稳定判据确定使系统稳定的值范围。图 5控制系统结构图 闭环系统的传递函数为 Kss23)(其闭环特征方程式为 s3 + 3s2 + 2s+ =0 K列劳斯表为： s3 1 2 )(sR )(sC)2)(1(ssKs2 3 Ks1 (6- )/3 s0 为使系统稳定，必须使劳斯表中第一列系数全大于零，即 和 ，因此， 的0K6K取值范围为 ，并且系统临界稳定放大系数为 =6。60l3-14 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。（1） （2）)15.0)(1.()ss
14、G )5.0()(10)(2assG试求：1静态位置误差系数 、静态速度误差系数 和静态加速度误差系数 ；pKvKaK2求当输入信号为 时的系统的稳态误差。24)(1ttr解：（1）首先判断系统的稳定性。系统的闭环传递函数为 201)(1)(23ssGs其闭环特征方程为 。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为型，0223s可以求得静态误差为：)15.)(1.(lim)(li00 ssKsp)5.)(1.(lim)(li00 sssGKsv 0).)(.(li)(li2020 ssssa所以给定输入信号的稳态误差计算如下： avpsKe241(2) 判断系统稳定性。系统的闭环传递函数为 5106)
15、.()(1)( 234sssGs其闭环特征方程为 。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为056234s型，可以求得静态误差为：)5(1.lim)(li200ssKp)5(1.0lim)(li200 sssGKv 1)(.li)(li2020 sssa所以给定输入信号的稳态误差计算如下： 41avpsKe注意：该例中若取 ，则由劳斯判据可知系统是不稳定的。因此不能定义静态误差系2数，也谈不上求稳态误差。第四章4-1单位反馈系统的开环传递函数为(1)()23KsGs试绘制闭环系统的概略根轨迹。解：按下述步骤绘制概略根轨迹（1） 系统开环有限零点为 ，开环有限极点为 。1z1230,pp（2） 实轴上
16、的根轨迹区间为 。3,2,0（3） 根轨迹的渐近线条数为 ，渐近线的倾角为 ，渐近线与nm129,0实轴的交点为 12iiPzn（4） 确定分离点。分离点方程为 ，用试探法求得 。13dd2.47d闭环系统概略根轨迹如下图 1图 14-2设某负反馈系统的开环传递函数为 ，试绘制该系统的根轨2(1)()0.KsGsH迹图。解：渐近线与实轴的交点 104.52渐近线与实轴正方向的夹角为 。分离点与汇合点：由22(10)(130)dss得 2130s所以， 。根轨迹如下图 2,2.54或图 24-3以知系统开环传递函数 试绘制闭环系统的根轨迹。()(4)0)KGsHss解：（1）系统无开环有限零点，
17、开环极点有四个，分别为 0，-4， 24j（2）实轴上的根轨迹区间为 。4,0（3）渐近线有四条 。2513,25aa（4）根轨迹的起始角。复数开环极点 34,490,pppj处（5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程 102djdj解得 ， 皆为根轨迹的分离点。12,36dj时 ， K=1012d， ，（6） 系统闭环特征方程为 43()860DssK列写劳斯表，可以求出当 K=260 时，劳斯表出现全零行，辅助方程为。解得根轨迹与虚轴的交点 。如下图 32()60As1图 34-4单位反馈控制系统的开环传递函数为 ，k 的变换范围为 ，试(1)2KsGs0绘制系统根轨迹。解：分析知道，应绘制
18、零度根轨迹。按照零度根轨迹的基本法则确定根轨迹的参数：（1）系统开环有限零点为 1，开环有限极点为 0，-2。（2）实轴上的根轨迹区间为 。2,1（3）渐近线有一条 0a（4）确定根轨迹的分离点，由分离点的方程，解得22()(1) 0dKssGs12.73,0.d（5） 确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为 。当()DSsKsk=-2 时，闭环特征方程的根为 。如下图 4：1,2sj图 44-5以知单位反馈系统的开环传递函数为 ，a 的变化范围为 ，试21()sG0,绘制系统的闭环根轨迹。解：系统闭环特征方程为 321()04DSss即有 。等效开环传递函数为 ， ，变化范32140as
19、s132()14KGssa围为 。0,（1） 等效系统无开环有限零点，开环极点为 1230,p（2） 实轴上的根轨迹区间为 (,0（3） 根轨迹有三条渐近线 6,83aa（4） 根轨迹的分离点方程 ，解得 。241()()0KsdGs121,6d（5） 确定根轨迹与虚轴的交点。由劳斯表，可以求出当 a=1 时，劳斯表出现全零行，辅助方程为 。解得 。如下图 521()04As1,2sj图 54-6. 设单位反馈控制系统开环传递函数 ，试概略绘出系统根)15.0)(2.()ssKG轨迹图（要求确定分离点坐标 ） 。d解 )(510)5.0)(12.() sssKG系统有三个开环极点： , ,p2
20、3p 实轴上的根轨迹：, 502 渐近线： ,3)1(75ka 分离点： 0251d解之得： ， (舍去) 。8.01d7863. 与虚轴的交点：特征方程为 01723kssD令 01)(ImRe32jDk解得 710k与虚轴的交点（0， ） 。 根轨迹如图 6 所示。j10图 64-7设系统开环传递函数 )(420)(bssG试作出 从 变化时的根轨迹。b0解：做等效开环传递函数G (s)204)(2sb 实轴上的根轨迹： , 分离点： 411djjd解得： (舍去)，472.01472.82如图解 414 所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。图 7 根轨迹图
