1、第十二章 第二节 证明不等式的基本方法1若 0，下列四个结论不正确的是 ( )1a 1bA|a|b| Babab C. 2 ba abD. 2aba2b解析： 0，1a 1bba0，易证 B、C、D、均正确，A 错误答案：A2有以下四个不等式，其中不恒成立的是 ( )A(x1)(x3)(x2) 2Babb 2a 2C. 01|a| 1Da 2b 22|ab|解析：(x1)(x 3)(x2) 2x 24x3x 24x410，(x1)( x3)(x2) 2，故 A 错误abb 2a 2(a 2abb 2)(a b)2 b2(a b)2 b2012 34 12 34abb 2a 2，故 B 正确易证
2、 C、D 恒成立答案： A 3已知 1ab4，1ab2，则 4a2b 的取值范围是_解析：设 uab， vab，得 a ，b ，u v2 u v24a2b2u2v u vu3v.1u4，1v2，33v6.则2u3v10，即24a2b10.法二：令 4a2bx(ab)y(ab)，4a2b(xy)a(xy )b.Error! Error!Error!24a2b10.答案：2,104设 x0，y0，A ，B ，则 A、B 的大小关系是_x y1 x y x1 x y1 y解析：A B .x1 x y y1 x y x1 x y1 y答案：AB5设 a2 ，b 2，c52 ，则 a，b，c 之间的大小
3、关系是_5 5 5解析：c ( 2)5 5 bb0，5又a0，abc.答案：abc6设 ab0，求证： .a2 b2a2 b2 a ba b证明：法一：ab0，左边右边(a b)(a b)2 (a2 b2)(a2 b2)(a b) 0，2ab(a b)(a2 b2)(a b)故原不等式成立法二： a2 b2a2 b2a ba b a2 b2a2 b2 a ba b (a b)2a2 b21 1，2aba2 b2且由 ab0，知 0，a ba b .a2 b2a2 b2 a ba b7已知 a、b(0，)，且 ab1，求证：(1) 8；1a 1b 1ab(2)a2b 2 ；12(3) 8；1a2
4、 1b2(4)(a )2(b )2 ；1a 1b 252(5)(a )(b ) .1a 1b 254证明：由Error!得 ab 4.ab12 14 1ab(1) (ab)( )1a 1b 1ab 1a 1b 1ab2 2 4448，ab1ab当且仅当 ab 时，取“ ”号12 8.1a 1b 1ab(2)a 2b 2(ab) 22ab12ab12 ，14 12a 2b 2 .12(3) 8，1a2 1b2 2ab当且仅当 ab 时，取“ ”号12 8.1a2 1b2(4)由(2)、(3)的 结论，知(a )2(b )2a 2b 24 1a 1b 1a2 1b2 48 ，12 252(a )2
5、(b )2 .1a 1b 252(5)(a )(b ) ab1a 1b ba ab 1ab ( )22ba ab 1ab ab2(2 )22 ，12 254(a )(b ) .1a 1b 2548已知 a0，b0，c0，且 a、b、c 不全相等，求证： abc .bca acb abc证明：法一：要证明 abc ，bca acb abc只要证 abc.(bc)2 (ac)2 (ab)2abca、b、c0，只要证(bc) 2(ac )2(ab) 2abc(abc)由基本不等式知(bc) 2(ac )22abc 2，(ac)2(ab) 22 a2bc，(bc)2(ab) 22ab 2c，a，b，c
6、 不全相等，上面各式等号至少有一个不成立，三式相加，得 2(bc)2( ac)2(ab) 22abc 22a 2bc2ab 2c2abc(abc)即(bc) 2(ac) 2(ab) 2abc (abc)成立 abc 成立bca acb abc法二：a0，b0，c0，且不全相等， 2 2c，bca acb bcaacb同理， 2a， 2b，acb abc abc bca上述三个等号至少有一个不成立，三式相加得：2( ) 2(abc )，bca acb abc即 abc .bca acb abc9已知 a0，b0，c0，abc.求证： .a1 a b1 b c1 c证明：法一：(放缩法)a0，b0
7、，c0，abc， a1 a b1 b a1 a b b1 a b .a b1 a b c (a b c)1 c (a b c) c1 c .a1 a b1 b c1 c法二：(构造函数法)令 f(x) ，x(0，)x1 x可知 f(x) 在(0，)上 为单调增函数 x1 xabc0，f (ab)f(c)即 .a b1 a b c1 c又 ，a1 a b1 b a1 a b b1 a b a b1 a b .a1 a b1 b c1 c10.若 a，b，c 均为实数，且 ax 22y ，by 22z ，cz 22x .2 3 6求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a0，b0，c0.ax 22y ，by 22z ，cz 22x ，2 3 6x 22y y 22z z 22x2 3 6(x1) 2(y1) 2( z1) 2( 3)0， 又(x1) 2(y1) 2( z1) 20， 30，(x1) 2(y1) 2( z1) 2( 3)0. 式与式矛盾，所以假设不成立，即 a，b，c 中至少有一个大于 0.
