1、第 2 讲 不等式的证明最新考纲了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式知 识 梳 理1基本不等式定理 1：设 a，bR，则 a2b 22ab.当且仅当 a b 时，等号成立定理 2：如果 a、b 为正数，则 ，当且仅当 ab 时，等号成立a b2 ab定理 3：如果 a、b、c 为正数，则 ，当且仅当 abc 时，等号a b c3 3abc成立定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1、a 2、a n为 n 个正数，则 ，当且仅当 a1a 2a n时，等号成立a1 a2 ann na1a2an2柯西不等式(1)设 a，b， c，
2、d 均为实数，则(a 2b 2)(c2d 2)(ac bd) 2，当且仅当 adbc 时等号成立(2)若 ai，b i(iN *)为实数，则( )( )( ibi)2，当且仅当ni 1a2ini 1b2ini 1a (当 ai0 时，约定 bi0，i1,2，n)时等号成立b1a1 b2a2 bnan(3)柯西不等式的向量形式：设 ， 为平面上的两个向量，则 |，当且仅当 ， 共线时等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等诊 断 自 测1已知 a、b、m 均为正数，且 ab，M ，N ，则 M、N 的大小关系ab a mb m是_解析 M N 0，
3、即 MN.ab a mb m ma bbb m答案 M N2设 a ，b ，c ，则 a， b，c 的大小关系为3 2 6 5 7 6_解析 分子有理化得 a ，b ，c ，13 2 16 5 17 6abc.答案 abc3若 0ab1，则 ab,2 ，a 2b 2,2ab 中最大的一个是_ab解析 ab2 ，a 2b 22ab.ab又(a 2 b2)(ab)a(a 1)b(b1)，0a1,0b1.a(a 1)b (b1)0.a 2b 2ab.答案 ab4已知 x，yR，且 xy1，则 的最小值为 _(1 1x)(1 1y)解析 24.(1 1x)(1 1y) (1 1xy)答案 45若 a，
4、b，c (0， )，且 abc1，则 的最大值为a b c_解析 ( )2(1 1 1 )2 (121 21 2)(abc)3.a b c a b c当且仅当 abc 时，等号成立13( )23.故 的最大值为 .a b c a b c 3答案 3考点一 分析法证明不等式【例 1】 设 a，b，c 0，且 abbc ca1.求证：(1)a bc .3(2) ( )abc bac cab 3 a b c证明 (1)要证 abc ，3由于 a，b，c 0，因此只需证明 (abc )23.即证：a 2b 2c 22(ab bcca)3，而 abbcca1，故需证明：a 2b 2c 22( abbc
5、ca)3(abbcca )即证：a 2b 2c 2abbcca.而这可以由 abbc ca a 2b 2c 2(当且仅当a2 b22 b2 c22 c2 a22abc 时等号成立 )证得原不等式成立(2) .abc bac cab a b cabc由于(1)中已证 abc .3因此要证原不等式成立，只需证明 .1abc a b c即证 a b c 1，bc ac ab即证 a b c abbcca.bc ac ab而 a ，bc abacab ac2b ，c .acab bc2 ab bc ac2a b c abbccabc ac ab.(a b c 33时 等 号 成 立 )原不等式成立规律
6、方法 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆【训练 1】 已知 a、b、c 均为正实数，且 abc 1，求证：(1a)(1b)(1 c)8(1 a)(1 b)(1c)证明 a、b、c R ，且 abc 1，要证原不等式成立，即证(ab c)a(abc) b(abc)c 8(abc) a(abc) b(abc)c ，也就是证(a b)(ca)( ab) (bc)(ca)(bc)8(bc)(c a)(ab)(ca) (a b) 2 0，c a
7、a b(ab)(bc )2 0.a bb c(bc)(ca)2 0，b cc a三式相乘得式成立，故原不等式得证考点二 用综合法证明不等式【例 2】 已知 a0，b0，ab1，求证：(1) 8；1a 1b 1ab(2) 9.(1 1a)(1 1b)证明 (1)a b1，a0，b0， 21a 1b 1ab 1a 1b a bab (1a 1b)2 2 44 48.(a ba a bb ) (ba ab) baab 8.1a 1b 1ab(2) 1，(1 1a)(1 1b) 1a 1b 1ab由(1)知 8.1a 1b 1ab 9.(1 1a)(1 1b)规律方法 利用综合法证明不等式，关键是利用
8、好已知条件和已经证明过的重要不等式【训练 2】 已知 a，b，cR ，且互不相等，且 abc1，求证： .a b c1a 1b 1c证明 法一 a，b，c R ，且互不相等，且 abc1， .a b c1bc 1ca 1ab 1b 1c2 1c 1a2 1a 1b2 1a 1b 1c .a b c1a 1b 1c法二 2 2 ；1a 1b 1ab c 2 2 ；1b 1c 1bc a 2 2 .1c 1a 1ac b以上三式相加，得 .1a 1b 1c a b c又a，b，c 互不相等， .1a 1b 1c a b c法三 a，b，c 是不等正数，且 abc1， bc ca ab 1a 1b
9、1c bc ca2 ca ab2 ab bc2 abc2 a2bc ab2c .a b c .a b c1a 1b 1c考点三 利用柯西不等式求最值【例 3】 (1)(2013湖北卷)设 x，y，zR，且满足：x 2y 2z 21，x2y 3z ，则 xyz_.14(2)已知 x、y、z R ，且 xyz1，则： 的最小值为_1x 4y 9z解析 (1)由柯西不等式，得(x2 y2z 2)(122 23 2)(x2y 3z) 2，(x2y3z) 214，则 x2y3z ，14又 x2y3z ，14x ，因此 x ，y2 z3 1414y ，z ，147 31414于是 xyz .3147(2)
10、法一 利用柯西不等式由于(xyz) (1x 4y 9z)2 36.(x1x y2y z3z)所以 36.1x 4y 9z当且仅当 x2 y2 z2，即 x ，y ，z 时，等号成立14 19 16 13 12法二 (xy z) (xyz) (xyz) 14 1x 4y 9z 1x 4y 9z (yx 4xy) (zx 9xz)14461236.(4zy 9yz)当且仅当 y 2x，z3x ，即 x ，y ，z 时，等号成立16 13 12答案 (1) (2)363147规律方法 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构
11、，从而应用柯西不等式【训练 3】 (2013湖南卷)已知 a，b，c R，a2b3c6，则 a24b 29c 2 的最小值为_解析 法一 (x y z) 2x 2y 2z 22xy2yz2zx3(x 2y 2z 2)，a 24b 29c 2 (a2b 3c )2 12.13 363a 24b 29c 2 的最小值为 12.法二 由柯西不等式，得(a 24b 29c 2)(121 21 2)(a12b13c1) 236，故 a24b 29c 212，从而 a24b 29c 2 的最小值为 12.答案 12利用算术几何平均不等式求最值【典例】 已知 a，b，c 均为正数，证明： a2b 2c 2
12、2(1a 1b 1c)6 ，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立3审题视点 (1)a2b 2c 2， 分别用算术几何平均不等式；(2)相加后1a 1b 1c又构成用算术几何平均不等式的条件解 因为 a，b，c 均为正数，由算术 几何平均不等式得a2b 2c 2 3(abc) 23 3( abc) ，1a 1b 1c 13所以 29(abc ) .(1a 1b 1c) 23故 a2b 2c 2 23(abc) 9(abc ) .(1a 1b 1c) 23 23又 3(abc) 9(abc) 2 6 ，23 23 27 3所以原不等式成立当且仅当 abc 时， 式和式等号成立当且仅当 3(abc
13、) 9(abc) 时，式等号成立23 23即当且仅当 abc 3 时，原式等号成立14反思感悟 (1)利用算术 几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的 a，b，c 的值时计算出错【自主体验】设 a，b，c 为正实数，求证： abc2 .1a3 1b3 1c3 3证明 因为 a，b，c 是正实数，由算术 几何平均不等式可得 31a3 1b3 1c3，31a31b31c3即 .1a3 1b3 1c3 3abc所以 abc a
14、bc.1a3 1b3 1c3 3abc而 abc2 2 ，3abc 3abcabc 3当且仅当 abc 且 abc 时，取等号3所以 abc 2 .1a3 1b3 1c3 3一、填空题1(2013江苏卷改编 )已知 ab0，M 2a 3b 3，N2ab 2a 2b，则 M、N 的大小关系为_解析 2a 3b 3(2ab 2a 2b)2a(a 2b 2)b(a 2b 2)(a 2 b2)(2ab)(ab )(ab)(2ab)因为 ab0，所以 ab0，ab0,2ab0，从而(a b)(ab)(2 ab) 0，故 2a3b 32ab 2a 2b.答案 M N2已知 xy1，那么 2x23y 2 的
15、最小值是_ 解析 由柯西不等式(2x 2 3y2)(12)2 (13)2 2( xy) 21，(2x12 3y13)2x 23y 2 ，当且仅当 2x3y，即 x ，y 时，等号成立65 35 25答案 653若直线 3x4y 2，则 x2y 2 的最小值为_ ，最小值点为_解析 由柯西不等式(x 2 y2)(324 2)(3x 4y) 2，得 25(x2y 2)4，所以 x2y 2 .425当且仅当 时等号成立，为求最小值点，x3 y4需解方程组Error!Error!因此，当 x ，y 时， x2y 2 取得最小值，最小值为 ，最小值点为625 825 425.(625，825)答案 425 (625，825)4若 a，b 均为正实数，且 ab，M ，N ，则 M、N 的大小ab ba a b关系为_解析 ab， 2 ， 2 ，ab b a ba a b 2 2 ，ab b ba a a b .即 MN.ab ba a b答案 M N5设 a、b、c 是正实数，且 abc 9，则 的最小值为_2a 2b 2c解析 (abc )(2a 2b 2c)
