1、第 2章 数 列(A)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分)1 an是首项为 1，公差为 3的等差数列，如果 an2 011，则序号 n等于_2已知等差数列 an中， a7 a916， a41，则 a12_.3等比数列 an中， a29， a5243，则 an的前 4项和为_4等差数列 an中， a1 a2 a324， a18 a19 a2078，则此数列前 20项和等于_5已知在等差数列 an中，首项为 23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为_6等比数列 an中， a2， a6是方程 x234 x640 的两根，则 a4_.
2、7若 an是等比数列，其公比是 q，且 a5， a4， a6成等差数列，则 q_.8设等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 S10 S512，则 S15 S5_.9在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第 1列 第 2列 第 3列 第 1行 1 2 3 第 2行 2 4 6 第 3行 3 6 9 那么位于表中的第 n行第 n1 列的数是_10 “嫦娥奔月，举国欢庆” ，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是_秒11已知等
3、差数列 an的公差 d0 且 a1， a3， a9成等比数列，则_.a1 a3 a9a2 a4 a1012已知 an为等差数列， a1 a3 a5105， a2 a4 a699，以 Sn表示 an的前 n项和，则使得 Sn取到最大值的 n是_13已知数列 1，则 是数列中的第_项122113223114233241 5614等比数列 an的公比为 q，其前 n项的积为 Tn，并且满足条件a11， a99a10010， 1成立的最大自然数 n等于 198.其中正确的结论是_(填写所有正确的序号)二、解答题(本大题共 6小题，共 90分)15(14 分)已知 an为等差数列，且 a36， a60.
4、(1)求 an的通项公式；(2)若等比数列 bn满足 b18， b2 a1 a2 a3，求 bn的前 n项和公式16(14 分)已知等差数列 an中， a3a716， a4 a60，求 an的前 n项和 Sn.17(14 分)已知数列log 2(an1) ( nN *)为等差数列，且 a13， a39.(1)求数列 an的通项公式；(2)证明： 0， a60， a4 a2q20， a48.71 或 2解析 依题意有 2a4 a6 a5，即 2a4 a4q2 a4q，而 a40， q2 q20，( q2)( q1)0. q1 或 q2.834解析 显然等比数列 an的公比 q1，则由 1 q5
5、q5 ，S10S5 1 q101 q5 12 12故 .S15S5 1 q151 q5 1 q5 31 q51 ( 12)31 ( 12) 349 n2 n解析 由题中数表知：第 n行中的项分别为 n,2n,3n，组成一等差数列，所以第n行第 n1 列的数是： n2 n.1015解析 设每一秒钟通过的路程依次为 a1， a2， a3， an，则数列 an是首项 a12，公差 d2 的等差数列，由求和公式得 na1 240，即 2n n(n1)n n 1 d2240，解得 n15.11.1316解析 因为 a a1a9，所以( a12 d)2 a1(a18 d)所以 a1 d.23所以 .a1
6、a3 a9a2 a4 a10 3a1 10d3a1 13d 13161220解析 ( a2 a1)( a4 a3)( a6 a5)3 d，991053 d. d2.又 a1 a3 a53 a16 d105， a139. Sn na1 d n240 n( n20) 2400.n n 12当 n20 时， Sn有最大值1350解析 将数列分为第 1组一个，第 2组二个，第 n组 n个，即 ， ， ， ，(11) (12， 21) (13， 22， 31) (1n， 2n 1， ， n1)则第 n组中每个数分子分母的和为 n1，则 为第 10组中的第 5个，其项数为56(1239)550.14解析
7、中，Error!Error! q (0,1)，正确a100a99中，Error! a99a1011，T199 a1a2a198a199( a1a199)(a99a101)a100 a1991001，正确15解 (1)设等差数列 an的公差为 d.因为 a36， a60，所以Error!解得 a110， d2.所以 an10( n1)22 n12.(2)设等比数列 bn的公比为 q.因为 b2 a1 a2 a324， b18，所以8 q24， q3.所以数列 bn的前 n项和公式为Sn 4(13 n)b1 1 qn1 q16解 设 an的公差为 d，则Error!即Error!解得Error!
8、或Error!因此 Sn8 n n(n1) n(n9)，或 Sn8 n n(n1) n(n9)17(1)解 设等差数列log 2(an1)的公差为 d.由 a13， a39，得 log2(91)log 2(31)2 d，则 d1.所以 log2(an1)1( n1)1 n，即 an2 n1.(2)证明 因为 ，1an 1 an 12n 1 2n 12n所以 1 1.1a2 a1 1a3 a2 1an 1 an 121 122 123 12n12 12n121 12 12n18(1)证明 由已知 an1 2 an2 n，得 bn1 1 bn1.an 12n 2an 2n2n an2n 1 bn1
9、 bn1，又 b1 a11. bn是首项为 1，公差为 1的等差数列(2)解 由(1)知， bn n， bn n. an n2n1 .an2n 1 Sn122 132 2 n2n1两边乘以 2得：2 Sn12 122 2( n1)2 n1 n2n，两式相减得： Sn12 12 22 n1 n2n2 n1 n2n(1 n)2n1， Sn( n1)2 n1.19(1)解 由已知Error!( n2)，得 an1 an(n2)32数列 an是以 a2为首项，以 为公比的等比数列32又 a2 S1 a1 ， an a2( )n2 (n2)12 12 12 32 anError!(2)证明 bnlog
10、(3an1 )log ( )n1 n.32 3232 32 .1bnbn 1 1n 1 n 1n 11 n Tn 1b1b2 1b2b3 1b3b4 1bnbn 1( )( )( )( )11 12 12 13 13 14 1n 11 n1 .11 n n1 n20解 (1)对任意 nN *，有 Sn (an1)( an2)，16当 n1 时，有 S1 a1 (a11)( a12)，16解得 a11 或 2.当 n2 时，有 Sn1 (an1 1)( an1 2)16并整理得( an an1 )(an an1 3)0.而数列 an的各项均为正数， an an1 3.当 a11 时， an13( n1)3 n2，此时 a a2a9成立；24当 a12 时， an23( n1)3 n1，此时 a a2a9不成立，舍去24 an3 n2， nN *.(2)T2n b1 b2 b2n a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n1 a2(a1 a3) a4(a3 a5) a2n(a2n1 a2n1 )6 a26 a46 a2n6( a2 a4 a2n)6 18 n26 n.n 4 6n 22
