1、章末整合,第2章 数列,知识结构图,章末整合,章末整合,数列中的选择题和填空题侧重于性质解题，解答题侧重于基本量解题，在数列的五个基本量中知三可以求二. 数列通项公式的求法和前n 项和的求法的关键是：掌握基本题型的结构特征和解题方法.,解题规律总结,典例突破,例1. 已知数列 中， 1 =1， 2 =2， 是数列 的前项和，且 2 =(3 1 + )， . （）求的值； （）求数列 的通项公式； （）若 = 2， =1 8 +1 +2 ，2 ， 是数列 的前项和，求 .,（一）求数列的通项公式,【解析】 （）当=1时，由 2 =(3 1 + )得 2 1 =3 1 + 1 ，即 1 =0 =0
2、,（）由（）得 2 = 2 +1 = +1 +1 由 得 2 +1 = +1 +1 ， 整理得 1 +1 = ,（一）求数列的通项公式,典例突破, 当 时， + = ， = = =() 显然该式也适合 = =() ( ),（一）求数列的通项公式,典例突破,典例突破,变式. 已知二次函数 = +()，其导函数为 ()=()，数列 的前项和为 ， 点 (， )( )均在函数= 的图像上； （）求数列 的通项公式； （）若 = + ， + + + = ，求数列 的通项公式；,（一）求数列的通项公式,典例突破,【解析】（） = +() =+=，解得=，= = 又 点 (， )均在函数= 的图像上 =
3、当=时， = =； 当时， = = 数列 的通项公式为 =,（一）求数列的通项公式,典例突破,（）由（）得， = + =， + + + = 当=时， = . 当时， + + + + = 当时， + + + = ,（一）求数列的通项公式,典例突破,（一）求数列的通项公式,由 得 = = ，显然此式不满足 = 数列 的通项公式 = ， = ， .,典例突破,例2. 已知数列 的前项和是 ，且 = ( ) （）证明：数列 + 是等比数列，并求数列的 通项公式；（）记 = + + ，求数列 的前项和 .,（二）求数列的前 n 项和,典例突破,解：（） = 当=时，得 = ，解得 =. 当时，有 + =
4、 + + 由 得 + = +，即 + + + =( ) 又 += 数列 + 是以 为首项和公比的等比数列 += = ， 数列 的通项公式为 = ,（二）求数列的前 n 项和,典例突破,（）由（）得， = + + = ( ) ( + ) = + = + + + = + + + = + ,（二）求数列的前 n 项和,典例突破,变式2. 已知数列 的公差大于，且 ， 是方程 +=的两根，数列 的前项 的各为 ，且 = ， = ( ) （）求数列 ， 的通项公式； （）求证： + ； （）求数列 的前项和 .,（二）求数列的前 n 项和,典例突破,解（） ， 是方程 +=的两根，且 的公差大于 =，
5、=，公差= = = + =又 当= 时，有 = = ，解得 = . 当 时，有 = = ( )，得 = () 数列 是首项 = ，公比= 的等比数列 = ,（二）求数列的前 n 项和,典例突破,（）由（1）知 = = ， + = + + + = + + = () + + ,（）由上知 = + + + = + + + + ,（二）求数列的前 n 项和,典例突破,（二）求数列的前 n 项和,由 得 = + + + + = + + = (+) + = + ,典例突破,例3. 设数列 的前项和为 ， =，且对任意正整数， 点( + ， )在直线+=. （）求数列 的通项公式； （）是否存在实数，使得数
6、列 + 为等差数 列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.,（三）存在性问题,典例突破,解：(1) 由题意可得，当 时， + + = 当 时， + = 由 得 + + =，即 + = () =， + =，解得 = 是首项为，公比为 的等比数列 = ,（三）存在性问题,典例突破,（2）解法一） = = 若 + 为等差数列，则 + ， + + ， + 必成等差数列 + = + + + ，即 + =+ + + ，解得=,（三）存在性问题,典例突破,（四）三角形中的最值问题,又 当= 时， + =+，显然+成等 差数列， 存在实数=，使得数列程等差数 + 列；,典例突破,（四）三角形中的最值问题,
7、解法二） = = + = + =+ 欲使 + 成等差数列，只需=，即=便可故存在实数=，使得数列 + 成等差数列.,典例突破,（四）三角形中的最值问题,变式3. 在数列 中，已知 =， + = +， . （1）是否存在常数，使数列 + 成等比 数列，若存在，求出，的值；若不存在，请说 明理由； （2）求数列 的通项公式及前n项和 .,典例突破,（四）三角形中的最值问题,解:(1) 设存在常数 ，使数列 + 成等比数列， 则必有 + + + +=( +)， 整理得 + = +， 对比 + = +得 = = ，即 = = ， + + =( ) 存在常数=，=，使得 + 成等比 数列.,典例突破,（四）三角形中的最值问题,（2）由（1）知 是公比为3的等比数列，且首项为 = = = + = + + = ( ) + (+) = + + + ,
