1、学习任务五 无穷小与无穷大,了解无穷小概念对于学习函数的微分有帮助. 实际上, 无穷小与无穷大是与函数极限有关的内容. 了解无穷小与无穷大的概念和有关结论.,1. 无穷小的概念 定义(无穷小) 若在自变量x的某变化过程中(x 或x x0), 函数f(x)的极限为0, 则称f(x)在自变量的这个变化过程中是无穷小.注意1 无穷小与自变量的变化过程密切相关(见下例). 注意2 除0外, 无穷小都是一个(因)变量. 即使是一个很小的数10-8也不是无穷小.,所以x3、sinx和 在x 0时是无穷小.由于 , 所以 在x 时是无穷小. 由于 所以 在x 2时不是无穷小.,对于无穷小，需要熟练运用下述结
2、论：有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 例(利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小求极限) 求下列极限. (1)(2)(3),Solution (1)(2)(3),2. 无穷大的概念 定义(无穷大) 若在自变量x的某变化过程中(x 或x x0), 函数f(x)的绝对值无限增大, 则称f(x)在自变量的这个变化过程中是无穷大,记为.注意1 无穷大与自变量的变化过程密切相关. 注意2 无穷大都是一个(因)变量. 即使是一个很大的数108也不是无穷大.,由于当x 0时, 的绝对值会无限增大,所以在自变量x 0的这个变化过程时是无穷大.由于在x 时2x2 + 1的绝对值会无限增大, 所以在x 时2x2 +
3、1是无穷大. 由于 所以在x 1时2x2 + 1不是无穷大.,无穷小与无穷大之间的下列关系，对于计算一些极限是很用的，需要熟练运用. 若f(x)是无穷大，则 是无穷小. 若f(x)是无穷小且f(x) 0，则 是无穷大. 例(利用无穷小与无穷大的关系求极限) 求下列极限. (1)(2),Solution (1)令(2)令,学习任务六 两个重要极限,下面讨论的两个重要极限，在极限的计算中经常用到. 记住并能熟练运用即可.,第一个重要极限极限的主要特点是分子、分母的极限均为0. 正因为如此, 不能使用两个函数相除取极限的运算法则, 很显然也没有其他方法将分母的x约去. 使用比较特殊的方法才能证明. 显然, .注意 由于 ,因此要特别留意自变量的变化过程.,例(利用 ) 求下列极限.(1)(2)(3)(4),Solution (1) k = 0:k 0: (2),(3) (4),第二个重要极限 极限的主要特点是底数极限是1, 而指数极限是. 不能想当然地认为1 = 1. 同样, 要使用比较特殊的方法才能证明. 另外, 若令 , 则也就是说, 还要求大家最好记住其变形形式.,例(利用 ) 求下列极限.(1)(2)(3)(4),Solution (1)(2),(3)(4),例 已知 ,求a的值. Solution 注意到a 0, 否则由于,
