1、1玉 溪 师 范 学 院 教育超市中的数学问题课题研究理学院数学系 09 级二班 第 4 小组 二 O 一一年十二月组长：罗佳伟小组成员：刘琴 侯贵英 胡玉兰 李坤2目录一、合作学习记录表二、教育超市中的数学问题的研究方案三、数列求和复习教学设计四、小论文(1) 教育超市中的食物盒(2) 教育学超市中的数学问题(3) 学校教育超市中的数学(4) 论教育超市中的椭圆问题(5) 超市中的数列问题3合作学习记录表班级 09 数学 2 班 活动主题 教育超市中的数学问题活动时间 2011.12.219 小组长 罗佳伟 记人录 罗佳伟合作态度评分 学号 姓名 组员完成任务记录组长评分 组员评分20080
2、11221 罗佳伟 组织分配工作、小组活动记录、参与小组讨论、小组工作总结、汇总92 922008011241 侯贵英 参与小组讨论、参与讨论研究方案、参与小组工作总结90 902008011262 刘琴 合作学习记录、参与讨论研究方案、参与小组工作总结90 902008011210 李坤 参与小组讨论、参与讨论研究方案、参与小组工作总结90 902008011252 胡玉兰 参与小组讨论、教案的编写、参与小组工作总结90 90合作学习自我评价（组员的合作态度，对问题讨论的积极性，任务完成情况，存在问题）：我们小组研究的是玉溪师院教育超市中存在的数学问题，通过实地考察，然后确定研究方向。在合作
3、期间，小组的每一位成员都积极参与讨论，做好自己所分配到任务。经过我们小组全体成员的共同努力，我们按时完成了此项调查。但期间还是存在着一些问题，可能都是第一次接触到这样的实践活动，难免会有生疏不懂的地方，但是我4们都努力去学，努力去做，尽我们的最大努力把它做到最好。 注：“合作态度评分”由全体组员参与评分，其中：组长评分占 50%，其它组员评分占 50%。小组成员活动记录2011 年 12 月 19 日，我们小组进行了第一次讨论，讨论我们调查的具体时间、调查的具体内容及各成员的具体分工，以确保每个成员都积极参与。2011 年 12 月 20 日，早，我们带着不同于以往的心情与目标进入了教育超市，
4、根据以往的了解及此时的探寻，确定出超市哪些是与我们所学的数学有着密切的关系。2011 年 12 月 20 日，下午，我们再一次走进教育超市，这次我们的目的主要是收集所需要的照片，并且要怎样运用我们所学过的知识来表述它，然后确定小组的研究方向。2010.年 12 月 24 日，我们小组的最后一次会议，主要是组长进行对各个小组成员的材料进行整理，汇总，完成我们小组的工作。小组长签名：罗佳伟52010 年 12 月 24 日超市中的数学问题的研究方案一、课题背景在学校的教育超市，学 生 可 以 在 最 短 的 时 间 内 以 最 快 的 速 度 购 齐所 有 需 要 的 商 品 ， 正 是 这 种
5、快 捷 便 利 的 购 物 方 式 吸 引 了 学 生 和 老师 们 光 临 超 市 ， 在 生 活 中 ， 使 得 学 生 和 老 师 有 共 同 的 经 验 范 围（ 在 超 市 中 的 购 物 中 的 所 见 所 闻 ） 。 通 过 本 次 调 查 ， 让 我 们 进 一步 发 现 、 了 解 数 学 就 在 我 们 身 边 。二、课题研究的目的和意义本 次 调 查 是 为 了 引 导 我 们 用 数 学 思 维 去 观 察 了 解 我 们 身 边 的数 学 问 题 ， 认 识 数 学 在 实 践 生 活 中 的 应 用 。 同 时 ， 让 我们通过收集、分析和处理信息来实际感受和体验知
6、识的产生过程，进而了解社会，培养分析问题、解决问题的能力和创造力。三、课题研究的目标（1） 对超市中的数学应用有一定的了解；（2） 在商品中发现数学问题，并找出解决的方法。四、研究方法（1）实地调查法6（2）观察分析法五、研究的基本内容我们小组五人一起去教育超市，然后分工去观察和记录超市中的：（1）包装盒问题（2）不等式及百分比问题；（3）分割问题。（4）椭圆问题（5）数列问题六、实践过程第一阶段：召集小组成员集中讨论，确定活动的具体事项。第二阶段：集体进行实地考察，采集相关资料。第三阶段：分析采集的相关资料，分工合作，完成调查。七、课题研究的成果形式小组的每一位成员分工合作，最后把自己调查得
7、到的结果汇总，发现数学问题并且解决了它，最后把它写成论文的形式。通过本次调查，提高了我们对数学知识的理解与运用，让我们体会和发现了数学的美，并且能够运用数学思维观察生活中的事物。同时，通过参与活动，提高了我们调查、收集、处理信息、与人沟通的能力，以及相互合作学习的能力。具体成果：（1）一份有关研究课题的研究方案；7（2）一份有关数列求和的教学设计；（4）小组参与人员的五篇小论文高中数列知识教学设计一、教学目标1、知识与技能目标掌握已经学过的等差、等比数列的通项公式; 能够熟练应用数列求和的一些技巧（如列项相消法） 。2、过程与方法目标用一些特殊的数列对一般的数列进行求和。3、情感态度与价值观目
8、标能够更深入的认识数列，让学生树立起良好的数列观，体会数列中的乐趣。二、教材分析1、重点：（1）对所遇到的数列进行分析，找到它的结构特点，即找到解的突破口；（2）对常见等差、等比数列的性质特点的掌握以及能够熟练应用；（3）对某些特殊的数列的求和公式的了解乃至掌握并能在适宜时进行应用。如：12+22+32+-+n2=(n (n+1)(2n+1)/68（4 ）掌握求和过程中的思想方法。2、难点对数列进行剖析。三、课型与教法授课类型：复习课课时安排：1 课时四、教学过程（一）复习导入1、复习数列概念；复习等差、等比数列。 （5 分钟）掌握下列公式：等差数列的通项公式、求和公式：;dnan)1(1 d
9、mnan)(.2)1(12)(1sann等比数列的通项公式： mnnqa1nnqaqaqn ns 11)(2、采用提问的方式对数列求和的常用方法进行复习，并提出一些常用方法，如：分组求和法，列项相消法等。 （5 分钟）（二）例题讲解（对常用求和方法进行应用） （30 分钟）（1）拆项分组法通过拆项，将一般数列转化为等差、等比数列再求和。也可以按需9要将其拆分为一些常用数列的前 n 项和。常用数列如：6)12)(1(12 nnk拆项的关键是要知道通项 an ，再将 n拆为两项或多项，这样就能对原数列分组求和，从而求出 sn。例 1：求和：。_2)1(.532 18141 n分析： ，于是原数列可
10、转化为数)2()( 11 nn列与 的前项和的和。21n 122 122)(1)2)(1 181421)( )()( ).()(.5321 2 n nnn n解 ： 原 式（2）分组求和法例 2：求数列 的前 n 项和 。120nnasn解： 1029102212)( ).1()10. )1210(.()(.n nnnnnn aas （3）列项求和法该方法的关键是构造两项之差 ，使其在求和过程中起到)(1(nff消项的作用。常见拆两个项公式：11)1( nn )(11 bababa 例 3： 已知数列 ： 求其前 n 项a ,., .3213211 n和 。sn分析： )(211)1(2.32
11、1 nnnna解： 121131221 )(2)(2.)()(. nnnnn aas（4）乘公比错位相减法形如 （其中数列 有一个为等差数列，另一个为nba ,nba等比数列）这样的数列，我们可以使用此方法对其求前 n 项和。例 4：求式子 的和。n212423.13 11分析： 可看作 与 的积，即可看成一个等差数列21n1n21n与一个等比数列之积构成的数列。解：令 ,.12124332 ns 则 ,.1432 2221 n两式错位相减得 1 132 133222123 211 222124321. )(.)()( nn nn nnns所以， nnnns 2121213（三）巩固练习（5
12、分钟）求式子 的和。12 2423.1n（四） 、小结（5 分钟）数列求和是数列问题中常见的现象。本节课对数列求和问题中常用到的一些思想方法进行归纳总结，并以例题的形式将其呈现出来。需要掌握的内容就是数列求和问题中常用的思想方法。此外，还需对以前学的内容包括等差、等比数列的性质、相关公式进行准确把握，因为这些内容在数列求和过程中常会用到。再者，要记住一些常用公式，如：126)12)(1(12nnnk 11)1( nnn等等，这些式子在数列求和过)(1bababa 程中经常会用到。（五） 、作业布置作业题：求和 )1(.4321 nsn1.教育超市中的食物盒学校：玉溪师范学院 专业：数学与应用数
13、学 姓名：侯贵英 学号：2009011214组号：第四组 指导老师：文萍【摘要】 数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会的进步与人类的发展服务。生活中有很多地方都是数学的应用。生活也是数学的发源地，是数学的归宿，因此，数学都能在生活中找到其产生的踪迹。为探讨数学与生活接轨的问题，并“利用数学知识解决实际问题、更有效的应用我们的材料去制作我们的各种包装盒、去生活中验证数学知识”，为此，我对我们学校教育超市中的数学应用问题进行了调查、了解和分析。【关键词】 教育超市 数学 食物盒数学来源于生活，生活中处处有数学。为进一步理解数学存
14、在于生活，与我们的生活密切联系，我走进了教育超市，走进了数学。13面对教育超市琳琅满目的商品，空白的大脑一下塞满了有形的记忆数学问题。在教育超市里，我看到了很多物品堆放、排列的很整齐，但它们排列、堆放的方式都不太一样；最让我好奇都是我看到了教育超市中的很多食品盒子都是圆柱体的。这是为什么呢？刚走进教育超市，我一眼看到了在左边角落堆放的一打打饮料，饮料瓶全数圆柱形的，接着是各种食物大部分都是以圆柱形的食物盒装置，这是为什么呢？为什么不是正方体长方体或是其它的形状偏偏全是圆柱形的呢？我边走边思考，边思考边走。再往里面走又看到了成堆的火腿肠、老干妈、饼干、油菜等盛放它们的盒子都是圆柱形的。带着满脑的
15、疑问我开始对它们进行了调查，结果发现：在底面积、高相同的圆柱体与正方体中那个的表面积更大呢？ 如下图中：正方体边长为 a，则正方体与圆柱体14的底面积均为 、体积均为 ，我们来讨论一下它们各自的表面积。a23图 1 图 2正方体的表面积： S 正方体=6 a2圆柱体的表面积：S 圆柱体 =2S 底面积+S 侧面积5.545 2由此我们可以看出在底面积很高都相等（体积相等）的情况下 S 正方体表面积S 圆柱表面积。可想在我们要装置相同体积的物品时我们选用圆柱体的盒子比选用正方体的盒子更为节省材料，商家在这方面选择合理了自然可以省下不少的材料，这也是我们数学的应用所在。而且圆柱形盒子比其它形状的更
16、美观。15图 3在图三中我们直径为 a 的圆柱体与直径为 a 的正方体一比较知道圆柱体的占地面积小于正方体的占地面积，因此在我们空间有限的范围内选用圆柱体更为得当且美观。圆柱形体积问题在数学中的体现：圆柱体的体积公式的推导：把圆柱底面分成若干份相等的扇形(如分成16 等份)，沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，可以得到大小相等的16块。把16 块圆柱的底面拼成一个近似长方形，则圆柱体就接近长方体（如果分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体了） 。由于体积没有发生变化，所以可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积。长方体的体积底面积高长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高就是
17、圆柱的高。所以：圆柱的体积底面积高，如果用 V 表示圆柱的体积，S 表示16圆柱的底面积，H 表示圆柱的高，可以得到圆柱的体积公式； V SH公式的应用：例1 一个棱长8分米的正方体要削成一个最大的圆柱,要削去多少立方分米？解：由题意得 正方体的体积=8x8x8=512立方分米要得到最大的圆柱体，那么该圆柱的底面直径=高=8分米圆柱的底面半径=8/2=4分米圆柱体的体积=3.14x4x4x8=401.92立方分米要削去的体积=512-401.92=110.08 立方分米例 2 圆柱形钢管，长 3 米，外直径 16 米，内直径 10 米每立方分米重 9.8 克，求共重多少千克？（用两种不同的方法
18、解答）解法 1:圆柱体积 V=R2h(2 表示平方 ,R2 表示 R 的平方. 下同)因为是空心的所以圆柱形钢管的体积=外体积- 内体积而 外体积=3.14(16/2)23=602.88（立方米）内体积=3.14(10/2)23=235.5（立方米）所以圆柱形钢管的体积 V=602.88-235.5=367.38（立方米）注:1 立方米=100 立方分米 =367380（立方分米）你想 1 立方分米重 9.8 克,那 367380（立方分米）有多重呢?很简单那就是 367389.8=3600324 克=3600.324 千克17解法 2:因为解 1 算出了圆柱形钢管的体积 V=367380（立
19、方分米） 这里就不重复了重量=体积* 密度 (不知你有没有学过,一般要初中才学 )每立方分米重 9.8 克 (9.8 克/立方分米)就是密度重量=体积* 密度=9.8 克 /立方分米367380 立方分米=3600324 克=3600.324 千克例 3 圆柱 OO1，内有一个三棱柱 ABCA1B1C1。三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O 的直径。（I）证明平面 A1ACC1 平面 B1BCC1；（II ）设 AB=AA1.在圆柱 OO1 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 ABCA1B1C1 内的概率为 P. (i)当点 C 在圆周上运动时，求 P 的最大值；18解：（I
20、）证明A1A ABC，BC 平面 ABC，A1A BC.AB 是圆 O 的直径，BC AC.又 ACA1A=A, BC 平面 A1ACC1.而 BC 平面 B1BCC1,所以平面 A1ACC1 平面 B1BCC1.（II ） (i)设圆柱体的底面半径为 r,则 AB=AA1=2r，故三棱柱ABCA1B1C1 的体积 V1= AC*BC*2r=AC*BC*r. 21设BAC= ( 0y，那么 yy；（对称性） 如果 xy，yz；那么 xz；（传递性） 如果 xy，而 z 为任意实数或整式，那么 x+zy+z；（加法则） 如果 xy，z0，那么 xzyz；如果 xy，zy，z0,那么 xzyz;如
21、果 xy，zy，mn ，那么 x+my+n(充分不必要条件) 如果 xy0，mn0，那么 xmyn 如果 xy1，那么 x 的 n 次幂y 的 n 次幂（n 为正数）,1xy0,那么 x 的 n 次幂F（x）同解。 如果不等式 F（x ） 0 ，那么不等式 F(x)H（x）G（x）同解。 不等式 F（x）G（x）0 与不等式同解；不等式 F（x）G（x）0 与不等式同解。做题时应该注意1.符号： 不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。2.确定解集： 比两个值都大，就比大的还大； 比两个值都小，就比小的还小； 比大的大，比小的小，无解； 24比小的大，比大的小，有解在中间。 三个或
22、三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。 3.另外，也可以在数轴上确定解集： 把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。4.不等式两边相加或相减，同一个数或式子，不等号的方向不变。 （移项要变号） 5.不等式两边相乘或相除，同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化 1，这是得正数才能使用） 6.不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（或1 个负数的时候要变号）不等式的证明方法 11、比较法：包括比差和比商两种方法。 2、综合法 证明不等式时，从命题的已知条件出
23、发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。 3、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，25它是执果索因的方法。 4、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。 5、数学归纳法 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 6、反证法 证明不等式时，首先假设要证明
24、的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。例题 1.已知 且 求证： ,mnN3,32(1).mn:百分比 一、生活中处处有数学，通过观察，学校教育超市中的苏打饼干、夹心饼干、维他命水等等，大部分商品都有重要成份的百分比（如图） 。2627扇形统计图 1扇形统计图是用整个圆表示总数（单位“1” ） ，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分之几。通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。作
25、用:能清楚地了解各部分数同总数之间的关系与比例。扇形面积与其对应的圆心角的关系是： 扇形面积越大，圆心角的度数越大。 扇形面积越小，圆心角的度数越小。 扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比*360 度 28扇形统计图还可以画成圆柱形的。制作1 已知单位一,求出各面积占单位一的百分率(百分比). 2 如单位一未知,应先求出单位一. 3 用 360(圆的度数)乘求出的百分比（百分数）,求应画角的度数. 4 画一个平面圆形 5 用量角器量出角度画半径. ps:单位一未知用除法,找出实数再找它的对应分率，如果圆的半径为 R，则圆的面积为 R 的平方，因此扇形面积的计算公式为 S
26、扇形 =（n/360）R2 （n 为圆心角的度数,R为底面圆的半径） 。特点通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分之几。 扇形统计图可以更清楚的了解个部分数量同总数之间的关系。 扇形统计图可以让一些杂乱无章的数据变得清晰透彻，使人看上去一目了然，利于计算各种数据，变得更加方便，快捷！怎样做 扇形统计图是说明事物的结构、比例的图形。所以它的制作步骤是： 291、把各组的数值在总量中所占比率计算出来。 2、再用各组的比率乘以 360，得出改组在统计图中扇面的角度。 3、根据各组扇面的角度，在圆形图上画出来。如：全班 100 个同学考试，不及格的 20 名，60-70 分的 10 名，71-80
27、分的 20 名，81-90 分的 30 名，91-99 分的15 名，100 分的 5 名。各组比例：不及格：20/100=0.2；60-70 分：10/100=0.1； 71-80 分：20/100=0.2；81-90 分：30/100=0.3；9199 分：15/100=0.15 ； 100 分：5/100=0.05。各组扇面角度：不及格：0.2360=72；60-70 分：0.1360=36；71-80 分：0.2 360=72；81-90分：0.3360=108 ；91-99 分：0.15 360=54；100 分：0.05360=18 共计 360这就是各组数值在扇形统计图上各扇面的
28、度数。又如，超市中的摆放架中一半都是用来摆放食品，八分之一是用来摆放生活用品的，其余的四分之一是用来摆放学习用品的，十六分之一是用来摆放体育用品的，十六分之一是空闲的！超 市 各 类 商 品 比 例食 品学 习 用 品体 育 用 品生 活 用 品空 缺30所讲知识点，符合数学教学论 所提及的“以学3生为主体学习，教师作为学习的组织者、引导者。 ”在提及关于此方面的知识点时，教师可利用超市这一教师与学生所拥有的共同经验来举例讲解，这样同学对生疏的知识点在无形中就有了熟悉的感觉。这满足了“教师与学生要有共同的经验” 4参考文献:1 百度百科2 张奠宙 张广祥， 中学代数研究 ，高等教育出版社 2006.1(2010 年重印)3 刘影 程晓亮， 数学教学论 ，北京大学出版社 2009.24 数学教学论笔记
