1、第 4 课时 两角和与差的正切(1)教学过程一、 问题情境回顾“ 两角和与差的余弦” 例 1 中求 tan15的过程,我们是先分别求出 sin15, cos15,再由同角三角函数关系求出 tan15,那么能否由 tan45和 tan30直接求出 tan15呢? 1二、 数学建构问题 1 对于一般的角 , ,当 , , + 的正切值存在时,能由 tan, tan 直接表示tan(+)吗?tan(+)= = =.问题 2 上述公式对于任意角 , 都成立吗?当 , , + 均不等于 k+,kZ 时, 式子才成立,这就是两角和的正切公式 ,记为 T(+).问题 3 如何由 tan, tan 直接表示
2、tan(-)?解法一 tan(-)= = = .解法二 用- 代换 ,就可以得到 tan(-)= = .公式理解1. 结构特征 :公式右边分子上的符号与左边的符号一致,而分母的符号与分子的符号相反;分子是两角正切值的和与差,分母含有两角正切值的积.2. 公式中的 , , +, - 的正切值都存在时 ,公式才能成立 .三、 数学运用【例 1】 (1) 已知 tan=, tan=,则 tan(+)= ; (2) (根据教材第 115 页练习第 1(1)题改编)已知 tan=3,则 tan = . (见学生用书 P67) 答案 (1) 1; (2) -.处理建议 本题是公式的直接运用,可让学生自己求
3、解.变式 1 已知 , 均为锐角,且 tan=, tan=,则 += . 处理建议 引导学生思考:(1) 要求角的大小,先要求什么?(角的某个三角函数值和角的范围)(2) 本题中用哪个三角函数?为什么?(本题中用正切.一是因为题中涉及角的正切;二是因为 +(0, ),且在此范围内一个正切值对应一个角)规范板书 解 tan(+)= = =1.又因为 , 均为锐角,所以 +(0, ),所以+=.题后反思 求角的大小,先求角的某一三角函数值和角的范围.变式 2 (教材第 115 页例 3)如图, 三个相同的正方形相接 ,求证:+=.(变式 2)处理建议 引导学生选择适当的三角函数求解.规范板书 解法
4、一 由题可知 tan=, tan=,所以 tan(+)= = =1.又因为 , 均为锐角,所以 +(0, ),所以 +=.解法二 由题可知 cos= , sin= , cos= , sin= ,所以 cos(+)=coscos-sinsin= - = .又因为 , 均为锐角,所以 +(0, ),所以 +=.【例 2】 已知 =4+ ,求 tan 的值.(见学生用书 P68)处理建议 先由学生自己分析解题思路,可能会有两种:一是由已知求出 tan 的值,然后由两角差的正切公式求出 tan ;二是由 =tan 直接得到答案.引导学生观察条件和结论之间的关系,学会用整体思想去分析问题.规范板书 解法
5、一 由 =4+ ,解出 tan=- ,所以 tan = =4+ .解法二 tan = =4+ .变式 1 求值: .规范板书 解 原式= =tan(45-15)= .变式 2 求值: .规范板书 解 原式= =tan(60-15)=1.【例 3】 已知 tan 与 tan 是方程 x2-3x-3=0 的两个根,求 tan(+)的值.(见学生用书P68)处理建议 本题可以先直接求出 tan, tan,然后利用公式求 tan(+);也可以用韦达定理先求 tan+tan, tantan,然后利用公式求 tan(+).再让学生比较这两种方法的繁易程度.规范板书 解法一 因为方程 x2-3x-3=0 的
6、两个根为 ,所以 tan+tan=3, tantan=-3,所以 tan(+)= = =.解法二 由题可知 =(-3)2-4(-3)=120, 所以 tan+tan=3, tantan=-3,所以 tan(+)= = =.变式 已知 tan 与 tan 是方程 x2-3x-3=0 的两个根,求 sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)的值.规范板书 解 由题可知 =(-3)2-4(-3)=120,所以 tan+tan=3, tantan=-3,所以 tan(+)= = =.故 sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)= =-3.(例 4)*【例 4】 如
7、图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 , ,它们的终边分别与单位圆相交于 A, B 两点 ,已知 A, B 的横坐标分别为 , .(1) 求 tan(+)的值;(2) 求 +2 的值.处理建议 引导学生根据三角函数的定义,求出 tan, tan,从而求出 tan(+)和tan(+2),并通过 +2 的范围确定 +2 的大小.规范板书 解 由题意知 cos= , cos= ,又 , 为锐角, sin= , sin= .因此tan=7, tan=.(1) tan(+)= =-3.(2) tan(+2)=tan = =-1. , 为锐角, 0+2 , +2= .(变式)变式
8、 如图, A, B 是单位圆 O 上的点,且 A 点坐标为 , B 在第二象限, C 是圆 O 与 x轴正半轴的交点,AOB 为正三角形,求 tanBOC 的值.规范板书 解 由题可知 tanAOC=, tanBOC=tan(AOC+60)= = =- . 四、 课堂练习1. 已知 tan=-2, tan=5,则 tan(-)=.2. 计算: =- .提示 原式= =tan(45+75)=- .3. 已知 为锐角, cos= ,则 tan =-3.提示 由 cos= , 为锐角,得 sin= ,则 tan=2,所以 tan = =-3.4. 已知 0, 0,且 tan, tan 是方程 3x2+4x-1=0 的两根,求 + 的值.解 因为方程 3x2+4x-1=0 的两根为 ,所以 tan+tan=-, tantan=-,则 tan(+)= =-1.又 0, 0,所以 +(0, ), 故 += .五、 课堂小结1. 运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式.2. 两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制.3. 求角的步骤:先求出某个三角函数值 ,再根据角的范围求解 .
