1、南京航空航天大学 2015 级硕士研究生共 5 页 第 1 页2015 2016 学年第 1 学期 矩阵论 课程考试 A 卷 考试日期：2015 年 12 月 28 日 课程编号：A080001 命题教师： 阅卷教师： 学院 专业 学号 姓名 成绩 一、(20 分)设 阶矩阵 3012A1求 的特征多项式和初等因子；A2求 的最小多项式和 Jordan 标准形；3问： 与矩阵 是否相似？并说明理由10B案及评分标准：1.特征多项式为 ；初等因子为 .3)1()f 2)1(,2. 的最小多项式是 ，Jordan 标准形为 .A2)()m10J3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与
2、 不相似.B31AAB（5 分）共 5 页 第 2 页二、(20 分)设 ，映射 使得0)(|2XtrRV.VT,1证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；22证明 是 的线性变换，并求 在题 1 所取基下的矩阵；3求 的核 与值域 的维数和基；)ker()(4证明： .RV答案及评分标准:1.直接验证，知 是线性子空间. 的维数是 3，一组基是VV.01,0,1021 2.直接验证,知 是线性变换.在题 1 所取基下的矩阵是 .10A3.由于 ，所以 ， 为,)ker(321span2)ker(dim321,的一组基；由于 ，所以 ， 是)(32spanR)(iR的一组基. )(R4.由于
3、 ，所以 .)i()(di)er(dimV)(er共 5 页 第 3 页三、(20 分) 设非齐次线性方程组 相容，其中 ，Ax210A.9t1作出 的一个满秩分解；A2求 的加号逆 ；3求方程组 的极小范数解（要求解中不含有参数 t）x答案及评分标准:1. 的一种满秩分解为 ；A BCA101(注意：满秩分解不唯一，需要检验)2.因为 ,所以 123)(,213TCB.21549CA3.由相容性,解得 ,从而极小范数解为 .0t TAx)3,6(共 5 页 第 4 页四、(20 分)设矩阵 .210A1求 ；21,F2证明对于 中的任意矩阵 ，有 ；3CB2226BA3证明矩阵幂级数 绝对收
4、敛，并求其和01kkA答案及评分标准:1. .1,3,41FAA由于 ,所以 .602T 622.由矩阵 2 范数的相容性,有 另一方面，由题的2226BAB计算过程知 ，从而1A，22122 A即 2B3.已知幂级数 的收敛半径为 3,且 ,则矩阵幂级数031kkx 3)(2绝对收敛,且031kkA. 7210)3()1(30 AIIkk共 5 页 第 5 页五、(20 分)设 分别是 n 阶 Hermite 正定矩阵和半正定矩阵，证明：BA,1 相似于 Hermite 半正定矩阵；2若 ，则 ；1I3若 ，则 1答案及评分标准: 1. ,这里 是可逆的 Hermite 矩阵, 从而 .由于20SA BSASH1,所以 ,即 相似于 Hermite 半正定矩阵 .B0HB2. .由题 1 的结论， 的特征值满足条件)(AB.0,0,2n于是 )()(12nAI3. . B11
