1、 “矩阵论”课程研究报告科 目： 矩阵理论及应用 教 师： 舒永录 姓 名： 张晋红 学 号： 20140702109 专 业： 机械工程 类 别： 学术 上课时间： 2014 年 09 月至 2014 年 12 月 考 生 成 绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名) 航班问题摘要：针对城市路线选择中的航道数目统计问题，采用最小多项式的方法，得出了城市 A 到 B 的某个数目的相连的航班数目和不超过某个数目的相连的航班数目。本文所提出的方法适用于多城市间航道统计问题。正文一、问题描述一家航空公司经营 A、B、C、D 和 H 五个城市的航线业务，其中 H 为中心城市。各个城市间的路线见图 1。图
2、1假设你想从 A 城市飞往 B 城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即 AH 和 HB。如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。那么问题如下：(1) 从 A 到 B，有多少条路线刚好是三个相连的航班；(2) 从 A 到 B，有多少条路线要求不多于四个相连的航班。二、方法简述定义：设 A 是 n 阶方阵，若存在多项式 ，使得 ，即 是)(f()f0A=()f零矩阵，称 是矩阵 A 的零化多项式。)(f下面指出两点：1）对任何 n 阶方阵 A，都存在零化多项式。因为线性空间 是 维的，nK2故 E, A, 必线性相关。故存在不全为 0 的数 ，使2 012,.,nkk201
3、2.nkkEA即多项式2201().nfkk是 A 的零化多项式。2）任何矩阵的零化多项式不唯一。因为若 是 A 的零化多项式，则)(f也是 的零化多项式，这里的 可以是任意的非零多项式。)(gf g定理（Hamliton-Caley 定理）设 11()|nnfaaEA则 1().nnfa0A定义：在 n 阶方阵 A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A 的最小多项式，记为 。)(m由 Hamliton-Cayley 定理可知，任何 n 阶方阵 A 的最小多项式是存在的，并且次数不超过 n。定理：n 阶方阵 A 的任意零化多项式都可以被 A 的最小多项式整除。定理：A 的最小多项式
4、唯一。定理：A 的最小多项式的根是 A 的特征根，反过来，A 的特征根必是 A 的最小多项式的根。设 是有限次多项式， 是方阵 A 的最小多项式（不妨 ）)(h)(mtm)(deg，用 去除 ，余式为 ，便有mr)()(rgh这里 ，或 =0，由 =0,有1)(degtrrmA()()r上式说明方阵 A 的任意一个多项式 总可以表示为 A 的次数不超过h的多项式 。具体的说，方阵 A 的任何有限次多项式 都可 E, A, A2, 1t()r ()h, At-1 线性表示，且 E, A, A2, , At-1 是线性无关的，所以上述表示法中的还是唯一的。()r三、实验数据和结果将不同城市间的航道
5、情况矩阵表示，从 A 城市到 B 城市有航道时，设置对应矩阵元素，当从 i 到 j 有航道则置 1，否则置 0，同一个城市间对应元素置0，因此就得到不同城市间的航道分布矩阵 M，矩阵各元素用 表示。该矩阵ijb的 n 次幂中各元素 表示从第 i 个城市到 j 个城市的航道情况，如果不为 0 则ija表示到达 j 城市有 n 个相连的航班可以到达。同时，如果从 i 到 s 有航班发出 置 1，否则置 0，得出sc=isx).(1321 nc则 中元素 表示，从 isq 的航班情况。 表示从 i 出发经过 n+1isxMsqmisxM个航道后到达某城市的情况，如果对应元素不为 0 则表示经过 n+
6、1 个航道可以到达该城市，反之如果为 0 则表示没有足够多的航道可以到达该城市。如果从某城市到达 j 城市的航道分布为 121(.)j nkky则 中各元素表示各个城市到 j 的航道情况，如果该元素不为 0 则表示两个TjMy城市之间有航道到达 j，反之，该元素为 0 表示没有航道到达 j。综上所述 121.nTisj nbbxMy其中 表示从 i 经过 n+1 次个航道后到达 j 的情况，如果该元素不为 0 则说明jb从 i 到 j 可以经过 n+1 次航道到达，为 0 则说明不可以经过 n+1 次航道到达。问题要求求出从 A 城市到 B 城市中间经过一定中转站时的线路条数，将出发城市发出的
7、航道建模，设为 = ， 表示从 A 出发到 Sasx)(54321ccasx目的地的航道情况，如果有航道则 =1，反之 =0。根据上图航道分布图可得ss=asx)10(五个城市间航道的总体分布矩阵为M= 01010其中 M 的横坐标 表示，i 城市到 j 城市的航道情况，1 表示 ij 有航道，jm0 表示没有。=asxM20表示从 A 出发到达的第二个城市有没有通向第三个城市的航道情况，asx相应元素不为 0 表示有航道，反之没有航道。设 ， 表示到达城市 B 的航班分布情况，12345()bkkyby(01)所以 ，则可以推出从 A 到 B 经过三个相连航道到达有三条路线，经TasbxMy
8、分析分别是 ACHB, AHDB, ACDB。则可以推出从 A 到 B 经过四个相连航道到达有 5 条线路，245Tasb经分析分别是 AHCDB, ACHDB, AHDHB, AHCHB, ACDHB。题目要求求出从 A 到 B，要求不多于四个相连的航班的线路数，求 )4,321(x012()Tas bMy设 M0+M1+M2()f=| |=)(fEA)1)(22经验算，最小多项式为 m)(1因为 余数为 ，所以)(mf)(f=2()fAE3210201= =9)4,321(x012()Tas bMy()TasbfxAy即从 A 到 B 有 9 条不多于四条相连航道的线路。检验证，从 A 到
9、 B 经过一条航道到达的线路为 0 条，经过两条到达的线路为 1 条，经过三条到达的线路为 3 条，经过四条到达的线路为 5 条，一共有九条满足要求航道数目条件，因此利用上述方法得出的结果与实际结果相同。四、结果分析与说明本文采用了最小多项式的方法解决了路线选择中的航道数目统计问题，得出了从 A 到 B，有 3 条路线刚好是三个相连的航班，有 9 条路线要求不多于四个相连的航班。利用本文所提出的方法特别适用于多城市间航道统计问题，由于本问题只考虑五个城市，所以本文提出的方法对于解决城市数目较少的类似问题计算量不免有些繁琐。参考资料1 李新，河传江 .矩阵理论及其应用M.重庆：重庆大学出版社，2005.2 同济大学数学系.工程数学：线性代数（第五版）M.北京：高等教育出版社，2007.3 杨大地，涂光裕 .数值分析M.重庆：重庆大学出版社，1998.4 李正元，李永乐，范培华.数学复习全书M.北京：中国政法大学出版社，2013.
