1、“矩阵论”课程研究报告科 目： 矩阵理论及其应用 教 师： 姓 名： 学 号： 专 业： 机械工程 类 别： 学硕 上课时间： 2014 年 9 月至 2014 年 12 月 考 生 成 绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名) 1矩阵论在机械传动方面的应用摘要：矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合于现代理论数学的抽象结构。而本文着重讨论矩阵在机械传动中的应用，根据滚动轴承几何学、运动学基本原理和 Hertz 弹性体接触理论，同时考虑径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响, 建立了角接触球轴承刚度矩阵的计算模型。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动
2、机轴承- 转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件。关键词：角接触球轴承 刚度矩阵 机械传动 一、引言矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。它本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科。经过多年来人们对矩阵的研究，现在已经有很多矩阵的计算方法运用到实际生活中，且一些方法对人们的工作学习有很大的帮助。而刚度矩阵是将一个受力物体划分为 n 个单元,各单元刚度矩阵集成为结构总刚度矩阵，实现了从单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵的过程。在机械传动中，我们通常在分析某个零部件时，都要计算该零部件在实际工况中的刚度矩阵，为后续的动态分析提
3、供较为准确的边界条件。而角接触球轴承是轴承转子系统中广泛使用的一种支承，在机械传动中占据重要地位，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响，所以很有必要建立角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵。二、矩阵论在机械传动方面的应用1、问题描述角接触球轴承是轴承转子系统中广泛使用的一种支承，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响。为提高轴承转子系统的动态分析精度，建立了角接触球轴承刚度矩阵计算模型，模型考虑了径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件 1。以某型发动机支承轴承为例, 根据其实际工况
4、,计算角接触球轴承的刚度矩2阵。轴承的结构参数为:轴承内径为190mm,外径为 290mm, 球直径为28 mm, 球数 28,内、外圈沟道沟曲率半径R分别为14.42 mm和14 .56 mm, 初始接触角 为。运行工况: F = 15 000 , 18 000 , 35 000 , 100 ,300T, 内圈转速为1 500 r/min ,外25圈静止。2、方法简述1）基本假设角接触球轴承在外载荷 及球离心力和陀螺力矩的共,xyzxyFM同作用下,使轴承内外圈产生相对位移 ，如图1所示。在考,jzxy虑轴承实际运行的基础上建立角接触球轴承力学模型时，作如下假设：(1)轴承受载时，外圈固定，
5、内圈产生刚体位移。(2)轴承所有变形均发生在球上，且变形在球材料弹性范围内。(3)球与沟道之间的弹性接触力与接触变形的关系满足Hertz接触理论。图 1 角接触球轴承坐标系及其受载变形示意图2）刚度矩阵的理论推导球的运动根据套圈控制理论 2,对外圈固定、 内圈随轴系运转的角接触球轴承, 建立如图2所示坐标系。球的公转速度 、自转速度 以及各运动量间有如下关系mb3图 2 球的运动示意图 cos)cos1intacos1inta( rrrieeb 1)inta)( eeiim式中： 为轴承内圈转速， ； 为球直径， 为轴承球组节圆直pwdDr/pwD径， 、 为球与外、内圈间的压力角 ； 为球的
6、姿态角 ，且有ei rrad。tans/(cos)er球受力在轴承运转中，球承受着多种载荷。在满足工程计算精度的前提下，本例主要考虑球所受的离心力 和陀螺力矩 。cFgM123mpwcDFsinbJM式中: 为球的密度，J 为球的转动惯量 。 5160wJD4图 3 为球的受力示意图，根据球上力和力矩的平衡条件 3，可得第 j 个球的平衡方程图 3 球的受力图 0cos2sinsi ejwgijjejj DMQccocjgiijijejej F式中: 、 为第 j 个球与外、内圈间的接触载荷 ； 、 为第 j 个球与ejQij Nejij外、内圈间的压力角 。rad位移-变形关系固定外圈沟曲率
7、中心为坐标原点 A, 在 平面内,轴承沟曲率中心与球的xz位移变形关系如图 4 所示。在外载荷作用下, 球中心由 移动到 ,内圈沟曲率O中心由 移动到 。根据文献4 ,得以下方程B )cossin(sinjyjxzaj RDAjjrj ic0)5.0(2jwerjajfx.)( 222 jerjjjj DfA5rjejx/tan)()(rjjajjij A图 4 位移-变形关系示意图式中: 、 为内圈沟曲率中心最终位置坐标 , 为球与外圈的初始接触角, DrjAaj 为内、外圈沟曲率中心初始距离,且 ； 、 为外、内圈沟(1)weifefi曲率半径系数; 为球旋转时的中心半径,且 为第R2/(
8、0.5)cospwRj 个球与基准球间的夹角, 、 为第 j 个球与外、 内圈间的接触变形, 、ejij ej为第 j 个球与外、 内圈间的实际接触角, , 为第 j 个球中心最终位置坐ijrjxaj标。根据 Hertz 接触理论 5, 第 j 个球与外、内圈间的法向作用力可表示为ejjQKijijQK式中: 、 为第 j 个球与外、内圈间的接触刚度系数,与轴承的结构参数和材eKi料有关。3) 刚度矩阵根据轴承受力平衡条件 6,作用在轴承上的外力与所有球对轴承内圈的作用力平衡, 可得以下平衡方程61cosinxjjnyijjz jFQ1sico2njx jpwjyjMD采用 Newton-Ra
9、phson 迭代法 7对 ( 5 )、( 6)、( 14)和( 15)式进行求解,直到满足收敛精度为止,可得角接触球轴承在一定工况下的变形 , , , ， 等xyzxy参数。由刚度矩阵的定义, 可得角接触球轴承的刚度矩阵 K 为/xxxxxyz yy yyzzzzzxy xyij xx xyyyyyx zxFFFKMMM 3、实验数据和结果由题意，轴承内径为190mm，外径为290mm, 球直径为28 mm, 球数28，内、外圈沟道沟曲率半径R分别为14.42 mm和14 .56 mm,初始接触角 为 。运25行工况: F = 15 000 , 18 000 , 35 000 , 100 ,3
10、00T, 内圈转速为1 500 r/min ,外圈静止。计算结果为： 62105824089691.43210.3.5.21048K 4、结果分析与说明本文建立了角接触球轴承刚度矩阵的计算模型,计算了某型发动机支承轴承的刚度矩阵, 为发动机轴系的有限元分析提供了准确的边界条件, 对提高轴承-转子系统的动态分析精度起到积极的作用。同时, 对角接触球轴承的设计和实际应用具有一定的借鉴和参考作用，这说明矩阵在机械传动的应用中有着很大的作用。7参 考 资 料1 谢 涛,刘品宽,陈在礼. 转台轴系轴承刚度矩阵的理论推导与数值计算 J . 哈尔滨工业大学学报,2003(3): 329- 333 .2 袁
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