1、 1 / 18 （ 理科数学 全国卷 I 真题） 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题 （本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1 设 1 21 izii=+，则 z= （ ） A 0 B 12C 1 D 2 2 已知集合 2| 2 0A x x x= ，则 A=R （ ） A | 1 2xx B | 1 2xx C | 1 | 2x x x x D | 1 | 2x x x x 3 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区
2、新农村建设前 后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 （ ） A 新农村建设后，种植收入减少 B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和 若 3 2 43S S S=+， 1 2a= ，则 3a= （ ） A 12 B 10 C 10 D 12 5 设函数 ( ) ( )321f x x a x ax= + + 若 ()fx为奇函数，则曲线 ( )y f x= 在点 ( )00， 处的切线方程为（ ） 2 / 18 A
3、 2yx= B yx= C 2yx= D yx= 6 在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB= （ ） A 3144AB ACB 1344AB ACC 3144AB AC+D 1344AB AC+7 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 （ ） A 217 B 25 C 3 D 2 8 设抛物线 2 4C y x=： 的焦点为 F ，过点 ( )20， 且斜率为 23的直线与 C
4、交于 M ， N 两点，则FMFN=（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 9 已知函数 ( ) 0ln 0xexfxxx= ， ， ( ) ( )g x f x x a= + +，若 ()gx存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 （ ） A )10， B )0 +， C )1 +， D )1 +， 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ， AC ， ABC 的 三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为，在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 1p ，2p ， 3p ，
5、则 （ ） A 12pp= B 13pp= C 23pp= D 1 2 3p p p=+ 11 已知双曲线 2 2 13xCy=：， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M ， N 若 OMN 为直角三角形，则 MN= （ ） A 32B 3 C 23 D 4 12 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面3 / 18 积的最大值为 （ ） A 334B 233C 324D 32二、填空题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 若 xy， 满足约束条件 2 2 0100xyxy
6、y+，则 32z x y=+ 的最大值为 _ 14 记 nS 为数列 na 的前 n 项和 若 21nnSa=+，则 6S= _ 15 从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 _种 （用数字填写答案） 16 已知函数 ( ) 2 sin sin 2f x x x=+，则 ()fx的最小值是 _ 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。 17 （ 12 分） 在平面四边形 ABCD 中
7、， 90ADC= ， 45A= ， 2AB= ， 5BD= 求 cos ADB ； 若 22DC= ，求 BC 18 （ 12 分） 如图，四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF BF 证明：平面 PEF 平面 ABFD ； 4 / 18 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 19 （ 12 分） 设椭圆 2 2 12xCy+=：的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，点 M 的坐标为 ( )20， 当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； 设
8、 O 为坐标原点，证明： OMA OMB= 20 （ 12 分） 某工厂的某种产品成 箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ( )01pp ，且各件产品是否为不合格品相互独立 5 / 18 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ()fp，求 ()fp的最大值点 0p ； 现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以中确定的 0p 作为 p 的值 已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格
9、品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 （ i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ，求 EX ； （ ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依 据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 6 / 18 21 （ 12 分） 已知函数 ( ) 1 lnf x x a xx= + 讨论 ()fx的单调性； 若 ()fx存在两个极值点 1x ， 2x ，证明： ( ) ( )1212 2f x f x axx 7 / 18 （二）选考题：共 10 分 。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选
10、修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 2y kx=+ 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 + = 求 2C 的直角坐标方程； 若 1C 与 2C 有且仅有三个公共点，求 1C 的方程 8 / 18 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分） 已知 ( ) 11f x x ax= + 当 1a= 时，求不等式 ( ) 1fx 的解集； 若 ( )01x ， 时不等式 ( )f x x 成立，求 a 的取值范围 9 / 18 绝密启用前 （ 理科数学 全国卷 II 真题） 2
11、018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项 ： 1.答题前，考生先将自已的姓名、准考证号码填写清楚，将条形 码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择
12、题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.1212ii+ = A . 4355i B . 4355i+ C . 3455i D . 3455i+ 2.已知集合 22( , ) 3 , ,A x y x y x Z y Z= + ，则 A 中元素的个数为 A . 9 B . 8 C .5 D .4 3.函数2()xxeefx x = 的图像大致为 4.已知向量 ,ab满足 1a= ， 1ab = 则 (2 )a a b = A . 4 B . 3 C .2 D .0 5.双曲线 22 1( 0 )xy abab= 0, 的离心
13、率为 3 ，则其渐近线方程为 x y 1 1 O .A x y 1 1 O .B x y 1 1 O .D x y 1 1 O .C 10 / 18 A . 2yx= B . 3yx= C . 22yx= D . 32yx= 6.在 ABC 中， 5cos 25C= ， 1BC= ， 5AC= ，则 AB= A . 42 B . 30 C . 29 D .25 7.为计算 1 1 1 1 11 2 3 4 9 9 1 0 0s = + + + ，设计了 右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A . 1ii=+ B . 2ii=+ C . 3ii=+ D . 4ii=+ 8.我国数学家陈景润在哥德
14、巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 .哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A . 112 B . 114 C . 115 D . 118 9.在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AB BC=， 1 3AA= ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为 A . 15 B . 56 C . 55 D . 22 10.若 ( ) co s sinf x x x=在 , aa 是减函数，则 a 的最大值是 A . 4 B . 2 C .34 D .
15、11. 已知 ()fx 是定义域为 ( , )+ 的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x = +. 若 (1) 2f = , 则( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 5 0)f f f f+ + + + = A . 50 B . 0 C .2 D .50 12.已知 1F ， 2F 是椭圆 C ： 22 1( 0 )xy abab+= 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 36 的直线上， 12PFF 为等腰三角形， 12 120FF P=，则 C 的离心率为 A . 23 B . 12 C .13 D .14 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5
16、分，共 20 分。 13.曲线 2ln( 1)yx=+在点 (0,0) 处的切线方程为 . 开 始 00NT=, 1i= 100i 1NNi=+ 11rri=+ S N T= 输 出 s 结 束 是 否 11 / 18 14.若 x ， y 满足约束条件 2 5 02 3 050xyxyx+，则 z x y=+ 的最大值为 . 15.已知 sin cos 1+=， cos sin 0+=，则 sin( )+= . 16.已知圆锥的顶点为 S ， 母线 SA ， SB 所成角的余弦值为 78 ，则 SA 与圆锥底面所成角为 45 .若 SAB的面积为 515 ，则该圆锥的侧面积为 . 三、解答题
17、：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程蔌演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答答。每 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（ 12 分） 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知 1 7a= ， 3 15S = . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）求 nS ，并求 nS 的最小值 . 18.（ 12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图 . 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型 .根据
18、2000年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1， 2， 17）建立模型 ： 30.4 13.5yt= + ；根据2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1， 2， 7）建立模型 99 17.5yt=+ . 12 / 18 （ 1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （ 2）你认为用哪个模型 得到的预测值更可靠？并说明理由 . 19.（ 12 分） 设抛物线 C ： 2 4yx= 焦点为 F ，过 F 且斜率为 k（ 0k ）的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， 8AB= . （ 1）求 l 的方程； （ 2）求
19、过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 . 20.（ 12 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， 22AB BC=， 4PA PB PC AC= = = =， O 为 AC 的中点 . （ 1）证明： PO 平面 ABC ； （ 2）若点 M 在棱 BC 上，且二 面角 M PA C 为 30 ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 . 21.（ 12 分） 已知函数 2() xf x e ax=. （ 1）若 1a= ，证明当 0x 时， ( ) 1fx ； A B C P M O 13 / 18 （ 2）若 ()fx在 (0, )+ 只有一个零点，求 a . （二）选考题：
20、共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos4sinxy = =，（ 为参数），直线 l 的参数方程为1 cos2 sinxtyt=+ =+ ，（ 为参数） . （ 1）求 C 和 l 的直角标方程； （ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率 . 23.选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分） 设函数 ( ) 5 | | | 2 |f x x a x= + . （ 1）当 1a= 时，求不等式
21、 ( ) 0fx 的解集； （ 2）若 ( ) 1fx ，求 a 的取值范围 . 14 / 18 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 (理科数学 全国卷 3) 数 学 (理科 ) 注意事项： 1.答卷前考生将自己的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题
22、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 10A x x= ， 0,1,2B= ,则 AB （ ） A. 0 B. 1 C. 1,2 D. 0,1,2 2.（ 1+i）（ 2-i） = （ ） A. -3-i B. -3+i C. 3-i D. 3+i 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 .构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中 木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则 咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( ) 4.若 1sin 3= ， 则 cos2= （ ） A. 89 B. 79 C. 79 D. 89 5. 252()
23、x x+ 的展开式中 4x 的系数为 （ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 6.直线 20xy+ + = 分别与 x 轴 ， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆 ( )2 222xy + =上 ， 则 ABP 面积的取值范围是 （ ） A. 2,6 B. 4,8 C. 2,3 2 D. 2 2,3 2 7.函数 422y x x= + +的图像大致为 （ ） 15 / 18 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 P，各成员的支付方式相互独立，设 X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， DX=2.4, P(X=4) O， b 0）的左、右焦点， 是坐标原点，
24、过 2F 作 C的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若 1 6PF OP= ，则 C的离心率为 （ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 12.设 0 .2 2lo g 0 .3 , lo g 0 .3ab=， 则 （ ） A. 0a b ab+ B. 0ab a b + C. 0a b ab+ D. 0ab a b+ 二、填空题 :本题共 4 小题，舟小题 5分，共 20分。 13.已知向量 ( ) ( ) ( )1 , 2 , 2 , 2 , 1 , ,a b c c= = = ( )2ab+ ， 则 = . 14.曲线 ( )1 xy ax e=+在点 （ 0,1）处的切线的斜率为 -
25、2，则 a = . 15.函数 ( ) cos 36f x x =+在 0, 的零点个数为 . 16.已知点 M（ -1,1）和抛物线 C: 2 4yx= ， 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点，若16 / 18 AMB=90。 ， 则 k= . 三、解答题 :共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22, 23题为选考题，考生根据要求作答。 (一 )必考题 :共 60 分。 17.（ 12 分）等比数列 na 中 ， 1 5 31, 4a a a=. （ 1）求 na 的 通项 公式 . （ 2）
26、记 ns 为 na 的前 n 项和 .若 63ms = ， 求 m. 18.（ 12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人 用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间 (单位 :min)制了如下茎叶图 : 第一生产方式 第 二 生产方式 8 6 5 5 6 8 9 9 7 5 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5 2 1 1 0 0 9 0 (1)根据
27、茎叶图判断哪种生产方式的效率更高 ?并说明理由 ; (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任 务所需时间超过 m 和不超过m 的工人数填入下而的列联表 : 超过 m 不超过 m 第一生产方式 第 二 生产方式 (3)根据 (2)的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 ? 附： ( )( ) ( ) ( ) ( )22 n ad bcK a b c d a c b d= + + + +， 19. (12 分 )如图，边 长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在的平面垂直， M 是 弧 CD 上异于 C， D 的点 . ( )2
28、p K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17 / 18 (1)证明 :平面 AMD 平面 BMC ; (2)当三棱锥 M 一 ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 . 20.（ 12分）己知斜率为 k的直线 l与椭圆 C: 22143xy=交于 A， B两点，线段 AB的中点为 M(1,m)(m 0) （ 1）证明： k 0 时， ()fx0. （ 2）若 0x= ， 是 ()fx的极大值点，求 a (二 )选考题 :共 10 分。请考生在第 22. 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 (10 分 ) 18 / 18 在直角坐标系 xoy 中， O 的参数方程为 cossinxy = =（ 为参数 ），过点 ( )0, 2 且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A, B 两点 . （ 1）求 取值范围 . （ 2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 . 23.选修 4-5:不等式选讲 （ 10 分） 设函数 ( ) 2 1 1f x x x= + + . （ 1）画出 ( )y f x= 的图像 . （ 2）当 0, )x + 时， ( )f x ax b+，求 ab+ 的最小值
