1、理科数学 2018 年高三试卷 理科数学 考试时间： _分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 单选题 （ 本大题共 12 小题，每小题 _分，共 _分。 ） 1设 ，则 A. B. C. D. 2已知集合 ，则 A. B. C. D. 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 .为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入
2、增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4记 为等差数列 的前 项和 .若 ， ，则 A. B. C. D. 5设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 6在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A. B. C. D. 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到的路径中，最短路径的长度为 A. B. C. 3 D. 2 8设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（ 2， 0）且斜率为 的直线与 C
3、 交于 M， N 两点，则 = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9已知函数 若 g（ x）存在 2个零点，则 a的取值范围是 A. 1， 0） B. 0， +） C. 1， +） D. 1， +） 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB， AC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1， p2， p3，则 A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 11已知双曲线 C： ， O为坐标原点， F为
4、 C的右焦点，过 F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M、 N.若 为直角三角形，则 |MN|= A. B. 3 C. D. 4 12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 填空题 （ 本大题共 4 小题，每小题 _分，共 _分。 ） 13若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 _ 14记 为数列 的前 项和 .若 ，则 _ 15从 2位女生， 4位男生中选 3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法 共有 _种（用数字填写答案） 16已知函数 ，则 的最小值是 _ 简答题（综合题） （ 本大题
5、共 6 小题，每小题 _分，共 _分。 ） 17（ 12分） 在平面四边形 中， ， ， ， . （ 1）求 ； （ 2）若 ，求 . 18（ 12分） 如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把折起，使点 到达点 的位置，且 . （ 1）证明：平面 平面 ； （ 2）求 与平面 所成角的正弦值 . 19（ 12分） 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为. （ 1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （ 2）设 为坐标原点，证明： . 20（ 12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更
6、换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立 （ 1）记 20件产品中恰有 2件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 （ 2）现对一箱产品检验了 20件，结果恰有 2件不合格品，以（ 1）中确定的 作为 的值已知每件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 （ i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求; （ ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 ，是否该对这箱余下的所有产品作检
7、验？ 21（ 12分） 已知函数 （ 1）讨论 的单调性； （ 2）若 存在两个极值点 ，证明： （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （ 1）求 的直角坐标方程； （ 2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程 . 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 已知 . （ 1）当 时，求不等式 的解集； （ 2）若 时不等式 成立，求 的取值范围 . 答案 单选题
8、 1. C 2. B 3. A 4. B 5. D 6. A 7. B 8. D 9. C 10. A 11. B 12. A 填空题 13. 6 14. 15. 16 16. 简答题 17. （ 1）在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ，所以 . （ 2）由题设及（ 1）知， . 在 中，由余弦定理得 . 所以 . 18. （ 1）由已知可得， BF PF， BF EF，所以 BF平面 PEF. 又 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD. （ 2）作 PH EF，垂足为 H.由（ 1）得， PH平面 ABFD. 以 H为坐标原点， 的方向为 y轴正方向，
9、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz. 由（ 1）可得， DE PE.又 DP=2， DE=1，所以 PE= .又 PF=1， EF=2，故 PE PF. 可得 . 则 为平面 ABFD的法向量 . 设 DP与平面 ABFD所成角为 ，则 . 所以 DP 与平面 ABFD所成角的正弦值为 . 19. （ 1）由已知得 ， l的方程为 x=1. 由已知可得，点 A的坐标为 或 . 所以 AM 的方程为 或 . （ 2）当 l与 x轴重合时， . 当 l与 x轴垂直时， OM为 AB的垂直平分线，所以 . 当 l与 x轴不重合也不垂直时，设 l的方程为 ， ， 则 ，直线 MA， MB
10、 的斜率之和为 . 由 得 . 将 代入 得 . 所以， . 则 . 从而 ，故 MA， MB 的倾斜角互补，所以 . 综上， . 20. （ 1） 20 件产品中恰有 2件不合格品的概率为 .因此 . 令 ，得 .当 时， ；当 时， . 所以 的最大值点为 . （ 2）由（ 1）知， . （ i）令 表示余下的 180件产品中的不合格品件数，依题意知 ，即 . 所以 . （ ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400元 . 由于 ，故应该对余下的产品作检验 . 21. （ 1） 的定义域为 ， . （ i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在单调递减 . （ i
11、i）若 ，令 得， 或 . 当 时， ； 当 时， .所以 在单调递减，在 单调递增 . （ 2）由（ 1）知， 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则.由于 ， 所以 等价于 . 设函数 ，由（ 1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， . 所以 ，即 . 22. （ 1）由 ， 得 的直角坐标方程为 （ 2）由（ 1）知 是圆心为 ，半径为 的圆。由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 由于 在圆的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与
12、有两个公共点 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故或 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与有两个公共点 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故或 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点 综上，所求 的方程为 23. 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 解析 单选题 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 填空题 略 略 略 略 简答题 略 略 略 略 略 2. （ 1）当 时， ，即 故不等式 的解集为 （ 2）当 时 成立等价于当 时 成立 若 ，则当 时 ； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 综上， 的取值范围为 .
