1、第 1 页 共 24 页2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷( 非选择题) 两部分. 第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数 z 满足 = ，则|z|=（ ）1zi（A）1 （B） （C） （D）2232 =（ ）oosin0c1s60in1（
2、A） （B） （C） （D）33212123设命题 ： ，则 为（ ）p,nNp（A） （B）2,n2,nN第 2 页 共 24 页（C） （D）2,nN2,=nN4投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.3125已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两个0,xy21xy12,F焦点，若 ，则 的取值范围是（ ）12F0（A） （- ， ） （B） （- ， ）336（C） （ ， ） （D） （ ，
3、）23236 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）（A）14 斛 （B）22 斛 （C）36 斛 （D）66 斛7设 为 所在平面内一点 ，则（ ）DC3D（A） （B） 143A143AC（C） （D） BCB8函数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递
4、减区间为()fxcos)()fx（ ）第 3 页 共 24 页（A） （B）13(,),4kkZ13(2,),4kkZ（C） （D） , ,9执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（ ）（A）5 （B）6 （C）7 （D）810 的展开式中， 的系数为（ ）25()xy52xy（A）10 （B）20 （C）30 （D）6011圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）812设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，使
5、得()fx1)ex0x0，则 的取值范围是（ ）()fxa第 4 页 共 24 页（A）- ，1） （B）- ， ） （C） ， ） （D）32e32e432e4 ，1）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若函数 f（x）= 为偶函数，则 a= 2ln()xa14一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则2164y该圆的标准方程为 .15若 满足约束条件 ，则 的最大值为 .,xy104xyyx16在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17
6、-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17 （本小题满分 12 分） 为数列 的前 项和.已知 0， =nSnana2na.43nS第 5 页 共 24 页（）求 的通项公式；na（）设 ,求数列 的前 项和.1nbnb18如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面 AEC平面 AFC；（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.第 6 页 共 24 页19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x
7、（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量 （ =1,2，8）数据作了初步ixiy处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. xyw821()iix821()iiw81()iiixy81()iiiwy46.656.36.8 289.8 1.6 1469 108.8表中 ， =iiwx18iw（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关x于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与
8、x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？第 7 页 共 24 页（）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据 , ， ,其回归线 的斜1()uv2()nuvvu率和截距的最小二乘估计分别为：20 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，曲线 C：y= 与直线xoy24x（ 0）交与 M,N 两点，ykxa第 8 页 共 24 页（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.21 （本小题满分 1
9、2 分）已知函数 f（x）= .31,()ln4axgx（）当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；()yf（）用 表示 m,n 中的最小值，设函数min,，讨论 h（x）零点的个数.()()(0)hxfxg第 9 页 共 24 页22 （本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是 的直径，AC 是 的切线，BC 交 于 E. （）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 的切线；（）若 ，求ACB 的大小. 3OACE23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐xOy1Cx22211xy标原点为极点， 轴的正
10、半轴为极轴建立极坐标系.（）求 ， 的极坐标方程；1C2第 10 页 共 24 页（）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求3C4R2C3MN的面积. 2MN24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a0.（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.第 11 页 共 24 页2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I 卷)理科数学试卷参考答案第卷一、选择题：1答案:A 解:由 得， = = ，故|z|=1，故选 A.zi1i()1ii2答案:
11、D解:原式= = = ，故选 D.oosin20c1s20in1osi30123答案:C解: : ，故选 C.p2,nN4答案:A解:根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选 A.2330.6.C5答案:A第 12 页 共 24 页解:由题知 ， ，所以 = 12(3,0)(,)F201xy12MF= ，解得 ，00(3,)(,)xyxy2200303y故选 A.6答案:B解:设圆锥底面半径为 r，则 = ，所以米堆的体积为12384r16= ，故堆放的米约为 1.6222，故选 B.213()54309097答案:A解:由题知= ，故选 A.11()33ADCABCA
12、B143AC8答案:D解:由五点作图知， ，解得 ， ，所以1+4253=4，令 ，解得 ()cos)4fx,4kxkZ124kx， ，故单调减区间为（ ， ） ， ，故选 D.32kZ12349答案:C解:执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-12m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第 2 次，S=S-2mm=0.25, =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=S-m=0.125, =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625,
13、=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第2m5 次，S=S-m=0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，第 13 页 共 24 页执行第 6 次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，2m循环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出2mn=7，故选 C.10答案:C解:在 的 5 个因式中，2 个取因式中 剩余的 3 个因式中 1 个取2()xy2x，其余因式取 y,
14、故 的系数为 =30，故选 C.x2153C11答案:B解:由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为= =16 + 20 ，解得 r=2，故选 B.2214rr254r12答案:D解:设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得()gx21)eyax0x在直线 的下方.0y因为 ，所以当 时， 0，当 时，()21)xge12x()gx120，所以当 时， = ， max()12-e当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，x()g(1)30eyaa故 ，且 ，解得 1，故选 D.0a1a32e第 14 页 共 2
15、4 页二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13答案:1解:由题知 是奇函数，所以2ln()yxa= ，解得 =1.2ln()xax2ln()ln0axaa14答案: 235(4y解:设圆心为（ ，0） ，则半径为 ，则 ，解得 ，aa22(4)a3a故圆的方程为 .235()4xy15答案:3解:作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点yx与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为 3.yx16答案:（ ， ）62+第 15 页 共 24 页解:如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重
16、合与 E 点时，AB最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得，即 ，解得 = ，平移 AD ，当 DsiniBCEoo2sin30i75B6+2与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知， ，即 ，sisinCoo2sin30i75BF解得 BF= ，所以 AB 的取值范围为（ ， ）.6262+三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17答案:（） （）21n164n解:试题分
17、析：（）先用数列第 项与前 项和的关系求出数列 的递na推公式，可以判断数列 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写na出数列 的通项公式；（）根据（）数列 的通项公式，再用拆na nb项消去法求其前 项和.试题解析：（）当 时， ，因为 ，所以1211143+aSa0n=3，1a当 时， = = ，即2n221nna143nnS4na，因为 ，所以 =2，1()()()a01第 16 页 共 24 页所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，na所以 = ；n21（）由（）知， = ，nb11()(2)323n所以数列 前 n 项和为 =12nb= .1()()()23573 164
18、18答案:（）见解析（）解:试题分析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD中，不妨设 GB=1 易证 EGAC，通过计算可证 EGFG，根据线面垂直判定定理可知 EG平面 AFC，由面面垂直判定定理知平面 AFC平面AEC；（）以 G 为坐标原点，分别以 的方向为 轴，y 轴正方向，,GBCx为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，利用向量法可求出异面直线|BAE 与 CF 所成角的余弦值.解析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB=1，由ABC=120，可得 AG=GC= .3由 BE平面 AB
19、CD，AB=BC 可知，AE=EC，又AEEC，EG= ，EGAC，3在 RtEBG 中，可得 BE= ，故 DF= .22在 RtFDG 中，可得 FG= .62第 17 页 共 24 页在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= ，DF= 可得 EF= ，232 ，EGFG，22EGFACFG=G，EG平面 AFC，EG 面 AEC，平面 AFC平面 AEC. （）如图，以 G 为坐标原点，分别以 的方向为 轴，y 轴正方向，,GBCx为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可得|BA（0， ，0） ，E（1,0, ） ，F（1,0， ） ，C（0， ，0） ，3223=（1
20、， ， ） ， =（-1，- ， ）.10 分EC3故 .cos, 3|AEF所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 . 19答案:（） 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归方ycdxyx程类型；（） （）46.2410.68解:试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；第 18 页 共 24 页（）令 ，先求出建立 关于 的线性回归方程，即可 关于 的回wxywyx归方程；（） （）利用 关于 的回归方程先求出年销售量 的预报值，x再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，列出
21、关于 的方程，利用x二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断， 适合作为年销售 关于年宣传费用ycdxy的回归方程类型.x（）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于wxyw= ，812()iiiiiyd108.6 =563-686.8=100.6.cydw 关于 的线性回归方程为 ，10.68yw 关于 的回归方程为 .yx.x（） （）由（）知，当 =49 时，年销售量 的预报值y=576.6，10.6849y. 57.263z（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，0.2(168)13.620.zxx当 = ，即 时， 取得最大值.x3
22、.4.z故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分第 19 页 共 24 页20答案:（） 或 （）存在0axy0axy解:试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将 代入曲线 C 的方程整理成关于ykxa的一元二次方程，设出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直x线 PM，PN 的斜率之和用 表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求a出 关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.,ab解析：（）由题设可得 ， ，或 ，(2,)Ma(2,)Na(2,)Ma.(2,)Na ，故 在 = 处的到数
23、值为 ，C 在 处的切线1yx24yxaa(2,)a方程为，即 .(2)yaxa0xya故 在 =- 处的到数值为- ，C 在 处的切线方程为4 (2,)a，即 .(2)yaxa0xya故所求切线方程为 或 .（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线 PM，PN 的斜率1(,)Mxy2(,)Nxy分别为 .12,k将 代入 C 得方程整理得 .yxa240xka .12124,k第 20 页 共 24 页 = = .1212ybkx1212()kxabx()kab当 时，有 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，a12k故OPM=OPN，所
24、以 符合题意. (0,)Pa考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力21答案:（） ；（）当 或 时， 由一个零点；34a34a5()hx当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个34a5()hx34a零点.解:试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 值；（）根据对数函数的图像与性质将 分为a x研究 的零点个数，若零点不容易求解，则对 再分类1,01xx()hx a讨论.试题解析：（）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ，()yfx0(,)x0()fx，即 ，解得 .0()fx30214xa013,24a因此，当 时， 轴是曲线 的切
25、线. 34ax()yfx（）当 时， ，从而(1,)()ln0g，()minhxfxx 在（1，+）无零点.()当 =1 时，若 ，则 ， ,x54a5(1)04fa(1)min(),1()0hfg第 21 页 共 24 页故 =1 是 的零点；若 ，则 ，x()h54a5(1)04fa,故 =1 不是 的零点.(1)min,1()0fgfxhx当 时， ，所以只需考虑 在（0,1）的零点个数.0,xlnx()f（）若 或 ，则 在（0,1）无零点，故 在3a02()3fxa()fx（0,1）单调，而 ， ，所以当 时， 在1()4f543（0，1）有一个零点；当 0 时， 在（0，1）无零点
26、.a()fx（）若 ，则 在（0， ）单调递减，在（ ，1）单3()fx3a3a调递增，故当 = 时， 取的最小值，最小值为 =xa()f ()f.2134a若 0，即 0， 在（0,1）无零点.()f34a()fx若 =0，即 ，则 在（0,1）有唯一零点；()3af()fx若 0，即 ，由于 ， ，所以当()f34a1(0)4f5()4fa时， 在（0,1）有两个零点；当 时， 在534a()fx3()fx（0,1）有一个零点.10 分综上，当 或 时， 由一个零点；当 或 时，34a5()hx4a5有两个零点；当 时， 有三个零点. ()hx34a22第 22 页 共 24 页答案:（）
27、见解析（）60解:试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以 DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由得，AB= ，设 AE= ，由勾股定理得 ，由直角3OACE23x21BEx三角形射影定理可得 ，列出关于 的方程，解出 ，即可求出ACEBxACB 的大小.试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB，在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是
28、圆 O 的切线.（）设 CE=1，AE= ,由已知得 AB= ， ，x2321BEx由射影定理可得， ，2AEC ，解得 = ，ACB=60. 221xx323第 23 页 共 24 页答案:（） , （）cos2cos4in012解:试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 ， 的极1C2坐标方程；（）将将 代入 即可求出=42cos4in0|MN|，利用三角形面积公式即可求出 的面积.2CMNA试题解析：（）因为 ，cos,inxy 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为1C2.5 分2cos4in0（）将 代入 ，得 ，=2cos4in02340解得 = ， = ，|MN|= =
29、 ，12212因为 的半径为 1，则 的面积 = .2C2CMNAo1sin45224答案:（） （） （2，+）2|3x解:试题分析：（）利用零点分析法将不等式 f（x）1 化为一元一次不等式组来解；（）将 化为分段函数，求出 与 轴围成三角形的顶()fx()点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于 的不等式，即可解出a的取值范围.a试题解析：（）当 a=1 时，不等式 f（x）1 化为|x+1|-2|x-1|1，等价于 或 或 ，解得12x121x2x，23第 24 页 共 24 页所以不等式 f（x）1 的解集为 . 2|3x（）由题设可得， ，1,()2,afx所以函数 的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ，()fx 21(,0)3aA， ，所以ABC 的面积为 .(21,0Ba,+1Ca2(1)3a由题设得 6，解得 .2()32所以 的取值范围为（2，+）. a
