1、第 3 章 数系的扩充与复数的引入 第 1 课时 数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾 .一、 问题情境怎样将实数集进行扩充,使得 x2=-1 之类方程在新的数集中有解呢?二、 数学建构问题 1 怎样解决 -1 也能开平方的问题?解 引入虚数单位 i,规定: i2=-1; 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 .i 是 -1 的一个平方根 .问题 2 根据虚
2、数单位的规定,得到形如 a+bi(a,bR) 的数,这样的新数由两部分组成 ,用怎样的名词定义这样的新数?解 复数的定义:形如 a+bi(a,bR) 的数叫复数, a 叫复数的实部 ,b 叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示 . 复数的代数形式:复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a,bR),把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代数形式 .问题 3 复数与实数有什么关系?解 对于复数 a+bi(a,bR),当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a,bR)是实数 a;当 b0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b0 时, z=bi 叫做纯虚数
3、;当且仅当 a=b=0 时, z 就是实数 0.(图 1)学生分组活动活动 1 复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系?活动 2 如何对复数 a+bi(a,bR)进行分类?活动 3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?问题 4 a=0 是 z=a+bi 为纯虚数的充分条件吗?解 是必要不充分条件 .问题 5 两个复数相等的充要条件是什么?解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,dR,那么 a+bi=c+dia=c,b=d.问题 6:任何两个复数都能比较大小吗?解 如果两个复数都是实数,就可以比较大小
4、;当两个复数不全是实数时,不能比较大小 .三、 数学运用【例 1】 (教材第 110 页例 1)写出复数 4,2-3i,0,-+i,5+ i,6i 的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数 .1(见学生用书 P54)处理建议 让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成 .规范板书 解 4,2-3i,0,-+i,5+ i,6i 的实部分别是 4,2,0,-,5,0;虚部分别是 0,-3,0, ,6.4,0 是实数;2 -3i,-+i,5+ i,6i 是虚数,其中 6i 是纯虚数 .题后反思 对于复数 z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它
5、,把复数 z 看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它 .这是解复数问题的重要思路之一 .变式 实数 0 是复数吗?i 2 的实部与虚部分别是什么?规范板书 解 0 是复数;由 i2=-1 知,i 2 实部为 -1,虚部为 0.【例 2】 (教材第 110 页例 2)实数 m 取什么值时,复数 z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书 P54)(1) 实数?(2) 虚数?( 3) 纯虚数? 2处理建议 先分析,注意字母的取值范围 .由 mR 可知( m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m 的值 .然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解 .尤其观察
6、学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式 .规范板书 解 (1) 当 m-1=0,即 m=1 时,复数 z 是实数 .(2) 当 m-10,即 m1 时,复数 z 是虚数 .(3) 当 m(m-1)=0,且 m-10,即 m=0 时,复数 z 是纯虚数 .题后反思 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式 .变式 m 取何实数时,复数 z= +(m2-2m-15)i 是:(1) 实数?(2) 虚数?( 3) 纯虚数?规范板书 解 (1) 由解得所以当 m=5 时, z 是实数 .(2) 由 得所以当 m5 且 m -3 时
7、, z 是虚数 .(3) 由 得所以当 m=3 或 m=-2 时, z 是纯虚数 .题后反思 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母 m+30,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的 .【例 3】 (教材第 111 页例 3)已知( x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数 x,y 的值 .3(见学生用书 P54)处理建议 要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解 .规范板书 解 根据两个复数相等的充
8、要条件,可得 解得 题后反思 复数问题实数化 .变式 已知 M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,P=-1,1,4i,若 M P=P,求实数 m 的值 .规范板书 解 因为 M P=P,所以 MP. 由( m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得 解得 m=1. 由( m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得 解得 m=2.综上可知 m=1 或 m=2.题后反思 (1) 复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据 .(2) 根据复数相等的定义可知,在 a=c,b=d 中,只要有一个不成立,那么 a+bi c+di.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,
9、例如,1 +i 和 3+5i 不能比较大小 .*【例 4】 已知复数 z=k2-3k+(k2-5k+6)i(kR),且 z0,求 k 的值 .4处理建议 分析条件,由 z0 知 zR 且实部为负数 .规范板书 解 因为 z0,kR,所以 所以 k=2.题后反思 只有两个复数都是实数时,才能比较大小 .一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i 和 3i 不能比较大小 .四、 课堂练习1. 设 C=x|x 为复数, A=x|x 为实数, B=x|x 为纯虚数,全集 U=C,那么下列结论正确的是 .(填序号) A B=C; UA=B; A UB=;B UB=C.2. 已知 a,
10、bR,则 a=b 是( a-b)+(a+b)i 为纯虚数的必要不充分条件 .3. 已知复数 z=m2 (1+i)-(m+i)(mR),若 z 是实数,则 m 的值为 1;若 z 是虚数,则 m 的取值范围是( - ,-1)( -1,1)(1, + );若 z 是纯虚数,则 m 的值为 0 . 提示 z=(m2-m)+(m2-1)i.当 m2-1=0,即 m=1 时,复数 z 是实数 .当 m2-10,即 m 1 时,复数 z 是虚数 .当 m2-m=0,且 m2-10,即 m=0 时,复数 z 是纯虚数 .4. 若实数 x,y 满足( x+y)+(x-y)i=2,则 xy 的值是 1 . 提示
11、 由( x+y)+(x-y)i=2(x,yR)得 所以 所以 xy=1.五、 课堂小结1. 本节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念 .2. 基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 .第 2 课时 复数的四则运算(1) 教学过程一、 问题情境由(2 +3x)+(1-4x)=3-x 类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢?例如,(2 +3i)+(1-4i)=3-i 是否合理?二、 数学建构问题 1 在复数集中两个复数如何进行加法运算?解
12、在引入虚数单位 i 的过程中,规定 i 与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算 .在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:规定:若 z1=a+bi,z2=c+di,则 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.问题 2 在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律?在复数范围内,能否也成立?问题 3 怎样理解复数的减法法则?解 复数减法是复数加法的逆运算 .设( a+bi)-(c+di)=x+yi(x,yR),即复数 x+yi 为复数 a+bi 减去复数 c+di 的差 .由规定,得( x+yi)+(c+di)=a+bi,依据加法法则,得( x+c)+(y+d)i
13、=a+bi,依据复数相等定义,得即故( a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.从而记 z1=a+bi,z2=c+di,得 z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.问题 4 初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简( a+b )(c+d )吗( a,b,c,d 是有理数)?积还是无理数吗?若将“ ”换为“i”,其中 i 是虚数单位,能化简吗?( a,b,c,d 都是实数 )解 (a+b )(c+d )=ac+ad +bc +bd =(ac+2bd)+(ad+bc) .因为 a,b,c,dQ,所以 ac,2bd,ad,bc 都是有理数 .所以 ac+2bdQ,
14、 ad+bcQ .而 是无理数,当 ad+bc0 时,( a+b )(c+d )是无理数 .又( a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为 i2=-1,所以才能合并 ) 因为 a,b,c,dR,所以 ac-bdR, ad+bcR .所以( ac-bd)+(ad+bc)i 是复数 .这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么它们的积( a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘
15、,在所得的结果中把 i2 换成 -1,并且把实部与虚部分别合并 .两个复数的积仍然是一个复数 .问题 5 实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗?解 实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律 .这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3C,有(1) z1z2=z2z1;(2) (z1z2)z3=z1(z2z3);(3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把 i2 换成 -1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式 .问题 6 复数 z=a+bi 的共轭复数是什么?特别地,实数 a 的共轭复数是什么?解 =a-b
16、i;实数的共轭复数是它本身 .三、 数学运用【例 1】 (教材第 114 页例 1)计算:(1 -3i)-(2+5i)+(-4+9i).1(见学生用书 P55)处理建议 类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减 .规范板书 解 原式 =(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.题后反思 不要省略步骤,提高运算的正确率 .变式 计算(1 -2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(-2002+2003i)+(2003-2004i).规范板书 解法一 原式 =(1-2+3-4+-2002+2003)+(-2+3-4+5+2003-2004)i=(2003-1001)+(1
17、001-2004)i=1002-1003i.解法二 因为(1 -2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2001-2002i)+(-2002+2003i)=-1+i,相加得(共有 1001 个式子):原式 =1001(-1+i)+(2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.【例 2】 (教材第 114 页例 2)计算( -2-i)(3-2i)(-1+3i).2(见学生用书 P56)处理建议 3 个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第 3 个复数相乘 .规范板书 解 原式 =(-8+i)(-1+3i)=
18、5-25i. 题后反思 也可以计算后两个复数的积,再与第 1 个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律 .【例 3】 (教材第 114 页例 3)计算( a+bi)(a-bi).3(见学生用书 P56)处理建议 类比多项式平方差公式,要记得把 i2换成 -1.规范板书 解 原式 =a2-(bi)2=a2+b2.题后反思 在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式 .变式 在复数范围内分解因式:(1) x2+4;(2) x4-4.规范板书 解 (1) x2+4=(x+2i)(x-2i).(2) x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+ i)(x- i)(x+ )(x- ).*【例 4】 已知 z=
19、(3i-1)i,则 =-3+i.4处理建议 先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果 .规范板书 解 z=(3i-1)i=-3-i,所以 =-3+i.题后反思 认清符号 表示 z 的共轭复数 .*【例 5】 已知 z -3i =1+3i,求复数 z.5处理建议 这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组 .规范板书 解 设 z=a+bi(a,b R),则 a2+b2-3i(a-bi)=1+3i,所以有 a2+b2-3b=1 且 -3a=3,解得 a=-1,b=0 或 b=3,故 z=-1 或 z=-1+3i.题后反思 待定系数法解复数方程 .四、 课堂练习1. 计
20、算:(6 +6i)+(3-i)-(5-3i)= 4+8i . 提示 (6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.2. 复数 z=i2(1+i)的虚部为 -1 . 提示 z=i2(1+i)=(-1)(1+i)=-1-i,所以虚部为 -1.3. 若复数 z=-1+2i,则复数 的虚部是 -2 . 提示 因为 z=-1+2i,所以 =-1-2i,所以虚部为 -2.4. 把复数 z 的共轭复数记作 ,i 为虚数单位,若 z=1+i,则(1 +z) = 3-i . 提示 (1+z) =(2+i)(1-i)=3-i.5. (教材第 115 页练习 6)求满足下列条件
21、的复数 z:(1) z+i-3=3-i; (2) +(3-4i)=1;(3) (3-i)z=4+2i; (4) ( -i)z= +i.解 (1) z=6-2i.(2) =-2+4i,z=-2-4i.(3) z= = =1+i.(4) z= = =+ i.五、 课堂小结1. 这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算 .2. 基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算 .6第 3 课时 复数的四则运算(2) 教学过程一、 问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算 .类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、 数学建构问题 1 复数的除法法则是什么?解 设复数 a+bi(a,bR)除
22、以 c+di(c,dR),其商为 x+yi(x,yR),其中 c+di0,即( a+bi)(c+di)=x+yi.因为( x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以( cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等的定义可知 解这个方程组,得于是有( a+bi)(c+di)= + i.由于 c+di0,所以 c2+d20,可见两个复数的商仍是一个复数 .利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解 .问题 2 初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而 c+di 的共轭复数是 c-di,能否模仿分母有理化的方法对复数商
23、的形式进行分母实数化?解 = = + i.所以( a+bi)(c+di)= + i.三、 数学运用【例 1】 i+i2+i3+i2 010+i2 011+i2 012.1(见学生用书 P57)处理建议 in是周期出现的,i n+in+1+in+2+in+3=0(nN *).规范板书 解 原式 =(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.题后反思 可能有学生考虑用等比数列求和公式 .原式 = =0,这个方法也很好 .变式 计算 i+2i2+3i3+1 997i1 997.规范板书 解 原式 =(i-2-3i+4)+(5i
24、-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499(2-2i)+1 997i=998+999i.【例 2】 (教材第 116 页例 4)设 =- + i,求证:(1) 1+ 2=0; (2) 3=1;(3) 2= , =. 2(见学生用书 P57)处理建议 先计算 2,再做加法 .规范板书 证明 (1) 1+ 2=1+ +=+ i+ -2 i+=+ i+- i-=0.(2) 3= +3 i+3 +=-+ i+- i= + i=1.(3) =1,由(2) 知 2= = = ,同理 =.题后反思 对于第(2)小题,也可以这样做,要证
25、 3=1,只要证 3-1=0 即可 .由 3-1=(- 1)( 2+ 1)=(- 1)0=0,由此可知,1 有 3 个立方根:1, , .变式 设 z=+ i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2) z3=1;(3) z2=- . 规范板书 解 由例 2 知 z=+ i=- ,所以 =-.(1) 1-z+z2=1+ +(- )2=1+ += 0.(2) z3=(- )3=1.(3) z2=(- )2=- .【例 3】 计算:(1 +2i)(3-4i).3(见学生用书 P58)处理建议 用两种方法做复数的除法运算 .规范板书 解法一 设(1 +2i)(3-4i)=x+yi,所以 1+2i=(3-
26、4i)(x+yi),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以 3x+4y=1 且 3y-4x=2.所以 x=-,y=.所以(1 +2i)(3-4i)=-+i.解法二 (1+2i)(3-4i)= = =-+i.题后反思 解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想 .变式 计算 .解 原式 = = = =1-i.*【例 4】 计算 + .4处理建议 先计算 =-i,再利用 in的周期性;对于 ,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找 a+bi与 b-ai 之间的关系 .规范板书 解原式 = +=-i+(-i)1997=-2i.题
27、后反思 在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度 .又如(1 +i)2=2i,(1-i)2=-2i, =-i,= = =i.变式 计算:i2 007+( + i)8- + .解 原式 =i4501+3+2(1+i)24- +=i3+(4i)4- +i=-i+256+ +i=256+=256-i.*【例 5】 已知 z2=8+6i,求复数 f(z)=z3-16z- 的值 .5处理建议 利用待定系数法,求出 z,再代入求 f(z).规范板书 解 设 z=x+yi(x,y R),所以由 得 y=,代入 得 x2- =8,所以 x4-8x2-9=0,所以 x2=9 或 x2=-
28、1(舍去) .所以 x=3.当 x=3 时, y=1;当 x=-3 时, y=-1.所以 z=(3+i).当 z=3+i 时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)- =33+332i+33i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当 z=-3-i 时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)- =-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.题后反思 通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值 .四、 课堂练习1. 复数 -i+= -2i . 提示 -i+=-i-i=-2i.2. 计算: (1)
29、;(2) .解 (1) = = - i.(2) 解法一 = =i.解法二 = = =i.3. = -i . 解 =i2 011=i3=-i.4. 在复数范围内写出方程 x4=1 的根 .解 x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程 x4=1 的根为 1,-1,i,-i.五、 课堂小结1. 在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答 .在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2= 2i ,(1-i)2= -2i , = i , = -i ; 若 =- + i,则 1+ 2=0, 3=1;=
30、 = =i.2. 在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1) 由于对 i 的性质掌握不准确致误 . 如“i 2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误 .事实上,i 2=-1,i4=1. (2) 在计算除法运算时出错 . 因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误 .第 4 课时 复数的几何意义教学过程一、 问题情境实数可以用数轴上的点来表示 .实数 数轴上的点 .类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、 数学建构问题 1 怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解 复数 z=a+bi(a,bR)与有序实数对( a,b)是一一对应关系,而有序实
31、数对( a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的 ,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系 .复数 z=a+bi(a,bR)可用点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实数 . 因为原点对应的有序实数对为(0,0 ),它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数 .故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 .问题 2 复数与从原点出发的向量是如何对应的?解 复数 z=a+bi(a,bR)的对应向量 是以原点 O 为起点的,否则就谈不上一一对应 .问题 3 我们知道任何一
32、个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么 我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解 |z|= = | |,表示复平面内该点到原点的距离 .问题 4 既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢? 1 问题 5 复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义? 2解 |z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 .通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平
33、面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系 .三、 数学运用【例 1】 (教材第 121 页例 1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2 +i,-i,-1+3i,3-2i.3(见学生用书 P59)处理建议 让学生上黑板画图,体会复数 z=a+bi(a,bR)可用点 Z(a,b)表示,也可以用原点 O 为起点的向量 表示 .规范板书 如图,点 A,B,C,D,E 分别表示复数 4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例 1)与之对应的向量可用 , , , , 来表示 .题后反思 了解复数的两种几何表示,常把复数 z=a+bi 说成点 Z 或向量 .变式 1 在复平面内分别用点表示复数 2-3i,5i,-3,-5+3i 及其共轭复数 .规范板书 解 复数 2-3i,5i,-3,-5+3i 表示的点分别为 A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A,B,C,D.作图如下:
