1、第 8 课时 本章复习(2)教学过程一、 知识梳理实际应用问题的处理方法和步骤归纳:(1) 一般步骤: 分析:理解题意,分清已知与未知 ,画出示意图; 建模:根据已知条件与求解目标, 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型; 求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解; 检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.(2) 实际应用问题常有以下几种情形: 实际问题经抽象概括后, 已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解; 实际问题经抽象概括后, 已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在
2、几个三角形中求出问题的解; 实际问题经抽象概括后, 涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.二、 数学运用正弦定理、余弦定理的应用包括两大方面:一是数学内部的应用; 二是实际应用. 那么, 正弦定理、余弦定理能解决实际应用中哪些方面的问题?下面我们来看一看在实际应用问题中的运用.(一) 与距离有关的问题【例 1】 如图,A,B ,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B ,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶. 在水面 A 处的船上测得 B,D 两点的仰角分别为 75和 30,在水面 C 处的船上测得 B,D两点的仰角均为 60,AC=0.1km.(例 1)(1
3、) 求证:AB=BD.(2) 求 BD 的长. 1 (见学生用书课堂本 P15)处理建议 思路解析:(1) 由已知角度不难求得 BCD,且易得 AC=DC 关系,利用三角形全等可得 AB=BD;(2) 求 BD 只需将其转化在某个三角形中利用已知条件即可求.规范板书 证明 (1) 在ACD 中, DAC=30,ADC=60-DAC=30, CD=AC.又BCD=180-60-60=60, BCD=BCA, ACBDCB. BD=BA.(2) 在ABC 中,由正弦定理得 AB= = = , BD=AB= (km).题后反思 (1) 要让学生熟练掌握正、余弦定理的应用;(2) 注意平面几何知识在求
4、解过程中的应用.变式 如图,公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇, 且 QPN=30,在 A 处有一所中学, AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围 100m 以内会受到噪声的影响 ,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到影响?请说明理由; 如果学校受到影响,已知拖拉机的速度为 18km/h,那么学校受影响的时间为多少?(变式)规范板书 解 作 ABMN,垂足为 B.在 RtABP 中, ABP=90,APB=30, AB=PA=80(m). 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,所以这所中学会受到噪声的影响.如图,若以 A 为圆心、 100m 长为半径画圆, 那
5、么A 和直线 MN 有两个交点,设交点分别为 C,D,连结 AC 和 AD,则 AC=AD=100m.根据勾股定理和垂径定理得CD=2CB=2 =120(m), 学校受到噪声影响的时间为 3600=24(s).(二) 与高度有关的问题【例 2】 某人在山顶观察地面上相距 2500m 的 A,B 两个目标, 测得 A 在南偏西 57的方向上,俯角为 30,同时测得 B 在南偏东 78的方向上, 俯角是 45,求山高.(设 A,B 与山底在同一平面上,计算结果精确到 0.1m)2 (见学生用书课堂本 P15)处理建议 让学生分析思路:(1) 在 RtAPQ 和 RtBPQ 中,用高表示 AQ,BQ
6、;(2) 在斜 ABQ 中,利用余弦定理建立方程,解出高.规范板书 解 画出示意图(如图) .(1)(2)(例 2)设山高 PQ=h,则在 RtAPQ 和 RtBPQ(如图(1)中,AQ= = h,BQ= =h.在斜ABQ( 如图 (2)中,AQB= 57+78=135,所以由余弦定理得 AB2=AQ2+BQ2-2AQBQcosAQB,即 25002= +h2-2 hhcos135,解得 h= 984.4(m).所以山高约 984.4m.题后反思 (1) 在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角;(2 ) 准确理解题意,分清已知与所求 ,画出示意图;
7、(3 ) 运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用.变式 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C与 D.现测得BCD=75 ,BDC=60,CD=s,并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30,求塔高 AB.(变式)规范板书 解 在BCD 中, CBD=180-(75+60)=45,由正弦定理得 BC= = s.在 RtABC 中,AB=BCtan30= s.所以塔高 AB 为 s.(三) 与角度有关的问题【例 3】 在海岸 A 处,发现北偏西 75的方向、距离 A 处 2n mile 的 B 处有一艘走私船,
8、若在 A 处北偏东 45的方向、距离 A 处( -1)n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 n mile/h 的速度追截走私船,此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处沿北偏西 30的方向逃窜,问:缉私船沿什么方向才能最快追上走私船?所需时间为多少? 3 (见学生用书课堂本 P16)处理建议 思路解析:本例考查了正弦定理、余弦定理的建模应用.如图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在 D 处相遇,则可先在 ABC 中求出 BC,再在BCD中求 BCD.规范板书 解 设 xh 后,它们在 D 处相遇, 则 CD=10 xn mile,BD=10xn mile,
9、CBD=120.(例 3)在ABC 中,AB=2,AC= -1,BAC=120,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=22+-22( -1)cos120=6, BC= .而 sinACB= = = , ACB=45, BC 与正北方向垂直.在BCD 中,CBD=90+30=120,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD,即= +(10x)2-2 10xcos120,整理得 200x2-10 x-6=0,解得 x= 或 x=- (舍去).因此,在BCD 中,BD= ,CD=3 ,CBD=120.由正弦定理得 sinBCD= = =, BCD=30.
10、缉私船沿北偏西 60的方向才能最快追上走私船 ,所需时间为 h.题后反思 (1) 测量角度,首先应明确方位角、方向角等含义;(2) 在解应用题时,应先分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中要注意体会正、余弦定理“ 联袂” 使用的优点.变式 如图,已知海中一小岛 A 周围 38n mile 内有暗礁, 一船正在向南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30的方向上 ,船航行 30n mile 后,在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45的方向上,如果此船不改变航向 ,继续往南航行,有无触礁的危险?(变式)处理建议 船
11、继续向南航行,有无触礁的可能取决于 A 到直线 BC 的距离是否大于38n mile.于是我们只要先算出 AC(或 AB)的大小,再算出 A 到直线 BC 的距离,将它与 38n mile 比较即可得到答案.规范板书 解 在ABC 中, BC=30,B=30,ACB=135, A=15.由正弦定理得 = ,即 = , AC= =15( + ). A 到直线 BC 的距离为 ACsin45=15( +1)40.98(n mile),它大于 38n mile,因此船不改变航向,继续向南航行,没有触礁的危险.四、 课堂练习1. 如图,在ABC 中,已知 B=45,D 是 BC 边上的一点,AD=10
12、 ,AC=14,DC=6,则 AB 边的长为 5 .(第 1 题)2. 已知锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=5.3. 某人在 C 点测得某塔在南偏西 80的方向上,塔顶仰角为 45,此人沿南偏东 40的方向前进 10m 到达 D 点,测得塔顶 A 的仰角为 30,求塔高.解 如图,设塔高为 h,在 RtACO 中, ACO=45,则 OC=OA=h.在 RtADO 中, ADO=30,则 OD= h.在OCD 中,OCD=80+40=120,CD=10, 由余弦定理得 OD2=OC2+CD2-2OCCD cosOCD,即( h)2=h2+102-2h10cos120,整理得 h2-5h-50=0,解得 h=10 或 h=-5(舍去) .答:塔高为 10m.(第 3 题)五、 课堂小结有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是 :(1) 准确理解题意,分清已知与所求, 尤其要理解应用题中的有关名词和术语;(2) 画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3) 分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,合理运用正弦定理和余弦定理求解.
