1、第 11 课时 三角函数的图象与性质(2)教学过程一、 问题情境前一课时我们学习了正弦函数、余弦函数图象的画法,请同学们画出它们的图象.你能根据图象总结出正弦函数、余弦函数的性质吗?二、 数学建构问题 1 通过前面的学习,我们所研究的函数性质主要有哪些?(函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性)问题 2 能否根据图象观察出正弦函数、余弦函数的定义域?( 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R)问题 3 正弦函数、余弦函数的值域是否也是 R 呢?它们是否有最值?(由正弦曲线和余弦曲线可以发现,-1sinx1, -1cosx1,而且 sinx, cosx 都可以取-1 , 1中的一切值,这说
2、明:正弦函数、余弦函数的值域都是 -1, 1,而且对于正弦函数当且仅当x=+2k (kZ)时取得最大值 1,当且仅当 x=-+2k (kZ)时取得最小值-1; 对于余弦函数当且仅当x=2k (kZ)时取得最大值 1,当且仅当 x=(2k+1) (kZ)时取得最小值-1 )问题 4 正弦函数、余弦函数的周期性如何 ,奇偶性又如何?(正弦函数和余弦函数都是周期函数, 并且周期都是 2;正弦函数是奇函数,其图象关于原点对称;余弦函数是偶函数 ,其图象关于 y 轴对称)问题 5 你能根据正弦函数图象说出正弦函数的单调性吗?类似地, 余弦函数的单调性呢?(由正弦曲线可以看出,当 x 由-增大到时, 曲线
3、逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1;当 x 由增大到 时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1.这个变化情况如下表所示:x - 0 sinx -1 0 1 0 -1由正弦函数的周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间 -+2k, +2k (kZ)上都是单调增函数,其值由-1 增大到1;在每一个闭区间 (kZ)上都是单调减函数 ,其值由 1 减小到-1.余弦函数在每一个闭区间- +2k, 2k (kZ)上都是单调增函数,其值由-1 增大到 1;在每一个闭区间2k,+2k (kZ)上都是单调减函数,其值由 1 减小到-1) 通过以上讨论,我们给出了正弦函数、余弦函数的 5 条基本性质
4、( ),在平时的学习中要注意养成利用图象认识、研究、记忆函数性质的习惯, 要做到以图识性, 以图记性.三、 数学运用【例 1】 求下列函数的定义域:(1) y=sin2x; (2) y=lgcosx.(见学生用书 P21)处理建议 由正、余弦函数的定义域出发,结合正、余弦函数的图象,解简单的三角函数不等式.规范板书 解 (1) 因为正弦函数的定义域为 R,要使函数 y=sin2x 有意义, 必须 2xR,解得 xR,即函数 y=sin2x 的定义域为 R.(2) 要使函数 y=lgcosx 有意义,必须 cosx0,结合余弦函数的图象,解得 x -+2k, +2k (kZ),即函数 y=lgc
5、osx 的定义域为(kZ).题后反思 根据正、余弦函数性质可知正、余弦函数对变量的取值没有限制,而解有关三角函数不等式,可以利用三角函数的图象来处理.变式 求下列函数的定义域:(1) y= ;(2) y= + .处理建议 要启发学生利用图象解决含 sinx, cosx 的不等式问题.解 (1) 函数的定义域为x|x +2k, kZ;(2) 函数的定义域为 (kZ). 【例 2】 (根据教材第 30 页例 2 改编)求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合,并写出最大值是什么;同时指出函数图象的对称轴和对称中心.(1) y=cos; (2) y=2-sin2x.(见学生用书 P21)处理建议
6、引导学生要有整体角的概念.在第(1)小题中 ,角相当于余弦函数中的角 x;在第(2) 小题中,角 2x 相当于正弦函数中的角 x.这样就可以把已知的函数看成正、余弦函数了.规范板书 解 (1) 函数 y=cos 的最大值为 1.因为使 cosz 取得最大值的 z 的集合为 z|z=2k, kZ,令 z=,由=2 k,得 x=6k (kZ).所以,使函数 y=cos 取得最大值的 x 的集合为 x|x=6k, kZ.函数图象的对称轴是直线 x=3k (kZ),对称中心是点 (kZ).(2) 函数 y=2-sin2x 的最大值为 2-(-1)=3.因为使 sinz 取得最小值的 z 的集合为 z|
7、z=-+2k, kZ,令 z=2x,由 2x=2k-,得 x=k-,所以,使函数 y=2-sin2x 取得最大值的 x 的集合为x|x=k-, kZ.函数图象的对称轴是直线 x= + (kZ),对称中心是点 (kZ).题后反思 要启发学生利用代换的思想将所研究的问题转化到熟悉的基本函数中,这种整体代换的思想在数学解题中有很大的应用,要注意在教学中逐步渗透.变式 1 求函数 y=sin 在区间(0, )上的值域.变式 2 求函数 y=cos , x 的最值, 并求出相应的 x 的值.处理建议 利用整体代换计算出括号内角的范围,再结合正、余弦函数的图象解决问题.解 变式 1: ;变式 2:最大值为
8、 1,相应的 x 的值为-;最小值为- ,相应的 x 的值为.变式 3 求下列函数的单调增区间:(1) y=sin ;(2) y=sin .处理建议 将括号内的式子看成整体处理,但单调性反映的是自变量 x 的变化对函数值 y 的影响,因而如果 x 的系数为正,则可以整体代入增区间即可 ,而如果 x 的系数为负,则必须整体代入减区间才行.解 (1) k- , k+ (kZ);(2) 3k+, 3k+ (kZ).题后反思 求函数 y=sin(x+), y=cos(x+)的单调区间时,可将将 x+ 看成一个整体,当 0 时,代增得增、代减得减;而当 -210,所以 sin(-2)sin1,即 sin
9、1cos2;(2)cos cos.四、 课堂练习1. 函数 y=sinx 的最大值为 1.2. 函数 y=sin 的单调减区间为 2k+, 2k+ (kZ),对称轴是直线 x=+k (kZ),对称中心坐标为 (kZ). 3. 函数 y=asinx+b 的最大值为 |a|+b,最小值为-|a|+b .(结果用 a, b 表示)4. 函数 y=|sinx|+|cosx|的奇偶性为偶函数.五、 课堂小结1. 函数图象是研究函数性质的基础, 三角函数亦是如此,要养成以图识性、以图记性的好习惯.2. 以正弦函数、余弦函数的性质为基础可以研究较复杂的三角函数的性质,因而要熟练掌握正弦函数、余弦函数的性质.
