1、选修 22 综合素质测试时间 120 分钟，满分 150 分一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数，若 f(x)，g(x) 满足 f( x)g(x) ，则 f(x)与 g(x)满足( )Af(x)g(x)Bf(x)g( x)为常数函数Cf(x)g( x)0Df(x)g(x) 为常数函数答案 B解析 由 f (x)g( x)，即 f(x)g( x)(f(x)g(x) 0，f (x)g(x) 为常数函数故选 B.2函数 y(sinx 2)3 的导数是( )Ay3xsin
2、x 2sin2x2 By 3(sin x2)2Cy 3(sin x2)2cosx2 Dy6sin x2cosx2答案 A解析 y(sinx 2)33(sinx 2)2(sinx2)3(sinx 2)2cosx22x32sin x2cosx2xsinx23xsinx 2sin2x2.故选 A.3下列命题中正确的是( )A复数 abi 与 cdi 相等的充要条件是 ac 且 bdB任何复数都不能比较大小C若 ，则 z1z 2z1 z2D若|z 1| z2|，则 z1z 2 或 z1 z2答案 C解析 A 选项未注明 a，b，c，dR.实数是复数，实数能比较大小z 1 与 z2 的模相等，符合条件的
3、 z1，z 2 有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是 1.故选 C.4数列 1，的前 100 项的和等于( )121213131314141414A13 B13914 1114C14 D14114 314答案 A解析 从数列排列规律看，项 有 n 个，故 12 n 100.得 n(n1)1n n(n 1)2200，所以 n13，当 n13 时， 13791( 个 )，故前 91 项的和为 13，从第n(n 1)292 项开始到第 100 项全是 ，共 9 个 ，故前 100 项的和为 13 .故选 A.114 114 9145对一切实数 x，不等式 x2a| x|10 恒成立，则实数
4、a 的取值范围是( )A(，2 B2,2C2，) D0，)答案 C解析 用分离参数法可得 a (x0) ，则|x | 2，a2.当 x0 时，(|x| 1|x|) 1|x|显然成立6曲线 ye x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A. B2e 294Ce 2 D.e22答案 D解析 y(e x)e x，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为 e2，因此切线方程为ye 2e 2(x2)，则切线与坐标轴交点为 A(1,0)，B(0，e 2)，所以：S AOB 1e2 .12 e227设 f(x)在 x0 可导，则 等于( )limx 0f(x0 x) f(x0 3x)xA4
5、f(x 0) Bf(x 0)C3f(x 0) D2f(x 0)答案 A解析 limx 0f(x0 x) f(x0 3x)x4 4f(x 0)limx 0f(x0 x) f(x0 3x)4x8函数 f(x)x 3ax 23x 9，已知 f(x)在 x3 时取得极值，则 a 等于( )A2 B3C4 D5答案 D解析 f(x) 3x 22ax 3 ，f(x)在 x3 时取得极值，x3 是方程 3x22ax 3 0 的根，a5.故选 D.9若 xy 是正实数，则 2 2 的最小值是( )(x 12y) (y 12x)A3 B.72C4 D.92答案 C解析 因为 xy 是正实数，所以 2 2x 2
6、y 2 (x 12y) (y 12x) xy 14y2 yx 14x2 1214，当且仅当 xy 时，等号成立故(x2 14x2) (xy yx) (y2 14y2) 22选 C.10复数 z 满足方程 4，那么复数 z 在复平面内对应的点 P 组成的图形为( )|z 21 i|A以(1，1)为圆心，以 4 为半径的圆B以(1，1)为圆心，以 2 为半径的圆C以(1,1)为圆心，以 4 为半径的圆D以(1,1) 为圆心，以 2 为半径的圆答案 C解析 原方程可化为|z(1i )|4，即| z( 1i )|4，表示以(1,1)为圆心，以 4为半径的圆故选 C.11已知 f(x)x 3bx 2cx
7、d 在区间1,2上是减函数，那么 bc( )A有最大值 B有最大值152 152C有最小值 D有最小值152 152答案 B解析 由题意 f( x)3x 22bx c 在 1,2上，f ( x)0 恒成立所以Error! ，即Error! ，令 bcz，bc z，如图A 是使得 z 最大的点，( 6， 32)最大值为 bc6 .故应选 B.32 15212已知函数 f(x)x 3px 2 qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0)，则 f(x)的( )A极大值为 ，极小值为 0427B极大值为 0，极小值为427C极小值为 ，极大值为 0527D极小值为 0，极大值为527答案 A解析 由题设条
8、件知Error!所以Error!所以 p2，q1.所以 f(x)x 32x 2x ，进而可求得 f(1)是极小值，f 是极大(13)值故选 A.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分将正确答案填在题中横线上)13设 (x，yR)，则 x_，y_.x1 i 32 i y1 i答案 35 95解析 由已知得 ，x(1 i)(1 i)(1 i) 3(2 i)(2 i)(2 i) y(1 i)(1 i)(1 i)整理得 i i.x2 x2 65 y2 (35 y2)所以Error! 解得Error!14定积分 0sintcostdt_.答案 1215设各项均为正数的数列a n满
9、足 a12，a n(a n1 ) an2 (nN *)，若 a2 ，则猜32 14想 a2008 的值为_答案 2( 2) 2007解析 因为 a12，a 22 2 ，故 a3a 1(a2) 2 4，a 4a 2(a3) 2 8 .因此有32 32a12( 2)0，a 22( 2) 1，a 32(2) 2，a 42( 2) 3，于是可猜想 a20082( 2) 2007.16(2009陕西理，16)设曲线 yx n1 (nN *)在点(1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 an lgxn，则 a1a 2a 99 的值为_答案 2解析 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有
10、关性质ky| x1 n1，切线 l：y1 ( n1)(x 1)，令 y0，x n ，a nlg ，nn 1 nn 1原式lg lg lg12 23 99100lg lg 2.12 23 99100 1100三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)已知函数 f(x) .求证：对于任意不小于 3 的正整数 n 都有2x 12x 1f(n) 成立nn 1解析 要证 f(n) (nN *且 n3)，只需证 ，即证nn 1 2n 12n 1 nn 11 1 ，也就是说明 2n12n.22n 1 1n 1下面用数学归纳法来证明 2n1
11、2n( nN *，且 n3)当 n3 时，左边7，右边6，左边右边，不等式成立假设当 nk( kN *，且 k3) 时不等式成立，即 2k12k，则当 nk1 时，2k1 1 22 k12(2 k1) 122k12(k1) 2k 12( k1) ，故当 nk1 时，不等式也成立综上所述，当 nN *且 n3 时，2 n12 n 成立所以 f(n) (nN *且 n3)成立nn 1说明 对于 2n12n，还可以用二项式定理证明由2nC C C C ，有 2nC C C (C C C C )，即0n 1n 2n n 1n 0n 1n n 1n 2n 3n n 2n n2n12n(C C C C )
12、，当 n3 时，C C C C 0.所以2n 3n n 2n n 2n 3n n 2n n2n12n.18(本题满分 12 分)一艘渔艇停泊在距岸 9km 处，今需派人送信给距渔艇 3 km 处34的海岸渔站，如果送信人步行每小时 5km，船速每小时 4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？解析 如图，设 BC 为海岸线， A 为渔艇停泊处，C 为渔站，D 为海岸上一点，AB9，AC 3 ，34BC 15，AC2 AB2设 CDx，由 A 到 C 所需时间为 T，则 T x (0x 15) ，15 14(15 x)2 81T .15 15 x4(15 x)2 81令 T0，解得 x3.x3 时，T 0，因此在 x3 处取得极小值又 T(0) ，T(15)3344，T(3) ，比较可知 T(3)最小214 8720答：在距渔站 3km 登岸可使抵达渔站的时间最省19(本题满分 12 分)求同时满足下列条件的所有复数 z：(1)z 是实数，且 10，x1 时，g( x)0，函数 f(x)在(，) 上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点当 a0 时，由 f(x) 0 得 x .a当 x( ， )时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；a当 x( ， )时，f(x )0，函数 f(x)单调递增a此时 x 是 f(x)的极大值点，x 是 f(x)的极小值点a a
