1、第 2 课时 等差数列1等差数列的定义： d（d 为常数） 2等差数列的通项公式： a na 1 d a na m d3等差数列的前 n 项和公式：Sn 4等差中项：如果 a、b、c 成等差数列，则 b 叫做 a 与 c 的等差中项，即 b 5数列a n是等差数列的两个充要条件是： 数列a n的通项公式可写成 anpnq(p, qR) 数列a n的前 n 项和公式可写成 Snan 2bn (a, bR)6等差数列a n的两个重要性质： m, n, p, qN *，若 mn pq，则 数列a n的前 n 项和为 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 成 数列例 1. 在等差数列a n中，(1)
2、已知 a1510，a 4590，求 a60；(2)已知 S1284，S 20460，求 S28；(3)已知 a610，S 55，求 a8 和 S8解：(1)方法一： 329041151da 60a 159d130来源:高考试题库 GKSTK方法二： 38154amnd，由 ana m(nm)d a60a 45(60 45)d9015 38130(2)不妨设 SnAn 2Bn， 174602081BAA来源:高考试题库 GKSTKS n2n 217nS 2822 8217281092(3)S 6S 5a 651015 ，又 S6 )10()(115 2即 a15典型例题基础过关而 d 316aa
3、 8a 62 d16S8 4)(81变式训练 1.在等差数列a n中， a53，a 62，则 a4a 5a 10 解：da 6a 55，a 4a 5a 10 49)(72)(5104d例 2. 已知数列a n满足 a12a，a n2a 12na（n2） 其中 a 是不为 0 的常数，令 bnan1 求证：数列b n是等差数列 求数列a n的通项公式解： a n2a 12a(n2) b n )(112an (n2) b nb n1 ann1)( (n2) 数列b n是公差为 1的等差数列 b 1 a故由得：b n (n1) a1 n即： an1 得：a na(1 )变式训练 2.已知公比为 3
4、的等比数列 nb与数列 na满足 *,3Nnba，且 1a，来源:高考试题库（1）判断 na是何种数列，并给 出证明；（2）若 1nC，求数列 nC的前 n 项和解：1）11133,nnaanba，即 n为等差数列。（2） 1111,n nnnnCSa。例 3. 已知a n为等差数列， Sn 为数列a n的前 n 项和，已知 S77，S 1575，T n 为数列nS前 n 项和。求 Tn解：设a n首项为 a1 公差为 d，由75241567daS12 S n 2nSn 31 T n 412变式训练 3两等差数列a n、b n的前 n 项和的比 5327nS，则 5ab的值是 （ ）A 281
5、7 B 4825 C 37 D 15解：B 解析： 195 9()4825aSbb。例 4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加 1000 美元；二是每半年结束时加 300 美元问： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干 10 年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ 如果第二种方案中每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元问 a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？解： 设工作年数为 n（nN *） ，第一种方案总共加的工资为 S1，第二种方案总共加的工资为 S2则：S11000110002 100031000n5
6、00(n1)nS230013002 3003 3002n300(2n1)n由 S2S1，即：300(2n1)n500(n1)n解得：n2 从第 3 年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资 多来源:Gkstk.Com 当 n10 时，由得：S 1500101155000S2300102163000 S 2S 18000 在该公司干 10 年，选第二种方案比选第一种方案多加工资 8000 美元来源:高考试题库 若第二种方案中的 300 美元改成 a 美元则 12San(2n 1) nN * a )(50n250 1250250 3250 310变式训练 4.假设某市 2004 年新建住房 40
7、0 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积( 以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?解：(1)设中低价房面积形成数列a n,由题意可知a n是等差数列 ,其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+ 502)1(=25n2+225n,令 25n2+225n4750,即 n2+9n-1900,而 n
8、 是正整数, n10.到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米.(2)设新建住房面积形成数列b n,由题意可知b n是等比数列,其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400(1.08)n-10.85.由题意可知 an0.85 bn,有 250+(n-1)50400(1.08)n -10.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6.到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.1欲证a n为等差数列，最常见的做法是证明：a n1 a nd(d 是一个与 n 无关的常数) 2a 1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出 a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁3对等差数列a n的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为d 的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题归纳小结
