1、3.1.3 两个向量的数量积一、选择题1若 a，b 均为非零向量，则“ab|a|b|”是“a 与 b 共线 ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 共线包括同向和反向，只有 a、b 同向时，才有 ab| a|b|成立2下列结论中正确的是( )A(ab)c( bc)aBab|a|b| ，则 abCa，b，c 为非零向量， acbc，则 abDaabb，则 ab答案 B解析 ab|a|b|，说明 a 与 b 夹角为 ，所以共线3已知非零向量 a，b 不共线，且其模相等，则 ab 与 ab 的关系是( )A垂直 B共线C不垂直 D以上都可能答案 A
2、解析 (ab)( ab) a 2b 20，ab 与 ab 垂直4下列结论正确的是( )AaeacosBa bab0C|a| 2| a|aD(ab) 3a 33a 2b3ab 2b 3答案 B5如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是 BC 的中点，那么( )A. AE BC AE CD D. 与 不能比较大小AE BC AE CD 答案 C6已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么| a3b|( )A. B.7 10C. D413答案 C解析 |a3b| 2(a3b) 2a 26ab9b 2|a |2 6|a|b|cos 9|b| 2，|a |b|1， 60， | a3b|
3、213，|a 3b | .137已知正方体 ABCDABC D的棱长为 a，设 a， b ， c，则( )AB AD AA A B B C A30 B60 C90 D120答案 B解析 (ac )A B B C (bc)abacbcc 2000c 2c 21.cos ， ，AB B C A B B C |A B |B C | 12 2 12 ， .A B B C 38若|a|b|4，60 ，则|a b|等于( )A4 B8 C37 D13答案 A解析 |ab| 2a 2b 22ab|a| 2|b| 22|a|b| cos4 24 2244cos604 2，|a b |4.9已知四面体 ABCD
4、 中，AB、AC、AD 两两互相垂直，则下列结论中不成立的是( )A| | |AB AC AD AB AC AD B| |2| |2| |2| |2AB AC AD AB AC AD C( ) 0AB AC AD BC D. AB CD AC BD AD BC 答案 C解析 因为 AB、AC、AD 两两垂直，则可得 ABCD，ACBD，ADBC，且 AB 0， 0， 0， 0， 0 ，所以得到 A、B 、D 均正确AC AB AD AC AD AC BD AD BC 10已知空间四边形每条边和对角线的长等于 a，点 E、F、G 分别是 AB、AD 、DC的中点，则 a2 等于( )A2 B2
5、BA AD BD C2 D2 FG CA EF CB 答案 B解析 2 a 2,2 a 2,2 a 2,2 a 2,2 a2.BA AC AD BD FG CA EF CA EF CB 12二、填空题11已知平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 2，且两两夹角都是 60，则对角线 AC1 的长是_答案 2 6解析 设 a， b， c.AB AD AA1 | |2 ( abc )(abc )AC1 A1C1 A1C1 a 22ab2ac2bc b 2c 244444424所以| |2 .AC1 612已知|a| 2 ，|b| ，ab ，则_.222 2答
6、案 3413|a| 1，|b|2，|c| 3，abbcca0，则|abc| _.答案 1414如图所示，ABACBD1，AB面 ，AC 面 ，BDAB，BD 与面 成 30，则点 C 与 D 之间的距离为_答案 2解析 AC ，BD 与 成 30角，AC 与 BD 所成角为 60.又 ，| | | |1， ， ， 90 ， ，CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA 120，BD ( )23 12.CD2 CA AB BD C，D 两点间距离为 .2三、解答题15已知三棱锥 OABC 的各个侧面都是正三角形，且棱长为 1，求：(1) ；(2)( )( )；(3)|
7、 |.OA OB OA OB CA CB OA OB OC 解析 设 a， b， c ，则OA OB OC |a|b| | c|1，a，ba，cb，c60 ，ac， bc ，CA CB (1) | a|b|cos60 .OA OB 12(2)由(1)知，abac bc ，12则( )( )OA OB CA CB (ab)(ab2c)a 2b 22ab2ac2bc 1.(3)| |OA OB OC (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc .616如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，M 1 分别是DC，B 1C1 的中点，求 .MM1 AB 解析 选 ， ，
8、为基向量，且 ， ， 两两互相垂直，AB AD AA1 AB AD AA1 | | | |1，则 .AB AD AA1 MM1 MC CC1 C1M1 12AB AA1 12AD .MM1 AB 12AB2 AA1 AB 12AD AB 12AB2 1217如图，在正四面体 OABC 中，G 是ABC 的中心，D 是 OG 中心，M 是 OC 中点求证： ；DA CB 解析 令 a， b， c ，由于是正四面体，OA OB OC abbcca|a|b|cos ，12(设|a|b|c|1)如图 ( )AD 12AO AG 12 a 23(AB AC 2 ) a (ba)(ca)12 16 a b
9、 c，56 16 16bc，CB (bc)AD CB ( 56a 16b 16c) (5ab5acb 2bccbc 2)0，16 .AD CB 18平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长都为2，A 1AB A1ADBAD60 ，E 是 DC 的中点，F 是 B1C 的中点(1)证明：向量 ， ， 共面；BD BB1 EF (2)求| |.D1F 解析 (1)设 a， b， c，AB AD AA1 则 c， ba，BB1 BD ( )EF AF AE AB 12BC1 AD 12DC a (bc) (b a)12 12 (ab)c ，12 12BB1 12BD 由共面向量定理知，向量 ， ， 共面BD BB1 EF (2)由题意知|a|b|c|2， 60.又 a (bc)( bc )D1F AF AD1 12a b c，12 12| |2(a b c)(a b c)D1F 12 12 12 12a 2 b2 c2abac bc14 14 124112213.| | .D1F 3
