1、高考新动向数学文化面面观（二） 数列中的数学文化,数列中蕴含着多种数学思想及方法,如函数思想、方程思想等,而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法.掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解,而且运用数学思想方法解决问题的过程,往往能诱发知识的迁移,举一反三、融会贯通的解决多种数列问题.,1.南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出:下四人后入得三斤,持出:中间三人未到者,亦依等次更给,问:每等人比下等人多得几斤?” ( ),A. B. C. D.,【解析】选B.设得金最多的一等人得金数为数列首
2、项 a1,公差为d,则 即 解得,因此每等人比下等人多得 斤.,2.张邱建算经卷上第23题:今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何?意思是:现有一女子善于织布,若第1天织5尺布,从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织390尺布(注:按古代1匹=4丈,1丈=10尺计算),则每天比前一天多织 ( ),A. 尺布 B. 尺布 C. 尺布 D. 尺布,【解析】选B.设公差为d,则由a1=5,S30=305+ d =390,解得d= .,3.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一. 书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个 人的所得成等
3、差数列,且使较大的三份之和的 是较 小的两份之和,则最小一份的量为 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.易得中间的那份为20个面包,设最小的一 份为a1,公差为d,根据题意,于是有20+(a1+3d)+(a1+ 4d) =a1+(a1+d),解得a1= .,4.(2015全国卷)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为( ),A.0 B.2 C.4 D.14,【解析】选B.程序在执行过程中,a,b的值依次为a=14, b=18;b=4;a=10;a=6;a=2;b=2,此时a=b=2程序结束,输
4、出a的值为2.,5.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏,【解析】选B.塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成 一个公比为2的等比数列,由 =381可得x=3.,【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题,关键是列 出相关信息,合理建立数学模型数列模型,判断是 等差数列还是等比数列模型;求解时,要明确目标,即明 白是求和、求通项、还是解递推关系问题,所求结论对 应的是解方
5、程问题、解不等式问题、还是最值问题,然,后经过数学推理与计算得出的结果,放回到实际问题中进行检验,最终得出结论.,6.观察下列各式: a+b=1; a2+b2=3; a3+b3=4; a4+b4=7;,a5+b5=11; 则a10+b10= ( ) A.28 B.76 C.123 D.10,【解析】选C.记an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4; f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7; f(5)=f(3)+f(4)=11. 通过观察不难发现,f(n)=f(n-1)+f(n-2)(nN*,n3), 从而f(6)=f(4)+f(5)=18; f(7)=f(5)+f(
6、6)=29; f(8)=f(6)+f(7)=47; f(9)=f(7)+f(8)=76;,f(10)=f(8)+f(9)=123, 故a10+b10=123.,【点评】本题考查了归纳推理的有关知识,在归纳方法中考查了斐波那契数列通项的特点(即从第2项起,每一项都是前两项之和.),7.九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为_ 升.,【解析】设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9. 则 解得,故a5=a1+4d= . 答案:,8.(角谷猜想)已知数列
7、an满足:a1=m(m为正整数), an+1= 若a6=1,则m所有可能的取值 为_.,【解析】由题意知an中任何一项均为正整数,因为 a6=1,若a5为奇数,则3a5+1=1,得a5=0,不满足条件.若a5 为偶数,则a5=2a6=2,满足条件.所以a5=2.若a4为奇数, 则3a4+1=2,得a4= ,不满足条件.若a4为偶数,则a4= 2a5=4,满足条件.所以a4=4.,(1)若a3为奇数,则3a3+1=4,得a3=1,满足条件.若a2为奇 数,则3a2+1=1,得a2=0,不满足条件.若a2为偶数,则a2= 2a3=2,满足条件.若a1为奇数,则3a1+1=2,得a1= ,不 满足条件.若a1为偶数,则a1=2a2=4,满足条件.,(2)若a3为偶数,则a3=2a4=8,满足条件.若a2为奇数,则 3a2+1=8,得a2= ,不满足条件.若a2为偶数,则a2=2a3 =16,满足条件.若a1为奇数,则3a1+1=16,得a1=5,满足条 件.若a1为偶数,则a1=2a2=32,满足条件. 故m的取值可以是4,5,32. 答案:4,5,32,点评:本题是著名的“角谷猜想”,考查分类讨论思想.注意对数列的首项a1为奇数和偶数两种情况进行讨论.,
