1、04 课后课时精练一、选择题1. 抛物线 y x2 的焦点坐标是 ( )18A. (0，4) B. (0，2)C. ( ，0) D. ( ，0)12 132解析：本题主要考查由抛物线方程求焦点坐标抛物线方程可化成 x2 8y，所以焦点坐标为 (0，2)，故选 B.答案：B2. 已知点 P(6，y )在抛物线 y22px(p0)上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距离等于 8，则焦点 F 到抛物线准线的距离等于( )A. 2 B. 1C. 4 D. 8解析：本题主要考查抛物线的焦点到准线的距离抛物线y22px( p0)的准线为 x ，因为 P(6， y)为抛物线上的点，所以p2P 到焦点 F 的距
2、离等于它到准线的距离，所以 6 8，所以p2p4，焦点 F 到抛物线准线的距离等于 4，故选 C.答案：C3. 2014湖南省长沙一中期中 已知抛物线 x22py( p0)的焦点为 F，过 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线交于 A，B 两点，若(0,1) ，则 ( )|AF|BF| |AF|BF|A. B. 15 14C. D. 13 12解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系因为抛物线的焦点为(0， )，直线方程为 y x ，与抛物线方程联立得 x2p2 33 p2pxp 2 0，解方程得 xA p，x B p，所以 .故233 33 3 |AF|BF| |xA|xB| 13选 C.答
3、案：C4. 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点O 为原点，若|AF|3，则 AOB 的面积为( )A. B. 22 2C. D. 2322 2解析：本题主要考查抛物线中基本量的计算与运用基本量之间的关系解决问题的能力根据题意画出简图，设AFx(00)的焦点，则该抛物线的准线方程是_解析：如图所示，线段 OA 所在的直线方程为 y x，其中垂线12方程为 2x y 0，52令 y0，得 x ，即 F( ，0)54 54p ，y 25x ，其准线方程为 x .52 54答案：x548. 2014江苏盐城月考已知过点 P(4,0)的直线与抛物线 y24x相交于 A(x
4、1，y 1)、B( x2，y 2)两点，则 y y 的最小值是_21 2解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为 x4，代入y24x，得交点为(4,4)，(4，4)，y y 161632；21 2当直线的斜率存在时，设直线方程为 yk (x4) ，与 y24x 联立，消去 x 得 ky24y 16k0，由题意知 k0，则 y1y 2 ，y 1y216.4ky y ( y1y 2)22y 1y2 3232.21 216k2综上知，(y y )min 32，21 2答案：329. 2014湖南高考 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到过点
5、P(1,0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_ 解析：本题以实际应用问题为载体，考查抛物线方程、直线方程及直线与抛物线的位置关系等知识，结合方程思想、数形结合思想和转化思想求解实际问题由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为 y24x ，过点 P(1,0)且斜率为 k 的直线方程为yk (x1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去 y 得k2x2 (2k24) xk 20，则 (2k 24) 24 k41，得 k1或 k0)的焦点为 F，点 P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为 4，|PF |4.(1)求抛物线的方程；(2)设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)(yi0
6、，i1,2)是抛物线上的两点，APB 的角平分线与 x 轴垂直，求直线 AB 的斜率；(3)在(2)的条件下，若直线 AB 过点(1，1)，求弦 AB 的长解：(1) 设 P(x0 ,4)，因为|PF|4，由抛物线的定义得 x0 4，p2又 422px 0，所以 x0 ，因此 4，8p 8p p2解得 p4，所以抛物线的方程为 y28x .(2)由(1)知点 P 的坐标为(2,4)，因为APB 的角平分线与 x 轴垂直，所以 PA，PB 的倾斜角互补，即 PA，PB 的斜率互为相反数设直线 PA 的斜率为 k，则 PA：y4k( x2)由题意知k0，把 x 2 代入抛物线方程得 y2 y16
7、0，该方程的yk 4k 8k 32k解为 4，y 1，由根与系数之间的关系得 y14 ，即 y1 4.8k 8k因为 PB 的斜率为 k，所以 y2 4，8 k所以 kAB 1.y2 y1x2 x1 8y2 y1(3)结合 (2)可得直线 AB 的方程为 yx ，代入抛物线方程得 A(0,0)，B (8，8)，故|AB|8 .212. 2014福建高考已知曲线 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y 3 的距离小 2.(1)求曲线 的方程；(2)曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A，直线 y3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，N.以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作
8、圆 C 的切线，切点为 B.试探究：当点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论解：解法一：(1)设 S(x，y)为曲线 上任意一点，依题意，点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y1 的距离相等所以曲线 是以点 F(0,1)为焦点、直线 y 1 为准线的抛物线，所以曲线 的方程为 x24y.(2)当点 P 在曲线 上运动时，线段 AB 的长度不变证明如下：由(1)知抛物线 的方程为 y x2，设 P(x0，y 0)(x00)，则 y014x ，由 y x，得切线 l 的斜率 ky|x x 0 x0，所以切线 l 的1420 12 12方
9、程为 y y0 x0(x x0)，即 y x0x x .12 12 1420由Error!得 A( x0,0)12由Error!得 M( x0 ，3)12 6x0又 N(0,3)，所以圆心 C( x0 ，3)，14 3x0半径 r |MN| x0 |，| AB| 12 14 3x0 |AC|2 r2 .12x0 14x0 3x02 32 14x0 3x02 6所以点 P 在曲线 上运动时，线段 AB 的长度不变解法二：(1)设 S(x，y )为曲线 上任意一点，则|y( 3)| 2，x 02 y 12依题意，点 S(x，y)只能在直线 y3 的上方，所以 y3，所以 y1，x 02 y 12化简得，曲线 的方程为 x24y.(2)同解法一
