1、综合检测( 二)第二章 推理与证明(时间 90 分钟，满分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013开封高二检测 )根据偶函数定义可推得“函数 f(x)x 2 在 R 上是偶函数”的推理过程是( )A归纳推理 B类比推理C演绎推理 D非以上答案【解析】 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选 C.【答案】 C2下面四个推理不是合情推理的是( )A由圆的性质类比推出球的有关性质B由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180C某次考试张军的成
2、绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分D蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】 A 是类比推理，B、D 是归纳推理，C 不是合情推理【答案】 C3设 n 为正整数，f(n) 1 ，计算得 f(2) ，f (4)2，f (6)12 13 1n 32，f (8)3，f(10) ，观察上述结果，可推测出一般结论为( )52 72Af(2 n) Bf(2n)n 22 n 22Cf(2n) Df(n)n 22 n2【解析】 观察所给不等式，不等式左边是 f(2n)，右边是 ，故选 C.n 22【答案】 C4(2013厦门高二检测
3、)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且a11，S nn 2an(nN )，可归纳猜想出 Sn的表达式为 ( )A. B.2nn 1 3n 1n 1C. D.2n 1n 2 2nn 2【解析】 由 a11，得 a1a 22 2a2，a 2 ，S 2 ；13 43又 1 a 33 2a3，13a 3 ，S 3 ；16 32 64又 1 a 416a 4，得 a4 ，13 16 110S4 .85由 S1 ，S 2 ，S 3 ，22 43 64S4 可以猜想 Sn .85 2nn 1【答案】 A5(2013广州高二检测 )已知 x0，由不等式 x 2 2，x 1x x1x 4x2 x2 3 3，
4、可以推出结论：x2 4x2 3x2x24x2x n1(nN )，则 a( )axnA2n B3n Cn 2 Dn n【解析】 可以推出结论(x0) ：即 x n 1(nN )，所以 an n.nnxn【答案】 D6用数学归纳法证明 122 2(n1) 2n 2(n1) 22 21 2时，从 nk 到 nk1 时，等式左边应添加的式子是 ( )n2n2 13A(k1) 22k 2B(k1) 2k 2C(k1) 2D. (k1)2( k1) 2113【解析】 nk 时，左边 122 2(k 1) 2 k2(k1)22 21 2，nk 1 时，左边 122 2(k 1)2k 2(k1) 2k 2(
5、k1)22 21 2，从 nk 到 nk 1，左边应添加的式子为 (k1) 2k 2.【答案】 B7在等差数列a n中，若 a100，则有等式a1a 2a na 1a 2a 19n (n 的过程中，由 nk1n 1 1n 2 1n n1324到 nk1 时，不等式左边的变化情况为( )A增加12k 1B增加 12k 1 12k 1C增加 ，减少12k 1 12k 1 1k 1D增加 ，减少12k 1 1k 1【解析】 当 nk 时，不等式的左边 ，当1k 1 1k 2 1k knk1 时，不等式的左边 ，所以 1k 2 1k 3 1k 1 k 1 1k 2 ( ) ，1k 3 1k 1 k 1
6、 1k 1 1k 2 1k k 12k 1 12k 1 1k 1所以由 nk 到 nk 1 时，不等式的左边增加 ，减少 .12k 1 12k 1 1k 1【答案】 C9(2013黄山高二检测 )将石子摆成如图 1 的梯形形状称数列5,9,14,20，为“梯形数” 根据图形的构成，此数列的第 2 012 项与 5 的差，即 a2 0125( )图 1A20182012 B20182011C1009 2012 D10092011【解析】 a n5 表示第 n 个梯形有 n1 层点，最上面一层为 4 个，最下面一层为 n2 个a n5 ， a2 012n 1n 62 2 0112 01821 00
7、92 011.【答案】 D10(2012江西高考 )观察下列各式：ab1，a 2b 23，a 3b 34，a 4b 47，a 5b 511，则 a10b 10( )A28 B76 C123 D199【解析】 利用归纳法，ab1，a 2b 23，a 3b 3431，a 4b 4437，a 5b 57411，a 6b 611718，a 7b 7181129，a 8b 8291847，a 9b 9472976，a 10b 107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和【答案】 C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)11已知 x， yR
8、，且 xy0，则 lg ；a b2 lg a lg b2(2) 2 2.6 10 3【证明】 (1)当 a，b0 时，有 ，lg lg ，a b2 ab a b2 ablg lg ab .a b2 12 lg a lg b2(2)要证 2 2，6 10 3只要证( )2(2 2) 2，6 10 3即 2 2 ，这是显然成立的，60 48所以，原不等式成立16(本小题满分 12 分)(2012 福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin 13cos 17；sin 215cos 215sin 15cos 15；sin 218cos
9、212sin 18cos 12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos 48；sin 2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解】 法一 (1)选择式，计算如下：sin215cos 215sin 15cos 151 sin 301 .12 14 34(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sin cos(30 ) .34证明如下：sin2cos 2(30 )sin cos(30)sin 2(cos 30cos sin 30sin ) 2si
10、n (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin234 32 14 32 12 sin2 cos2 .34 34 34法二 (1)同法一(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sin cos(30 ) .34证明如下：sin2cos 2(30 )sin cos(30) sin (cos 30cos 1 cos 22 1 cos60 22sin 30sin ) cos 2 (cos 60cos 2sin 60sin 2) sin cos sin212 12 12 12 32 12 cos 2 cos 2 sin 2 si
11、n 2 (1cos 2)12 12 12 14 34 34 141 cos 2 cos 2 .14 14 14 3417(本小题满分 12 分) 等差数列a n的前 n 项和为Sn，a 11 ，S 393 .2 2(1)求数列a n的通项 an与前 n 项和 Sn；(2)设 bn (nN )，求证：数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比Snn数列【解】 (1)由已知得 Error!d2.故 an2n1 ，S nn(n )2 2(2)证明：由(1)得 bn n .Snn 2假设数列 bn中存在三项 bp、b q、b r(p、q、r 互不相等)成等比数列，则b b pbr，2q即(q )2(
12、p )(r )，2 2 2(q 2 pr)(2 qpr ) 0，2p，q，rN ，Error!( )2pr，(pr) 20.p r2pr，与 pr 矛盾数列 bn中任意不同的三项都不可能成等比数列18(本小题满分 14 分) 设 f(n)1 (nN )12 13 1n求证：f(1) f(2)f(n1)nf(n)1( n2，nN )【证明】 当 n2 时，左边f(1)1，右边2(1 1) 1，12左边右边，等式成立假设 nk 时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf( k)1，那么，当 nk 1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k )(k1)f(k) k(k1)f( k1) k1k 1(k1)f(k1)(k 1)(k1)f( k1)1 ，当 nk1 时结论仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1( n2，nN )
