1、第 2 讲 空间图形的位置关系与空间角【选题明细表】知识点、方法 题号平行、垂 直的判断 1、3、4、5、6平行、垂直的证明 9、10空间角 2、7、8一、选择题1.(2013 年高考浙江卷)设 m、n 是两条不同的直线,、 是两个不同的平面,( C )(A)若 m,n,则 mn (B)若 m,m,则 (C)若 mn,m,则 n(D)若 m,则 m解析:选项 A 中,m、n 可以平行、相交或异面,选项 A 错;选项 B 中,、 可能平行,也可能相交,选项 B 错;选项 C 中,两平行直线,如果其中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,正确.选项 D 中 m 与 位置关系不确定.故选 C
2、.2.在正四棱锥 V ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为( D )(A) (B) (C) (D)解析:设 ACBD=O,连结 VO,因为四棱锥 V ABCD 是正四棱锥,所以 VO平面 ABCD,故 BDVO.又四边形 ABCD 是正方形,所以 BDAC,所以 BD平面 VAC,所以 BDVA,即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 ,选 D.3.用 a、b、c 表示三条不同的直线, 表示平面,给出下列命题:若 ab,bc,则 ac;若 ab,bc,则 ac;若 a,b,则 ab;若 a,b,则 ab.其中真命题的序号
3、是( C )(A) (B) (C) (D)解析:由公理 4 知,正确;错误,当 a,b,c 在同一平面内时,有 ac;a,b ,a 与 b有可能平行,也有可能相交或异面,所以错误;由线面垂直的性质知,正确.故选 C.4.设 , 为不同的平面,m,n,l 为不同的直线,下列命题中正确的是( A )(A)若 n,n,m,则 m(B)若 =m,则 m(C)若 ,m,则 m(D)若 ,=l,ml,则 m解析:n,n,则 .又 m,m.故选 A.5. 如图所示,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为( C )(A)ACBD(B)AC截面 PQMN(C)AC=BD(D
4、)异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45解析:由于 PQMN,所以 PQ面 ACD,进而 PQAC,同理可知 PNBD,又 PQPN,所以 ACBD,即选项 A 正确;由于 PQAC,而 PQ平面 PQMN,所以 AC平面 PQMN,即选项 B 正确;由于PNBD,所以MPN 即为 BD 与 PM 所成的角,由于 PQMN 为正方形,所以MPN=45,即选项 D正确;AC 与 BD 不一定相等,所以选项 C 错误 .二、填空题6.点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动,给出下列四个命题:三棱锥 A D1PC 的体积不变;A 1P平面 ACD1;DPBC 1;平
5、面 PDB1平面 ACD1.其中正确的命题序号是 . 解析:连结 BD 交 AC 于点 O,连结 DC1交 D1C 于点 O1,连结 OO1,则 OO1BC 1, BC1平面 AD1C,动点 P 到平面 AD1C 的距离不变,三棱锥 P AD1C 的体积不变,又 = ,正确.平面 A1C1B平面 AD1C,A1P平面 A1C1B,A 1P平面 ACD1,正确.由于 DB 不垂直于 BC1显然不正确;由于 DB1D 1C,DB1AD 1,D1CAD 1=D1,DB 1平面 AD1C,DB1平面 PDB1,平面 PDB1平面 ACD1,正确.答案:7.三棱锥 P ABC 的两侧面 PAB,PBC
6、都是边长为 2a 的正三角形,AC= a,则二面角 A PB C 的大小为 . 解析:如图所示,取 PB 的中点 M,连结 AM、CM,则 AMPB,C MPB,AMC 是二面角 A PB C 的平面角.由已知易知 AM=CM= a,所以AMC 是正三角形,所以AMC=60.答案:608.已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长均相等,M 是侧棱 CC1的中点,则异面直线 AB1和 BM所成角的大小为 . 解析:如图所示,延长 AB、A 1B1,使 BE=AB=B1E1,连结 E1E,BE1,ME1,C1E1.则 AB1BE 1,所以MBE 1即为异面直线 AB1与 BM 所成的角.设正三
7、棱柱的各棱长为 2,则 BE1=2 ,BM= ,在 RtMC 1E1中,C 1M=1,C1E1=2 ,ME 1= ,在BME 1中,由余弦定理得cosMBE 1= =0,MBE 1=90.答案:90三、解答题9. (2013 年高考新课标全国卷)如图,直三棱柱 ABC A1B1C1中,D,E 分别是 AB,BB1的中点.1)证明:BC 1平面 A1CD;(2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥 C A1DE 的体积.(1)证明:连接 AC1交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1中点.又 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1DF.因为 DF平面 A1CD,BC1平面 A1C
8、D,所以 BC1平面 A1CD.(2)解:因为 ABC A1B1C1是直三棱柱,所以 AA1CD.由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CDAB .又 AA1AB=A,于是 CD平面 ABB1A1.由 AA1=AC=CB=2,AB=2 得ACB=90,CD= ,A1D= ,DE= ,A1E=3,故 A1D2+DE2=A1E2,即 DEA 1D.所以 = =1.10.(2012 年高考江苏卷)如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中,A 1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1上的点(点 D 不同于点 C),且 ADDE,F 为 B1C1的中点.求证:(1)平面 ADE平面 B
9、CC1B1;(2)直线 A1F平面 ADE.证明:(1)因为 ABC A1B1C1是直三棱柱,所以 CC1平面 ABC,又 AD平面 ABC,所以 CC1AD.又因为 ADDE,CC 1,DE平面 BCC1B1,CC1DE=E,所以 AD平面 BCC1B1,又 AD平面 ADE.所以平面 ADE平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1=A1C1,F 是 B1C1的中点,所以 A1FB 1C1.因为 CC1平面 A1B1C1,且 A1F平面 A1B1C1,所以 CC1A 1F.又因为 CC1,B1C1平面 BCC1B1,CC1B 1C1=C1,所以 A1F平面 BCC1B1,由(1)知 AD平面 BCC1B1,所以 A1FAD.又 AD平面 ADE,A1F平面 ADE,所以 A1F平面 ADE.
