1、人教 A 版数学必修 4 第二章平面向量教学设计一、教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力1本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分
2、析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义。 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 掌握数量积的坐标表达
3、式，会进行平面向量数量积的运算。 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。本章知识结构如下：根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面
4、向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.课标要求的具体化和深广度分析平面向量的实际背景及基本概念标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示如：用向量 a 表示向东走了 3km，则- a 表示_一辆汽车从 A 地出发向西行驶了 100 ，到达 B 地，可以用向量 a 表示，那么从 B 地出发到 A 达地应如何表示？向量 a， b 都是非零向量，下面说法不正确的是（ ）（A）向量 a 与 b 反向，则向量 a+b 与向量 a的方向可能相同（B）向量 a 与 b 反向，则向量 a+b 与
5、向量 b的方向可能相同理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量平面向量、实际背景向量及其基本概念 线性运算 向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用（C）向量 a 与 b 反向，且 ab，则向量 a+b与向量 a 的方向可能相同（D）向量 a 与 b 反向，且 ，则向量 a+b与向量 a 的方向可能相同向量的线性运算标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义了解向量的线性运算性质及其几何意义如：若向量 a 表示向东走了 2km， b 表示向南走了 1km，则
6、ab 表示_已知下列各式 ABC； MO； ABCD；其中结果为零向量的个数为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4 已知向量 a， b 满足 ABa+2b，5a+6b， 7a2b，则一定共线的三点是（ ）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D如：在 中， D， F 分别是 AB， AC 的中点，BF 与 CD 交于 O，设 a， ACb，用 a， b表示向量 掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件会进行向量的线性运算平面向量的基本定理及坐标表示标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求了解平面向量的基
7、本定理及其意义掌握平面向量的正交分解如：某人在静水中游泳，速度为每小时 3km，水流的速度为每小时 4km，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？ 如：已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别为 A(-2，1)， B（3，4） ， C（-1，3） ，则顶点了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件D 的坐标为_如：已知 (0,1)A， (3,4)B且点 C在O的平分线上，若 2O，则向量C_已知向量 (,1)Ak， (4,5)B，(,0)O且 A， B， C 三点共线，则k_标运
8、算理解两个向量共线的充要条件平面向量的数量积标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义体会平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系如：用两根夹角为 120角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为 10N，则每根绳子的拉力大小是_如：已知点 (,)A， (,)B， (4,6)C，则 B在 C上的投影的值为_如： a=（ 3，2） ， b=（ 4， k） ，若（5 ab） （3 a b）=55，求实数 k 的值如：两单
9、位向量 a， b 的夹角为 60，则两向量 p=2a+b 与 q=3a+2b 的夹角为_换垂直的题明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义 明确向量 b 在向量a 的方向上的投影掌握数量积的公式，能进行数量积的运算明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件向量的应用标准表述标准要求的具体化和深广度分析 大纲相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问如图，在平行四边形 ABCD中， 13EC，AE与 交于 F，用向量的方法证明：掌握平面两点间的距离公式、 掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，A BCD EF题与其他一些实际问
10、题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力14实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为0.4km，一艘船从一岸边的 A处出发驶向对岸，已知船速为 15kvh，水速为 23kmvh，欲使航行最短，则所用时间为_并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题（2）本单元变化之处删繁就简，降低了知识的难度调整章节，凸显了知识的框架贴近生活，重视了知识的应用（3）人教 B 版向量一章的教材特点强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及
11、其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律( =+ab+ )又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形 ABCD中，ADBC，ABCD， ABD C).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”
12、.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为形到数数的运算数到形，则向量方法可简单地表述为形到向量向量的运算向量和数到形.教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修 1，必修 4 的顺序进行教学，因此向量法这种解
13、决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。二、教学方式概述人教 B 版教材对教师的教学方式，教师驾驭课堂的能力，教师把握教材的程度提出了更高的要求。讲授启发式、自主探究式向量是以往高中课程中已经出现的内容，新课标教材考虑的是通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习，教师改进教学方式，可以提高教学质量，使学生打好数学基础，提高数学思维能力1引导学生用数学模型的观点看待向量内容 2加强向量与相关知识的联系性，使学
14、生明确研究向量的基本思路3引导学生认真体会向量法的思想实质掌握向量法的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.4注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比三、教学资源概述教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规四、课时建议本单元教学约需 12 课时2.1 平面向量的实际背景及基本运算 2 课时2.2 平面向量的线性运算 2 课时2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2 课时2.4 平面向量的数量积 2 课时2.5 平面向量应用举例 2
15、 课时小结 2 课时数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案第一学时第二学时2.1.1 向量的概念一.学习目标1.关于向量的概念(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何表示;(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.(3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和钻研精神.2.关于向量的线性运算(1)通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;(2)
16、让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.(3)通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.二.重点难点1.关于向量的概念(1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示;(2)难点是对向量概念的理解;2.关于向量的线性运算(1)重点是向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,法则的理解及其几何意义;(2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则,运算律进行向量的线性运算,并利用向量方法解决几何问题.三.教学过程教学环节 教学内容 师生互动 设计意图引入新课 对向量全章的的介绍:通过对
17、书上章前话的解读,让学生体会向量的丰富实际背景,了解向量的研究对象和研究方法,初步了解向量与几何代数之间的关系.(2)概念引入与形成概念应用（1）通过具体的例题 1 体会向量的概念和几何表示;通过例题 2 和例题 3 巩固向量的几何表示,相等,共线向量等概念让学生了解大致内容和小学习本章的重要性概念形成 1 从常见的物理量力,位移等了解它们的特征是既有大小又有方向的量,建立向量的认知基础,自然引出向量概念;2 类比学生熟悉的数量如温度,身高,体积,风速,时间,通过比较,使学生在比较中加深对概念的认识.3 让再举出几个既有大小又有方向的量,以准确抓住向量的特点.(3)表示方法例 1 船向南航行1
18、00 海里和向西航行 100 海里的位移相等吗?选择适当的比例尺,用有向线段表示这两次航行.例 2 某人从点 A出发向西走 200m到达 B点,然后朝西偏北 45方向走300 到达 C点,最后又向东走200m到达 D点. 再次类比数的表示方法,引出用有向线段表示向量;(几何表示) 用有向线段的方向和长度分别表示向量的方向和大小,赋予向量的几何意义; 提出字母表示方法,明确书写上的要求,为向量的运算做好准备.(4)相关概念辨析 从向量的模引出零向量和单位向量的概念; 让学生了解相等向量规定的合理性,可利用计算机演示向量的平行移动,体会向量的相等,体会向量与有向线段之间的关系; 由向量的平行移动体
19、会平行向量和共线向量的等价性;(1)按 1:10000的比例作出向量 BCA,和 D;（2）求 和的值.(精确到 1m)例 3 在图中的 45的方格纸中有一个向量 AB,分别以图中的格点为向量的起点和终点作向量.(1)其中与 AB相等的向量有几个?（2）与 长度相等的共线向量有多少个?归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置作业：P79 练习A,B2.1.2 向量的线性运算教学环节 教学内容 师生互动 设计意图引入新课 1)引入数因为有了运算而使数的威力无穷,与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢?从向量的物理背景和数的运算中应该可以得到一些启发探究向量加法的定义法则教师提出问
20、题:怎么定义任意二个向量的和？（教师在黑板上画出二个自由向量） ，让学生小组讨论以后,出现两种不同定义方式三角形法则和平行四边形法则.针对两种方式,教师引导学生理解它们的本质的一致性;同时提出思考问题那种定义更加严密？根据学生的回答，启发学生注意到平行四边形法则对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？最后看书上相关内容,补充对零向量的运算规定.(5) 向量加法定义的运算律实验准备情景 1:让两个学生中的甲从教室的某地 A位移到B地,再从 地位移到 C地,乙从 直接到达地,观察比较.结论:前者是位移的合成, 两次位移 BCA,的结果为 ,而与后者从 点直接到
21、点的位移AC相同;情景 2:观看事前由学生做的力的合成的实验经过要求用二个互相垂直的力 4,321F把橡皮条拉长一定的距离 OE，再撤去 21,，用一个力 F作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录 的大小和方向;改变 21,F的大小和方向，重复以上实验，探究与 21,的关系.通过实际例子，使学生学会用向量解决实际问题的方法 请学生类比实数加法运算律，猜测一下运算律是什么？ 由学生提出探究的途径,并分组验证,交流作图思路 教师投影学生设计，并根据情况进行归纳点评,总结探究过程和探究结论,让学生有一个完整的认识.(6)应用举例 通过例 5 体会向量加法的实际应用; 通过例 6 体会向量加法在几何中的应用.例 5 一架飞机向南飞行 400km,然后改变方向向东飞行300 ,试求飞机飞行的路程和位移.例 6 在平面内能否构造三个非零向量 ,abc使0.根据构造结果还可以继续提出若 CAB,得出结论：排除误差，合力F的方向在以 21,为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形该对角线的长.例 4 如图，已知向量 a， b，用三角形法则和平行四边形法则求作向量
