1、第 1 课时 数列的概念1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数 N*或其子集1，2，3，n的函数 f(n)数列的一般形式为 a1，a 2，a n，简记为a n，其中 an 是数列a n的第 项2数列的通项公式一个数列a n的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式 anf(n) 来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式3在数列a n中，前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为：na214求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比) 确定的方法 观察归纳法：先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归
2、纳出公式，再取 n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.例 1. 根据下面各数列的前 n 项的值，写出数列的一个通项公式 312， 54， 78， 916； 1，2，6，13，23，36，； 1，1，2，2，3，3，解： a n(1) n )12( a n )6732（提示：a 2a 11，a 3a 24，a 4a 37，a 5a 410，a na n1 13(n 2)=3n5各式相加得 )673(214()5(0nnn 将 1，1，2，2，3，3，变形
3、为 ,2130,1,06,54 4)1(2)1(nnna典型例题基础过关变式训练 1.某数列a n的前四项为 0， 2，0， ，则以下各式： a n 21(1) n a n n)(1 a n )(0为其中可作为a n的通项公式的是 （ ）A BC D解：D 例 2. 已知数列a n的前 n 项和 Sn，求通项 S n3 n2 S nn 23n1解 a nS nS n1 (n2) a1S 1解得：a n )(23 a n 25变式训练 2：已知数列a n的前 n 项的和 Sn 满足关系式 lg(Sn1) n，(nN *)，则数列a n的通项公式为 解： ,101)1lg( nnnSS当 n1 时
4、，a 1S 111；当 n2 时，anS nS n1 10 n10 n1 910 n1 故 an )2(091n例 3. 根据下面数列a n的首项和递推关系，探求其通项公式 a 11，a n2a n1 1 (n2) a 11，a n 3 (n2) a 11，a n 1na (n2)解： a n2a n1 1 (an1)2(a n1 1)(n2)，a 112故：a112 n，a n2 n1a n（a na n1 ）（a n1 a n2 ）（a 3a 2）（a 2a 1）a 13 n1 3 n2 3 331 )1(n(3) n1a n 121232 naan123变式训练 3.已知数列a n中，
5、a11，a n1 2na(nN *)，求该数列的通项公式解：方法一：由 an1 2n得211na， na是以 1为首项， 21为公差的等差数列 1(n1) ,即 an 2方法二：求出前 5 项，归纳猜想出 an 12，然后用数学归纳证明例 4. 已知函数 )(xf2 x2 x ，数列a n满足 )(log2naf2n，求数列a n通项公式解： af nanan(log2log2log2 n1得 n12变式训练 4.知数列a n的首项 a15前 n 项和为 Sn 且 Sn1 2S nn5（nN *） (1) 证明数列a n1是等比数列；(2) 令 f (x)a 1xa 2x2 anxn，求函数
6、f (x)在点 x1 处导数 f 1 (1)解：(1) 由已知 Sn1 2S nn5， n2 时，S n2S n1 n4，两式相减，得：Sn1 S n2(S nS n1 )1，即 an1 2a n1从而 an1 12(a n1)当 n1 时，S 22S 115， a 1a 22a 16,又 a15， a 211 n2，即a n1是以 a116 为首项，2 为公比的等比数列.(2) 由(1)知 an 32n1 )(xfa 1xa 2x2a nxn fa 12a 2xna nxn1从而 )(a 12a 2na n(321)2(32 21)n(32 n1)3(222 2n2 n)(1 2n)3n2 n1 (22 n) )1(3(n1)2 n1 )(61根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2由 Sn 求 an 时，用公式 anS nS n1 要注意 n2 这个条件，a 1 应由 a1S 1 来确定，最后看二者能否统一3由递推公式求通项公式的常见形式有：a n1 a nf(n)， nf(n)，a n1 pa nq，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法） 归纳小结
