1、2.1 代数式1用字母表示数(1)偶数与奇数的概念及表示像 0，2，4，6，能被 2 整除的整数叫做偶数如果用 k 表示任意一个整数，那么任意一个偶数可以用 2k 表示像1，3，5，不能被 2 整除的整数叫做奇数如果用 k 表示任意一个整数，那么任意一个奇数可以用 2k1( 或 2k1)表示偶数与奇数可以是负整数；0 是偶数(2)用字母表示数的意义用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使所得式子反映的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带来方便用字母表示数可以简明地表达数学运算律用字母可以简明地表示加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、分配律等
2、用字母表示数可以简明地表达公式、法则用字母可以表示三角形面积公式、正方形、长方形、圆及梯形的周长、面积等公式，分数运算法则等用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系例如，有两个数，其中第二个数比第一个数小 4.用字母可以清楚地表明这种数量关系，如果用字母 a 表示第一个数，则第二个数为 a4；如果用字母 b 表示第二个数，则第一个数为 b4.用字母表示数可以简洁、准确地表达一些数学概念如用 a 与 b 表示互为相反数的两个数，则 ab0；若 ab0，则 a 与 b 互为相反数(3)用字母表示数应注意的问题字母的确定性：在同一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量要用不同的字母来表示如长方
3、形的长和宽要分别用 a，b 两个字母表示，面积用 S 表示，则有 Sab.字母的限制性：用字母表示实际问题的某一数量时，字母的取值须使实际问题有意义，并且符合实际如表示人的数量的字母的取值必须是非负整数字母具有一般性：用字母可以表示我们已经学过的和今后要学的 任何一个数字母的不确定性：同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系字母的抽象 性：要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子【例 11】 若 n 为自然数，则三个连续的自然数可表示为_，三个连续的奇数可表示为_，三个连续的 偶数 可表示为_解析：(1)每两个连续自然数相差 1，所以如果中间的自然数为 n，则较小的自然数为
4、n1，较大的自然数为 n1；(2)奇数一般用 2n1 或 2n1 表 示，偶数一般用 2n 表示，而且每两个连续奇数或偶数相差 2.答案不唯一，只要符合连续自然数相差 1，连续奇数或偶数相差 2 都正确实际上在表示连续的几个数时，一般先表示中间的那一个数，再根据数的特点表示其他的数如表示三个连续的偶数时，先表示中间一个为 2n，则另外两个可以表示为：2n2,2n2.答案：答案不唯一，如：n1，n，n1；2n3，2n1，2n1；2n2,2n,2n2.【例 12】 填空：(1)买一个篮球需要 m 元，买一个排球需要 n 元，则买 3 个篮球和 5 个排球共需要_元；(2)今天，参加全省课改实验区的
5、初中毕业考试的同学约有 15 万人，其中男生约有 a万人，则女生约有_万人；(3)如下图是小明用火柴搭的 1 条、2 条、3 条“金鱼” ，则搭 n 条“金鱼”需要火柴_根解析：(1)显然买 3 个篮球需要 3m 元，买 5 个排球需要 5n 元，则买 3 个篮球和 5 个排球 共需要(3 m5n)元；(2) 女生的人数等于总人数减去男生的人数，由于男女同学共 15 万人，而男生有 a 万人，则女生有(15a) 万人；(3)观察发现：搭 1 条“金鱼”需要火柴 8 根，搭 2 条“金鱼”需要火柴 14 根，搭 3 条“金鱼”需要火柴 20 根，而8612,14622,20632，所以搭 n 条
6、“金鱼”需要火柴(6n2) 根注意：“(3m5n)元” 、 “(15a)万人” 、 “(6n2) 根”中表示和或差的式子一定要加括号答案：(1)(3 m5n) (2)(15a) (3)(6 n2)2代数式(1)代数式的概念用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式如：90a，ab,2k1,4a，a 2， ， r2h 等都是代数式sv 13单个的数或字母也是代数式如 m，2 013 也是代数式(2)代数式的书写规定代数式中如果出现乘号，可以写成“”或不写字母与字母相乘时“”省略，按字母表顺序书写，如 mn 写成 mn，相同字母写成幂的形式，如 aa 写成 a2，
7、( ab) (ab) 写成(ab) 2.数字与字母相乘时省略“” ，数字要写在字母的前面，若数字是带分数要化成假分数，如 4n 写成 4n,1 a 写成 a.12 32数字与数字相乘时乘号不能省略，也不能写成“” ，仍用“” 在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，即除号不用，改用分数线如 st 写成 ， x2 一般写成 或 x.st x2 12若是和差形式的代数式，式子后面有单位时，要在单位前把代数式括起来如 t 升高 2 后是(t2) ，不能写成 t2 .(3)代数式的读法代数式的读法一般有两种：一是按运算关系来读，如 x9 读作 x 加 9；另一种是按运算结果来读，如 x9 读
8、作 x 与 9 的和另外，对于含有括号的代数式，应把括号里的代数式看作一个整体按运算结果来读谈重点 如何判断一个式子是不是代数式(1)判断一个式子是不是代数式的关键是看式子中有没有运算符号，是不是数字和字母参与运算，单独的一个数或字母可以看成是它与 1 的积或它除以 1 的商，也可以看成是这个数与 0 的和或差(2)代数式中只能有运算符号，不应含有“”或“”“”“” “”等符号，即等式或不等式都不是代数式(4)列代数式列代数式就是把问题中的一些数量关系用代数式表示出来列代数式的实质就是把文字语言转化为数学符号语言列代数式应遵循下列关键点：抓住“多” “少” “大” “小” “和” “差” “积
9、” “商” “倍” “分” “平方” “比” “几分之几” “除” “除以”等关键词语，弄清各量之间的关系明确数量关系中的运算顺序，一般是先说的先算，后说的后算，如“和的积”是加在乘之前，而“积的和”是乘在加之前准确理解“的”和“与”划分的语句层次 “的”表示从属关系， “与”表示并列关系解技巧 正确列代数式列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算必须加括号，先说高级运算，再说低级运算，则不必使用括号如 x 与 1 的差的 3 倍应写成 3(x1) ，必须加括号，而 x 的 3 倍与1 的差，则写成 3x1，不必加括号【例 21】 “比 a 的 大 1 的数”用代数式表示是( )32A a1
10、B a132 23C a D a152 32解析：根据题意可知“a 的 ”可以表示为 a，大 1，用加法，所以， “比 a 的 大 1 的32 32 32数”用代数式表示为 a1，故选 A.32答案：A【例 22】 判断下列式子中，哪些是代数式？0,4x5y，x， 40,205x,3x2y,213,3x 0.分析：根据代数式的概念可判断 4x5y，205x 是代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，则 0，x，40 也是代数式；而 3x2y ,21 3,3x0 不符合代数式的概念因此它们不是代数式解：0,4x5y，x ，40,20 5x 是代数式3整式(1)单项式单项式的概念由数与字母的乘积
11、组成的代数式叫做单项式如 4a，a 2， r2h 等都是单项式13单个的字母或数也是单项式如3，a 也是单项式单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数如 4a，a 2，a， r2h 的系数分别是134,1，1， .13单项式的系数是 1 或1 时“1”省略不写，如 a2，a 的系数分别是 1 和1，其中“1”要省略不写单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数如 4a，a 2， r2h 的次数分别是 1,2,3.13析规律 判断单项式及其次数(1)判定一个代数式是否是单项式，关键是看式子中的数与字母或字母与字母之间是不是纯粹的乘积关系(乘方也是一种乘积形式 )如
12、果含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式凡是字母出现在分母中的代数式，也一定不是单项式(2)单项式的次数指的是所有字母的指数的和，如果字母没有写指数，那么这个字母的指数是 1，特别注意， 是常数不是字母，单项式的系数是带分数时，通常写成假分数(2)多项式多项式的概念几个单项式的和组成的代数式叫做多项式如：ab,2k1，x 22x3 等都是多项式多项式的项在多项式里，每个单项式叫做多项式的项多项式的每一项都包括它前面的符号如 3x22y9 的项是 3x2， 2y，9.常数项不含字母的项，叫做常数项，注意常数项也包括它前面的符号如多项式 3x22y 9 中的常数项是9，而不是 9.多项式的次数在
13、多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数如多项式 3x22y 9 的次数 是 2，这个多项式是二次多项式一个多项式有几项，这个多项式叫做几项式如多项式 3x22y 9 是三项式于是可按多项式的次数与项数区分多项式如 4a2b3ab2a1 是三次四项式解技巧 对多项式及相关概念的理解(1)多项式至少是两项，多项式中一定含有加减运算；(2)一个多项式中，任意一项的次数都不大于这个多项式的次数；(3)当多项式中某项的系数是用科学记数法表示的形式时，不要把 10 的指数算成是该项次数的一个组成部分(3)整式单项式与多项式统称整式谈重点 单项式与多项式的区别(1)单项式的系数应包括前面的符号，单
14、项式的次数是所有字母的指数相加的结果，只与字母有关，而与系数无关，数字单项式的次数是 0.(2)多项式没有系数，它的次数与组成的各个单项式的次数有关，用次数最高的单项式的次数代表多项式的次数我们可以用一个多项式的次数与项数对多项式进行分类(3)判定一个式子是单项式还是多项式，首先判定它是否是整式，若分母中含有字母，则它一定不是整式，因此也不可能是单项式或多项式；而单项式与多项式的区别在于看是否含有加减运算，含有加减运算的整式是多项式，不含加减运算的整式是单项式【例 31】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数ab2，y， ， 5,2 5x7，3x 2y3z，r 2.23 am
15、n xy3分析：代数式 含有分母，并且分母中有字母，所以不是单项式； 5 含有加法运amn xy3算，也不是单项式解：单项式是 ab2，y,2 5x7，3x 2y3z，r 2.23ab2 的系数是 ，次数是 3；y 的系数是1，次数是 1；2 5x7 的系数是 25，次数是23 237；3x 2y3z 的系数是3，次数是 6；r 2 的系数是 ，次数是 2.【例 32】 下列代数式，哪些是多项式？说出多项式的项，并指出它是几次几项式(1)x42x 3x5；(2)a3ab 23a 2b2 b31；14(3)2a ；xy(4)ts 9s2.分析：第三个代数式 2a 中的第二项不是单项式，所以 2a
16、 不是多项式多项式xy xyx42x 3x5 的次数是 4，多项式 a3ab 23a 2b2 b3 1 的次数是 4，多项式 ts9s 214的次数是 2.解：x 42x 3x 5，a 3ab 2 3a2b2 b31，ts9s 2 是多项式14x42x 3x5 的项是 x4，2x 3，x，5，它是四次四项式；a3ab 23a 2b2 b31 的项是 a3，ab 2,3a2b2， b3，1，它是四次五项式；14 14ts9s 2 的项是 t，s,9s 2，它是二次三项式4代数式的值(1)代数式的值的概念概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值代数式的值，
17、一般不是一个固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的，是根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算所得的结果(2)注意事项代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形代数式的字母取值，必须使要求的代数式有意义如在代数式 中，当 t0 时，代st数式没有意义当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值还要保证具有实际意义如 a 表示学生人数，则 a 只能取正整数(3)求代数式的值求代数式的值，其步骤有两步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入” ；按照代数式指明的运算，计算出结果，简称“计算” 谈重点 求
18、代数式的值需注意的几点(1)代入时 ，按已知给定的数值，将相应的字母换成数字，其他的运算符号、原来的数字都不能改变(2)代数式中原来省略的乘号，代入数字后出现数字与数字相乘时，必须添上乘号(3)代数式的值是由所含字母取值确定 的，是随着代数式中字母的取值的变化而变化的，所以求代数式的值时，在代入前，必须写出“当时” ，表示代数式的值是在这种情况下求得的(4)如果字母给出的数值是负数，代入时必须加括号(5)如果字母给出的数值是分数，作乘方运算时也必须添上括号【例 4】 已知 a ，b4，求代数式 a2b 23ab 的值23分析：把 a，b 的值代入到代数式中，可得 a2b 23ab 2(4) 2
19、3 (4)，(23) 23再按有理数的运算法则计算解：当 a ，b4 时，23a2b 23ab 2(4) 23 (4)(23) 23 16249 .49 595列代数式的方法(1)正确列代数式的关键在于：正确理清数量关系；善于抓住关键词语； 能正确判断数量关系中的运算顺序(2)两种常用的列代数式的方法方法一：“翻译法” 列代数式的关键之一在于分清数量关系中的运算层次和运算顺序，一般地叙述数量关系的顺序与代数式的书写顺序基本上是一致的，即可按照“先读的先写”这种类似英语中的“翻译”的方法来列代数式方法二：“方程法” 列代数式的关键之一在于正确地理清各数量之间的关系一般问题中数量间的关系是容易找到
20、的，但当题目中所涉及的各数量之间的关系不容易理清时，可借助方程的思想来帮助分析【例 51】 用代数式表示：(1)a，b 两数和的 2 倍与 a，b 两数积的差；(2)a，b 两数和的平方与 a，b 两数平方差的商；(3)a，b 两数和的倒数与它们的积的差的平方解：(1)2( ab)ab；(2) ；(3) 2.a b2a2 b2 ( 1a b ab)【例 52】 汛期来临时，某地区决定实施“海堤加固”工程某工程队承包了该项目，计划每天加固 60 米在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击该地区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的 1.5 倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任
21、务设该地区要加固的海堤长为 a 米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了多少天(用含 a 的代数式表示 )解：完成整个任务原计划用的时间完成整个任务的实际时间完成整个任务的实际时间比原计划时间少用的天数原计划用 天，实际上用了 天，所以少用了 a60 a601.5 a60 (天) a90 a1806.用字母表示数学规律(1)数字规律一组数字或等式有一定的规律，可以用字母来表示常见的有两类：数字：如偶数、奇数、比某一个数的几倍多(少) 多少等式：具有一定规律的计算等式(2)图形规律图形中的数学规律用具体数字表示有些困难，而用字母表示非常简洁用字母表示图形中的规律的方法及步骤：根据题目中提供
22、的图形分析其中蕴含的规律；用字母列出式子释疑点 用字母表示数学规律(1)用字母表示图形中的规律与用数字表示规律本质是一致的(2) 规律探索是一种观察、归纳、猜想验证的过程，对于这样的题目要数形结合，从特殊到一般，用字母表示最终的结果，更能反映图形的变化规律【例 61】 观察下列算式：132 2341；243 2891；354 215161；_；(1)请你按以上规律写出第 4 个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来解：(1)465 224251.(2)答案不唯一如 n(n2)(n1) 21(n正整数) 【例 62】 用火柴棒按如下方式搭图：(1)填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5火
23、柴棒根数(2)照这个规律搭下去，搭 n 个这样的三角形需要多少根火柴棒？分析：(1)可采用数的办法填空；(2)有两种方法：一是观察图形，确定每增加一个三角形需要增加的火柴棒的根数；二是通过观察上表中数的关系，从而找到规律解：(1)3 5 7 9 11 (2)照题中规律搭下去，搭 n 个这样的三角形需要火柴棒的根数为 32( n1)7.代数式求值的方法求代数式的值常用的方法有：直接代入计算、整体代入计算、按指定的程序代入计算(1)直接代入计算当已知一个代数式中各字母的取值时，可以用直接代入计算的方法(2)整体代入计算已知含有两个字母或多个字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，可以选用整体代入的
24、方法整体代入步骤：对已知代数式或所求代数式进行适当变形；整体代入求值(3)按指定的程序代入计算按指定的程序代入计算，即数值转换机给出一个代数式，或提供运算程序，给出字母的取值，代入求值即可【例 7】 下图是一组数值转换机， (1)当 x3 时，写出图 a 的输出结果；(2) 找出图b 的转换步骤，并求出当 x2.5 时输出的结果分析：(1)先根据题图提供的程序写出代数式，代数式是 3x2，再将 x3 代入求值；(2)根据代数式中指明的运算顺序，先算加法再算除法，所以其步骤分别是4 和5.解：(1)由转换机程序可知代数式是 3x2，当 x3 时，原式(3)3211.(2)观察可知转换机的步骤是：
25、4 和5.当 x2.5 时，原式 (2.54)51.3.8代数式的应用(1)列代数式求阴影部分的面积一般有三种方法：和差法：就是不改变图形的位置，将阴影部分的面积用规则图形的和或差来表示，经过计算后可以求出阴影部分的面积移动法：就是将图形的位置进行移动，以便利用和差法所提供的条件，具体的做法是平移、旋转、割补、等积变换等覆盖法：就是几个图形覆盖在一起，重叠的部分的面积就是阴影部分的面积(2)探究图形排列的规律，利用代数式表示所需图形的个数主要考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的通过分析找到各部分的变化规律后用一个统
26、一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点找规律的题目，要通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题解决此类题目的难点在于找出能够代表一般规律的代数式很多题目考查对于数字变化规律的运算猜想能力，需要有一定的数学思想【例 81】 如图所示，求图中阴影部分的面积：分析：阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白部分的面积，即：(1)长方形的面积减去长方形的面积；(2)长方形的面积减去四个正方形的面积； (3)长方形的面积减去两个长方形的面积再加上一个长方形的面积；(4)长方形的面积减去两个小扇形的面积，即 a(ab) a2 b2.4 4解：(1)mnpq ；(2)ab4x 2；(3)a
27、banbmmn；(4) a2 b2ab.(1 4) 4【例 82】 下面是由一些火柴棒拼出的一系列图形，第 n 个图 形由 n 个正方形组成，通过观察图形：(1)用 n 表示火柴棒根数 s 的公式；(2)当 n20 时，计算 s 的值解：(1)s 3n 1.(2)当 n20 时，s 3201 61( 根)9.用单项式、多项式的概念求字母的值数学中的概念是通过事物的特征下的定义，因此还具有判定特征的作用，即，在知道是某种事物的前提下，我们又可以知道这种事物必备的特点，因此在整式的应用中，我们可以通过概念规定的条件，在知道是某种式子的前提下，推理认识它所具备的性质，从而通过列式，求出某些未知数的值
28、如：由单项式2x 4 可知它的系数是2，次数是 4，反过来若知道ax m的系数是2、次数是 4，就可以知道a2，m4，从而求出 a2，多项式的运用也是如此【例 91】 若 m3x2yn1 是关于 x，y 的五次单项式，且系数为 ，则18m_；n_.解析：因为单项式是关于 x，y 的五次单项式，所以 m 是常数，因为系数为 ，因此有18m3 ，m ；2n15，n2.18 12答案： 212【例 92】 已知多项式 5xmy2(m 2)xy3x，如果它的次数为 4 次，则 m 应为多少？如果多项式只有两项，则 m 为多少？分析：次数最高项的次数是多项式的次数，在已知的多项式中只有 5xmy2 次数能成为多项式的次数，所以 m2 应该等于 4；如果多项式是二项式，只有( m2)xy 这项不存在才可以，所以这项的系数只能是 0.解：如果多项式的次数为 4 次，则 m24，即 m2；如果多项式只有两项，则m20，即 m2.
