1、1必备二 审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审 审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例 1 (2018 江苏扬州高三第一次模拟)已知函数 f(x)=
2、sinx-x+ ,则关于 x 的不等式 f(1-x2)1-4x2x+f(5x-7)7-5x答案 (2,3)解析 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,f(x)=cosx-1- -2xln2,ln22xf(x)7-5x,解得 20 时,h(x)0,(x)在(0,+)上单调递增.(x)在 x=0 处有唯一的极小值 (0)=0,即 (x)在 R 上的最小值为 (0)=0.(x)0(当且仅当 x=0 时,等号成立),(x)在 R 上是单调递增的,(x)在 R 上有唯一的零点,故曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一的公共点.12跟踪集训2.(2018 江苏
3、南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且 g(1)=-1.令 f(x)=g +mlnx+ (mR,x0).(x+12) 98(1)求 g(x)的表达式;(2)若 x0,f(x)0 成立,求实数 m 的取值范围;(3)设 11000.11000|1-12n-1| 11000因为 29=5120,00)的图象如图所示,则 f(2)= . 6五审 审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例 5
4、 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设 aij(i,jN *)是这个三角形数表中从上往下数第 i 行,从左往右数第 j 个数,如 a42=8,若 aij=2015,则 i+j= . 12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24审题指导 i 是奇数 2015 位于奇数行的位置,求出 i 判断这一行数的个数 求出 j 求出 i+j答案 110解析 由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2015=21008-1,所以 2015 为第 1008 个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前 31 个奇数行
5、内奇数的总个数为 311+ 2=961,前 32 个奇数行内奇数的总个数为 321+ 2=1024,故 2015 在第 32 个31302 32312奇数行内,所以 i=63,因为第 31 个奇数行的最后一个奇数是 9612-1=1921,所以第 63 行的第一个数为1923,所以 2015=1923+2(j-1),故 j=47,从而 i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列a n,an=2 ,把数列a n的各项排成三角形状,如图所示,记 A(m,n)表示第 m 行,第 n 列的(13)n项,则 A(10,8)= . a1a2 a 37a4 a 5 a 6a7 a 8 a 9 a 10
6、6.下表给出一个“三角形数阵”.1412 1434 38 316已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第 i 行第 j列的数为 aij(ij,i,jN *).(1)求 a83;(2)试写出 aij关于 i,j 的表达式;(3)记第 n 行的和为 An,求数列A n的前 m 项和 Bm的表达式.六审 审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例 6 已知函数 f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有最大值,且最大
7、值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.审题指导 (1) f(x)=lnx+a(1-x) f(x)= -a1x结论8(2)由(1)中结论 f(x)的最大值 lna+a-10,所以 f(x)在(0,+)上单调递增.若 a0,则当 x 时,f(x)0;当 x 时,f(x)0 时,f(x)在 x= 处取得最大值,最大值为 f1a=ln +a =-lna+a-1.因此 f 2a-2 等价于 lna+a-10,g(a)= +10,1a则 g(a)在(0,+)上单调递增,又 g(1)=0,于是,当 01 时,g(a)0.因此,a 的取值范围是(0,1).跟踪集训7.在三角形 ABC 中,已知 2 =|
8、| |,设CAB=,ABACAB AC(1)求角 的值;(2)若 cos(-)= ,其中 ,求 cos 的值.437 ( 3,56)七审 审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.典型例题例 7 已知椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点为 F(-2,0),离心率为 .x2a2y2b2 63(1)求椭圆 C 的标准方程;9(2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q 两点.当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积.审题指导 (1)(2)四边形 OPTQ是平行四
9、边形 SOPTQ=2SOPQ SOPQ = |OF|y1-y2| y1与 y212的关系 联立直线 PQ 的方程与椭圆的方程解析 (1)由已知可得 = ,c=2,所以 a= .ca 63 6由 a2=b2+c2,得 b= ,所以椭圆 C 的标准方程是 + =1.2x26y22(2)设 T 点的坐标为(-3,m),则直线 TF 的斜率 kTF= =-m.m-0-3-(-2)当 m0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= ,1m则直线 PQ 的方程是 x=my-2.当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也满足方程 x=my-2.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭
10、圆 C 的方程联立,得 消去 x,得(m 2+3)y2-x=my-2,x26+y22=1,4my-2=0,=16m 2+8(m2+3)0,y1+y2= ,y1y2= ,4mm2+3 -2m2+3则 x1+x2=m(y1+y2)-4= .-12m2+3因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以 = ,即(x 1,y1)=(-3-x2,m-y2).OPQT所以 解得 m=1.x1+x2= -12m2+3= -3,y1+y2= 4mm2+3=m, 10所以 S 四边形 OPTQ=2SOPQ =2 |OF|y1-y2|12=2 =2 .(4mm2+3)2-4-2m2+3 311跟踪集训8.(2018 常
11、州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(ab0)的右焦点为x2a2y2b2F,点 A 是椭圆的左顶点,过原点的直线 MN 与椭圆交于 M,N 两点(M 在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知 AMMN,且 = b2.OAOM43(1)求椭圆 C 的离心率 e;(2)若 SANM +SPOF = a,求椭圆 C 的标准方程.10312答案精解精析一审 审条件挖隐含跟踪集训1.答案 a|a1 或 a-8解析 因为 f(x)=2x是单调增函数,所以由 f(x+1)f(2x+a) 2得 x+1(2x+a) 2,则问题转化为 x+1(2x+a) 2对 x0,
12、3恒成立,即 4x2+(4a-1)x+a2-10 对 x0,3恒成立,令 h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,若 3,则 h(3)0,此时 a-8;1-4a8若 0 3,则 =(4a-1) 2-16(a2-1)0,此时无解.1-4a8综上,a 的取值范围是a|a1 或 a-8.二审 审结论会转换跟踪集训2.解析 (1)设 g(x)=ax2+bx+c,a0,于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以 a=12,c= -1.又 g(1)=-1,则 b=- .所以 g(x)= x2- x-1.12 12 12(2)f(x)=g +mlnx+ = x2+ml
13、nx(mR,x0).(x+12) 9812当 m0 时,由对数函数性质知 f(x)的值域为 R;当 m=0 时,f(x)= ,x0,f(x)0 恒成立;x22当 m0 -e0,m0,f(x)0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是(-e,0.故x0,f(x)0 成立,实数 m 的取值范围(-,-e(0,+).(3)证明:因为x1,m,H(x)= 0,(x-1)(x-m)x所以 H(x)在1,m内单调递减.于是|H(x 1)-H(x2)|H(1)-H(m)= m2-mlnm- ,12 12|H(x1)-H(x2)|0,121m32m232(1m-13)213所以函数 h(m)= m-lnm- 在(
14、1,e上是单调增函数,12 32m所以 h(m)h(e)= -1- = 0,即 M1M3M4.(M n)max=M2=10 -1= .(13+14) 296因此数列S 2n-Sn的最大值为 .296四审 审图形抓特点跟踪集训4.答案 -22解析 由三角函数的图象可得 T=3-1=2,所以最小正周期 T= = ,解得 = .又 f(1)=sin =1,34 832 34 (34+ )解得 =- +2k,kZ, 4所以 f(x)=sin ,kZ,(34x- 4+2k)则 f(2)=sin =sin =- .(32- 4) 54 22五审 审图表找规律跟踪集训155.答案 2 (13)53解析 由题
15、意知:第一行共 1 项,第二行共 2 项,第三行共 3 项,可以猜测第 n 行共 n+1 项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是 S9= =45,再加上第十行的 8 项就是 A(10,8)9(1+9)2=a53=2 ,(13)53故答案为 2 .(1353)6.解析 (1)由题知,a i1成等差数列,因为 a11= ,a21= ,14 12所以公差 d= ,a81= +(8-1) =2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a 31= ,a32= ,所以,每行的14 14 14 34 38公比 q= ,故 a83=2 = .12 (12)212(2)由(1)知 ai1=
16、 +(i-1) = ,所以 aij=ai1 = =i .14 14i4 (12)j-1i4 (12)j-1 (12)j+1(3)An=an11+12+(12)2+(12)n-1= = -n .n42-(12)n-1n2 (12)n+1Bm= (1+2+m)-12.12(12+24+38+m2m)设 Tm= + + + ,122438 m2m则 Tm= + + + ,12 1428316 m2m+1由-,得 Tm= + + + - =1- - =1- ,12 121418 12m+1 m2m+1 12m m2m+1 m+22m+1所以 Bm= - = + -1.12 m(1+m)2 (1-m+2
17、2m+1)m(1+m)4 m+22m+1六审 审范围防易错跟踪集训7.解析 (1)由 2 =| | |,ABACAB AC得 2| | |cos=| | |,AB AC AB AC所以 cos= ,又因为 为三角形 ABC 的内角,所以 = .12 3(2)由(1)知 sin= ,且 - ,又 cos(-)= ,所以 sin(-)= ,32 (0, 2) 437 1716故 cos=cos(-+)=cos(-)cos-sin(-)sin= - = .437 1217 32 3314七审 审方法寻捷径跟踪集训8.解析 (1)由题意知 消去 y,x2a2+y2b2=1,(x+a2)2+y2=(a2
18、)2,得 x2+ax+b2=0,c2a2解得 x1=-a,x2=- ,ab2c2所以 xM=- (-a,0), =xMxA= a= b2, = ,所以 e= .ab2c2 OAOM ab2c2 43 c2a234 32(2)由(1)知 M ,右准线方程为 x= b,(-23b,-223b) 433直线 MN 的方程为 y= x,所以 P ,2 (433b,463b)SPOF = OFyP= b b=2 b2,12 32 463 2SAMN =2SAOM =OA|yM|=2b b= b2,223 423所以 2 b2+ b2= a,2423 103b2= b2,所以 b= ,a=2 ,1023 203 2 2椭圆 C 的标准方程为 + =1.x28y22
