1、3.2.2 比例的基本性质黄金争分割教学目标（一）教学知识点1.知道黄金分割的定义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.（二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.（三）情感与价值观要求理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.教学重点了解黄金分割的意义，并能运用.教学难点找黄金分割点和画黄金矩形.教学方法讲解法教具准备投影片一张：（记作4.2 A ）教学过程.创设问题情境，引入新课图 46师生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图
2、形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点 C 把 AB 分成两段 AC 和 BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.讲授新课师在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段 AC、BC 的长度，然后计算 ABC、ACB,它们的值相等吗？生相等.师所以 ACB.1.黄金分割的定义在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ACB,那么称线段 AB被点 C 黄金分割（golden section）,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比.其中 AB0.618.投影片（4.2 A）黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角
3、星形的各边是按黄金分割划分的，其中点 C 就是线段 AB 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为 0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618 法”就是黄金分割的一种应用.师既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如
4、何找一条线段的黄金分割点.2.作一条线段的黄金分割点.图 47如图，已知线段 AB，按照如下方法作图：（1）经过点 B 作 BDAB ，使 BD= 21AB.（2）连接 AD，在 DA 上截取 DE=DB.（3）在 AB 上截取 AC=AE.则点 C 为线段 AB 的黄金分割点.师你知道为什么吗？若点 C 为线段 AB 的黄金分割点，则点 C 分线段 AB 所成的线 AC、BC 间须满足AB.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设 AB=1.证明：AB=1,AC=x ,BD= 21AB=AD= x+ 21在 Rt ABD 中，由勾股定理，得（x+ 21） 2=12+（
5、 ） 2x 2+x+ 4=1+x 2=1xx 2=1（1x ）AC 2=ABBC即： ACB即点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，在 x2=1x 中整理，得 x2+x 1=0x=5141AC 为线段长，只能取正AC= 215 0.618 ABC0.618黄金比约为 0.618.3.想一想图 48古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形 ABCD 中，以矩形 ABCD 的宽 AD 为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， BCAE,点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？师请大家互相交流.生因为四边形
6、 AEFD 是正方形，所以 AD=BC=AE,又因为 BCAE,所以 AEB,即AEB,因此点 E 是 AB 的黄金分割点，矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比.师在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？.随堂练习1.解：设 AB=a,根据题意，得AE= 2,由勾股定理，得EF=EB= 22AEB= 42a= 25aAF=AH= BEAE = 215aBH=ABAH =a3ABH2151532a AHB点 H 是 AB 的黄金分割点 .课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是
7、否为一条线段的黄金分割点.课后作业习题 4.3.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在 1000 和 2000 之间，那么，可以把 1000 和 2000 看作线段的两个端点，选择 AB 的黄金分割点 C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是1000+（20001000）0.618=1618.试验的结果，如果按 1618 倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选 AC 的黄金分割点 D，D 的位置是1000+（16181000）0.618，约等于 1382，如果 D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选 DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选 AD 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.板书设计一、1.黄金分割的定义.2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.3.想一想二、随堂练习三、课时小节四、课后作业全 品中考网
