1、1.1 反比例函数第一课时教学目标：1、知识与技能：（1）从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。（2）经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解概念。2、过程与方法：（1）经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。（2）经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。3、情感态度与价值观：（1）经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学习数学的兴趣。（2）通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。来源:学#科#网教学重点和难点:教学重学是了解并掌握反比例函数的概念。教
2、学难点是能根据已知条件（应用性类 型）确定反比例函数解析式。教学设想：由于学生已学过正比例关系，一次函数，正比例函数等概念，初步打算采用新旧知识相联系的方法，让学生通过观察、比较、发现、概括的方法来学习新知识，从而掌握新知识。本节课通过对具体情境的分析，概括出反比例函数的表达形式，明确反比例函数的概念。通过例题和列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义。由于本节课比较抽象，理解起来比较困难，因此，在学习反比例函数概念的过程中，应充分利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律，并逐步加深理解。教学中要提供直观背景展现反比例函
3、数的经验来源，在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的某种直观解释或实际意义，在活动中，教师应注意提供思考或研究问题的方向。教学过程设计一、创设情境，导入新课：活动 1：问 题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为 1463km，乘坐某次列车所用时间 t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为 1000m2的矩形草坪，草坪的长为 y 随宽 x 的变化；（3）已知北京市的总面积为 1.68104平方千米，人均占有土地面积 S（单位：平方千米/人）随全市人口 n（单位:人）的
4、变化而变化。先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流。学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数，了解所讨论的函数的表达形式。后教师组织学生讨论，提问学生，师生互动。在此活动中老师应重点关注学生:（1）能否积极主动地合作交流。 （2）能否用语言说明两个变量间的关系。 （3）能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。分析及解答：（1） ；（2） ；（3） 。其中 v 是自变vt146xy10ns41068.量，t 是 v 的函数；x 是自变量，y 是 x 的函数；n 是自变量，s 是 n 的函数；上面的函数关系式，都具有 的形式，其中 k 是常数。k问题探
5、究：问题 1：北京到杭州铁路线长为 1661km。一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为 x(h)，火车行驶的平均速度为 y（km/h)，(1)你能完成下列表格吗？来源:学科网 ZXXK87.4y(km/h) 21512X解答 87.4y(km/h)21512X38.49.0.75.(2)y 与 x 成什么比例关系？能用一个数学解析式表示吗？问题 2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 平方米的矩形饲养场。设它的一边长为 x(米)，请写出另一边的长 y(米)与 x 的关系式二、联系生活，丰富联想：活动 2：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？（
6、1）一个游泳池的容积为 2000m3，注满游泳池所用的时间随注水速度 u 的变化而变化；（2）某立方体的体积为 1000cm3，立方体的高 h 随底面积 S 的变化而变化；（3）一个物体重 100 牛顿，物体对地面的压力 p 随物体与地面的接触面积 S 的变化而变化。学生先独立思考，在进行全班交流。教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生：（1）能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；（2）能否积极主动地参与小组活动；（3）能否比较深刻地 领会函数、反比例函数的概念。分析及解答：（1） ；（2） ；（ 3） 来源:学科网 ZXXKvt0sh10sp10归纳小
7、结：函数关系式 、 、 、 、 、vt1463xyns468.vt2sh10等，具有什么共同特点?你还能举出类似的实例吗?sp10例子，如：(1)一个面积为 6400的长方形的长 a(m)随宽 b(m)的变化而变化。 。来源:学科网640ab(2)某银行为资助某社会福利厂，提供了 20 万元的无息贷款，该厂的平均年还贷额y(万元)随还款年限 x(年)的变化而变化。 。20yx(3)游泳池的容积为 5000m3，向池内注水，注满水所需时间 t(h)随注水速度 v(m3h)的变化而变化。 。50tv(4)实数 m 与 n 的积为-200，m 随 n 的变化而变化。 。20mn概念：我们把函数 （
8、为常数， ）叫做反比例函数。这里 x 是自变量，xky0ky 是关于 x 的函数，k 叫做反比例系数。反比例函数的自变量 x 不能为零。 （反比例函数也可以表示为 y=kx-1(k 为常数，k0)的形式.）学生自己揭示概念，体验反比例函数概念的形成过程，明确函数关系式的特征，深入理解概念。活动 3：做一做：一个矩形的面积为 20cm2，相邻的两条边长为 xcm 和 ycm。那么变量 y 是变量 x 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？来源:学*科*网学生先进行独立思考，再进行全班交流。教师提出问题，关注学生思考。此活动中教师应重点关注：（1）学生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；（
9、2）学生能否顺利抽象反比例函数的模型；（3）学生能否积极主动地合作、交流。活动 4：问题 1：下列哪个等式中的 y 是 x 的反比例函数？； ； ； ； y=-3x； y=2x+1； ； 。xy316xy235y12x问题 2：下列函数中哪些是反比例函数？说出反比例函数的比例系数； ； ； y=3(x-1)2+1； （是常数，0） ；xsx。14y此处的问题 1、2，也可以合并成同一问题，主要是让学生在练习中增加对反比例函数的认识，本课着重的是反比例的形式。问题 3：已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=2 时，y=6 。 （1）写出 y 与 x 的函数关系式：（2）求当 x=4 时，y 的
10、值。学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。在此活动中教师应重点关注：学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；学生能否积极主动地参与小组活动。分析及解答：1、只有 xy=123 是反比例函数。2、2，3 均为反比例函数。来源:Z*xx*k.Com3、y 是 x 的反比例函数，所以 ，再把 x=2 和 y=6 代入上式就可求出常数 k 的xky值。解：（1）设 ，因为 x=2 时，y=6，所以有 ；解得 k=12；因此xk26kxy12（2）把 x=4 代入 ，得y1234y三、例题分析，形成模型：“给我一个支点，我可以把地球撬动。 ”这是古希腊
11、科学家阿基米德的名言?这里蕴涵着什么样的原理呢?公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物 体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为；阻力阻力臂动力动力臂。活动：小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为 1200 牛顿和05 米。(1)动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 ?当动力臂为 1.5 米时，撬动石头至少需要多大的力?(2)若想使动力 F 不超过题 (1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?【设计意图：物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系。因此，在 这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即
12、跨学科综合应用。来源:学,科,网师生行为：先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题。教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系。 来源:学+科+网 Z+X+X+K教师在此活动中应重点关注：学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣。 】解：(1)根据“杠杆定律”有 Fl12000.5得 F 。600l当 l1.5 时，F 400。因此，撬动石头至少需要 400 牛顿的力。6001.5(2)若想使动力 F 不超过题(1)中所用力的一半，即不超
13、过 200 牛，根据“杠杆定律”有 Fl6 00，即 l ；当 F400 200 时， l 3。31.51.5(米)。600F 12 600200因此，若想用力不超过 400 牛顿的一半，则动力臂至少要如长 1.5 米继续运用：【例 1】如图，阻力为 1000N， 阻力臂长为 5cm.设动力 y（N） ，动力臂为x（cm） （图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力动力臂=阻力阻力臂）(1)求 y 关于 x 的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；(2)求当 x=50 时，函数 y 的值，并说明这个值的实际意义； (3)利用 y 关于 x 的函数解析式，说明当动 力
14、臂长扩大到原来的 n 倍时，所需动力将怎样变化？练 1、三角形一边长为 xcm，这边上的高为 ycm，它的面积为 25cm2.求(1)y 关于 x 的函数关系式，并判断是什么函数？（2）自变量 x 的取值范围，(3)当 y=10 时 x 的值。练 2、一个矩形的面积是 20cm2，相邻的两条边长为 xcm 和 ycm，那么变量 y 是 x 的函数吗?是反比例函数吗?为什么?练 3、某村有耕地 346.2 公顷，人口数量 n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积 m(公顷/人)是全村人口数 n 的函数吗?是反比例函数吗?为什么?课内练习：来源:学科网 ZXXK1、已知反比例函数 ，说出比例系数
15、；求当 x=10 时函数的值；求当53yxy= 时自变量 x 的值。来源:Zxxk.Com22、设面积为 10cm2的三角形的一边长为 a（cm） ，这 条边上的高为 h（cm） ，求 h 关于 a 的函数解析式及自变量 a 的取值范围；h 关于 a 的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数；求当边长 a=25cm 时，这条边上的高。四、巩固提高：活动 5：1、已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=3 时，y=-8。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式。 （2）求 y=2 时 x 的值。2、y 是 x 的反比例函数，下表给出了 x 与 y 的一些值：x -2 -1 211
16、 3y 322 -1（ 1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生” 。检测反馈：分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？(1)小红一分钟可以制作 2 朵花， x 分钟可以制作 y 朵花；(2)体积为 100cm3的长方体，高为 hcm 时，底面积为 Scm2；(3)用一根长 50cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为 xcm 时，面积为 ycm2；(4)小李接到对长为 100 米的管道进行检修的任务，设每天能完成 10 米， x 天后剩下的未检修的管道长为 y 米.五、课时小结：反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依 关系及变化规律，逐步加深理解。在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象。反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象。
