1、第 2 课时 集合的运算一、集合的运算1交集：由 的元素组成的集合，叫做集合 A与 B的交集，记作 AB，即AB 2并集：由 的元素组成的集合，叫做集合 A与 B的并集，记作 AB，即AB 3补集：集合 A是集合 S的子集，由 的元素组成的集合，叫做 S中子集 A的补集，记作 SC，即 二、集合的常用运算性质1AA ，A ，AB= ，BA，AA ，A ，AB BA2 UAC ， UAC ， ()UCA 3 ()B ，U，4ABA ABA 例 1. 设全集 UR， |Mm方程 210x有实数根 ， |Nn方程20xn有实数根 ，求 ()UCN.解：当 m时， 1x，即 0；当 0时， 4,即 1
2、4m，且 0 14m， |UCM而对于 N， 140,n即 14， 1|4Nn.基础过关典型例题 1()|4UCMNx变式训练 1.已知集合 A= 6|,R,xB=2|0,xm （1）当 m=3时，求 ()RACB；（2）若 AB |14x，求实数 m的值.解： 由 6,得 50.-1 x5,A= |15x.（1）当 m=3时，B= |3x，则 RCB= |3x即， ()RACB=|5.(2)A= |,|14,xAx有 42-24-m=0,解得 m=8.此时 B= |24,符合题意，故实数 m的值为 8.例 2. 已知 |3xa, |Bx或 5.(1)若 AB,求 的取值范围;(2) 若 ,求
3、 的取值范围 .解:(1) , 135a，解之得 2a.(2) AB, B. 或 5， 4或 5a若 ,则 a的取值范围是 1,2；若 AB,则 的取值范围是(,4)(5).变式训练 2：设集合 A=2|30,xB 22|(1)(5)0.xax（1）若 AB ,求实数 a的值；（2）若 AB=A，求实数 a的取值范围；（3）若 U=R，A （ UC）=A.求实数 a的取值范围.解:由 x2-3x+2=0得 x=1或 x=2,故集合 A=1,2. （1）A B 2,2 B，代入 B中的方程，得 a2+4a+3=0,a=-1 或 a=-3;当 a=-1时，B= 2|402,x满足条件；当 a=-3
4、时，B= |满足条件；综上，a 的值为-1 或-3. （2）对于集合 B，=4（a+1）2-4(a 2-5)=8(a+3).A B=A，B A,当 0,即 a-3 时，B= ，满足条件；当 =0，即 a=-3时，B 2,，满足条件；当 0，即 a-3 时，B=A= 1.才能满足条件， 则由根与系数的关系得 21()5a即 2,7矛盾；综上，a 的取值范围是 a-3.（3）A （ UCB）=A，A UB，A ; 若 B=，则 0 3a适合；若 B ，则 a=-3时，B= 2，A B= ，不合题意；a-3，此时需 1B且 2 B，将 2代入 B的方程得 a=-1或 a=-3（舍去） ；将 1代入
5、B的方程得 a2+2a-2=0 13.a-1 且 a-3 且 a-1 . 综上，a 的取值范围是 a-3 或-3a-1- 或-1- a-1 或-1a-1+ 3或 a-1+3. 例 3. 已知集合 A=2|()10,R,xxB |0x，试问是否存在实数a，使得 AB ？ 若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由.解:方法一 假设存在实数 a满足条件 AB=则有（1）当 A 时，由 AB= ，B R|0x，知集合 A中的元素为非正数，设方程 x2+(2+a)x+1=0的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系，得01;0,)(42xaa解 得（2）当 A=时，则有 =(2+a)2-40，解得-4a
6、0.综上（1） 、 （2） ，知存在满足条件 AB=的实数 a,其取值范围是（-4，+）.方法二 假设存在实数 a满足条件 A B ，则方程 x2+(2+a)x+1=0的两实数根 x1，x 2至少有一个为正，因为 x1x2=10，所以两根 x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得 12()40,a解得 4,.2a即即又集合 |4a的补集为 |,存在满足条件 AB=的实数 a,其取值范围是（-4，+）.变式训练 3.设集合 A=（x,y）|y=2x-1,xN*,B=(x,y)|y=ax2-ax+a,xN*，问是否存在非零整数 a,使 AB ？若存在，请求出 a的值；若不存在，说明理由.解：假设
7、 AB ，则方程组21yxa有正整数解，消去 y,得 ax2-(a+2)x+a+1=0.由 0，有（a+2）2-4a(a+1)0,解得- 23a.因 a为非零整数，a=1，当 a=-1时，代入（*） ， 解得 x=0或 x=-1,而 xN*.故 a-1.当 a=1时，代入（*）,解得 x=1或 x=2，符合题意.故存在 a=1,使得 AB ,此时 AB=（1，1） ， （2，3）.例 4. 已知 Axx22ax(4a3)0，xR，又Bxx22 axa2a20，xR，是否存在实数 a，使得 AB ?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由解：1a2 即实数 (1，2)时， BA 变式训练 4.设集合 为函数 2ln(8)yx的定义域 ,集合 为函数 1yx的值域,集合 C为不等式 1()40ax的解集.（1）求 AB；（2）若 RCA,求a的取值范围小结归纳解：（1）解得 A=（-4，2） ， B= ,31, 。 所以 4,31,2AB（2）a 的范围为 a0 1在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言2集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想3对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.归纳小结高%考试- 题库
