1、第三课时 用向量方法求空间中的角课时演练促提升A 组1.已知 A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线 AB 和直线 CD 所成角的余弦值为( )A. B.-C. D.-解析:= (2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而 cos=,故直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为.答案:A2.若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120,则直线 l 与平面 所成的角等于( )A.120 B.60C.30 D.以上均错解析: l 的方向向量与平面 的法向量的夹角为 120, 它们所在直线的夹角为 60.则直线 l 与平面 所成的角为 90-60=
2、30.答案:C3.若二面角 -l- 的大小为 120,那么平面 与平面 的法向量的夹角为( )A.120 B.60C.120或 60 D.30或 150解析:二面角为 120时,其法向量的夹角可能是 60,也可能是 120.答案:C4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则 sin=, sin=,即,则 l 与 所成角为 .解析:如图可知,l 与 所成角为 -.答案:-8.如图,已知 ABC-A1B1C1 是直三棱柱 ,ACB= 90,点 D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值.解:如图,以 C 为
3、原点,CA,CB,CC 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设 CB=CA=CC1=1,则 A(1,0,0),B(0,1,0),D1,F1,则.故|=,|=,则 cos=. 0),如果平面 与平面 xOy的夹角为 45,则 a= . 解析:平面 xOy 的法向量为 n=(0,0,1),设平面 的法向量为 u=(x,y,z),则则 3x=4y=az,取 z=1,则 u=,而 cos=.又 a0,故 a=.答案:3.在四面体 ABCD 中,O 是 BD 的中点,|CA|=|CB|=|CD|=|BD|=2,|AB|=|AD|=,则异面直线 AB与 CD 所成的角的余弦值是
4、. 解析:以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点 B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,0),A(0,0,1),=(-1,0,1),=(-1,-,0).所以 cos0),由已知 ,可得 2m=,解得 m=,所以.(1)因为 cos=45,即 DP 与 CC所成的角为 45.(2)平面 AADD 的一个法向量是 =(0,1,0).因为 cos=60.故 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 平面 ABCD,ACAD,AB BC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)求证:PCAD;(2)求二面角 A-PC-D 的正弦值;
5、(3)若 E 为棱 PA 上的点,且异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30,求 AE 的长.解:如图,以点 A 为原点, AD,AC,AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,由题意得 A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B,P(0,0,2).(1)证明:易得=(0,1, -2),=(2,0,0),于是=0,所以 PCAD.(2)=(0,1,-2),=(2,-1,0).设平面 PCD 的法向量 n=(x,y,z),则不妨令 z=1,可得 n=(1,2,1).可取平面 PAC 的法向量 m=(1,0,0).于是 cos=,从而 sin=.所以二面角 A-PC-D 的正弦值为.(3)设点 E 的坐标为(0,0,h),其中 h0,2.由此得=(2,- 1,0),故 cos=.所以=cos 30=,解得 h=,即 AE 的长为.
