1、24.2 命题的证明 教学设计教学设计思路本节主要是让学生经历通过观察、验证、归纳、类比等方法猜想结论的过程，了解证明的必要性，真命题的证明步骤与格式.教学目标知识与技能说出定义、定理、公理的含义；初步体会证明的基本步骤和书写格式；通过了解定义、定理、证明的含义，能用数学的眼光观察、分析、处理生活中的实际问题.过程与方法经历通过观察、验证、归纳、类比等方法猜想结论的过程，发现由这些方法得到的结论可能不正确，从而认识证明的必要性.情感态度价值观在分析探索过程中强化逻辑思维意识，体会逻辑推理在几何学中的重要地位.教学重点和难点重点是了解证明的必要性，真命题的证明步骤与格式.难点是推论证明的思路和方
2、法.教学方法启 发引导、小组讨论，合作探究课时安排2 课时教具学具准备投影仪或电脑教学过程设计第 1 课时在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.由这些方法得到的结论有时不具有一般性.因此，要说明命题是真命题，常需要我们进行严格的推理证明.（一）观察与思考1.已知；如下图，ab，bc 直线 a，b 平行吗?(1)请你先通过观察作出判断.你能肯定自己的判断正确吗?(2)在图 243(1)中，再作一条直线 l，使直线 l 与直线 a，b，c 都相交，如图 243(2).用量角器测量1 和2，根据1 和2 的大小关系，你能判定“a 与 b 平行”这一结论正确
3、吗?2.当 n=1 时，(n 25n5) 2=1；当 n=2 时，(n 25n5) 2=1；来源:学科网当 n3 时，(n 25n5) 2=1.由此归纳得出：当 n 取任意正整数时，(n 25n5) 2的值都是 1.你认为这个命题正确吗?为什么?3.如果 ab，那么 a2=b2.由此类比猜想得出：当 ab 时， a2b2，你认为这个命题正确吗?为什么?目的是通过学生的观察与思考，认识证明的必要性，1.(1)ab，不能，(2)由1=2，能判断 ab2.不正确.当 n5 时，(n 25n5) 225.3.不正确，因为 01，但 02(1) 2，本节的主要目的是让学生了解证明的必要性.教学时，务必要
4、充 分体现这一点.以上事例说明，我们经常采用观察、测量、归纳、类比的方法来探索结论，发现命题.但是，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断.这个推理的过程叫做命题的证明(proof) .我们把经过证明的真命题叫做定理 (theorem).经过实践检验公认是真命题的，我们把它叫 做公理(axiom).如“过平面上两点，有且只有一条直线”就是一个公理.等式和不等式的性质也可以看做公理.对一个名词或术语的含义加以描述，规定，就是这个名词或术语的定义(definition).例如，对“角” “平行线” “方程”和“不等式”等概念的
5、描述，就是它们的定义.证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些公理、定义和定理作为推理 论证的依据.（二）大家谈谈回忆你所学过的公理和定义，并与同学交流.让学生广泛参与，加深对公理和定义的理解.（三）例题例 已知：如图，点 C，D 在线段 AB 上，点 C 是 AD 的中点，点 D 是 CB 的中点.求证：AD=CB.向学生初步渗透推理意识，让他们去感知和体验推理的严谨性，为下节课进行严格的证明作铺垫，暂不要求学生掌握.分析：由“点 C 是 AD 的中点，点 D 是 CB 的中点” ，可以得到 AC=CD=DB，进而可以得到 AD=CB.证明：因为 点 C 是线段 AD 的中
6、点(已知)，所以 AC=CD(线段中点的定义).因为点 D 是线段 CB 的中点(已知)，来源:Zxxk.Com所以 CD=DB(线段中点的定义).所以 AC=DB(等量代换).来源:学科网 ZXXK所以 AC+CD=DB+CD(等式的性质).即 AD=CB.注：在等式或不等式中，一个量可以用与它相等的量来代替，这叫做“等量代换”.在上面的证明过程中，我们根据的都是定义、性质和已知条件.在叙述中经常用到“因为”和“所以”这两个词，为了方便，今后，我们在证明时用符号“”表示“因为” ，用符号“”表示“所以”.（四）练习和同学们一起学习课本的练习（五）小结引导学生总结本节的主要知识点，认识证明的必
7、要性 .来源:Zxxk.Com（六）板书设计命题的证明（一）观察与思考一些概念：命题的证明、定理、公理例题练习第 2 课时证明是推理论证命题的过程，要步步有据.下面，我们以证明“对顶角相等”为例，说明命题证明的格式和步骤.（一）例题已知：如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O.求证：12.分析：观察图，我们发现1，2 都是AOD(或COB)的补角，由此便可得到1=2.证明：1AOD=l80(平角的定义)，2+AOD=180(平角的定义)，1+AOD2+AOD(等量代换)， 1=2(等式的性质).（二）大家谈 谈来源:学科网 ZXXK回顾上面的证明过程，请你说说证明的步骤，并与同学交流.一般地
8、，证明一个几何命题有如下步骤，结合对上节例题和本节证明“对顶角相等”过程的回顾与思考 ，让学生尝试说出证明的步骤.（三）做一做下面是证明“同角(或等角)的余角相等”的过程，请你在括号内填写各步推理的依据.已知：1+ =90，2+ 90.求证：12.证明：1+ =90( )，1= 90 ( ).2+ 90( )，2= 90 ( ).12 ( ). 目的是让学生进一步熟悉证明的步骤和格式.可要求学 生自己画 出一个符合要求的图形，再结合图形填写.各步推理的依据.依次为：已知，等式的性质，已知，等式的性质，等量代换.（四）练习1.请在括号内填上推理的依据.已知：如图，ABC=ABC，1=2.求证：3
9、=4.证明，ABC =ABC，1=2 ( )，ABC1=ABC2（ ）.又3=ABC1，4=ABC2，3=4（ ）.答案已知，等式的性质，等量代换.2.已知：如图，直线 EF 和 AB 交于点 D，BADE=180.求证 EFBC.小亮在证明这个问题时是这样思考的，要证 EFBC，只需证B=ADF，而ADEADF=180，BADE=180，所以B=ADF，此题可证.请按小亮的思路，写出证明过程. 答案BADE=180 (已知)，B =180ADE (等式的性质).ADEADF=180 (平角的定义)，ADF =180ADE （等式的性质).B =ADF (等量代换).EFBC(同位角相等，两直线平行).（五）小结引导学生总结本节的主要知识点，做题的步骤以及思路.（六）板书设计
